2020版高考数学(理)新精准大一轮课标通用版刷好题练能力：第八章 2 第2讲 空间几何体的表面积与体积

[基础题组
练]
1．圆柱的底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是( ) A ．4πS B ．2πS C ．πS D.23
3πS
解析：选A.由πr 2＝S 得圆柱的底面半径是S
π
，故侧面展开图的边长为2π·S
π
＝2πS ，所以圆柱的侧面积是4πS ，故选A.
2．(2019·武汉调研)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )
A.112
B.94
C.92
D ．3
解析：选D.如图，三棱锥P -ABC 为三视图所对应几何体的直观图，
由三视图可知，S △ABC ＝12×2×3＝3，点P 到平面ABC 的距离h ＝3，则V P ­ABC ＝13S △ABC ·h ＝1
3×3×3＝3，
故选D.
3．(2019·昆明调研)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为( )
A ．63π
B ．72π
C ．79π
D ．99π
解析：选A.由三视图得，凿去部分是一个半球与一个圆柱的组合体，其中半球的半径为3，体积为12×4
3π
×33＝18π，圆柱的底面半径为3，高为5，体积为π×32×5＝45π.所以凿去部分的体积为18π＋45π＝63π.故选A.
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.32
B.136 C ．2
D.116
解析：选D.由三视图可知，该几何体是一个底面为等腰直角三角形，高为2的直三棱柱，截去一个小三棱锥的组合体，直观图如图所示．
直三棱柱的体积为12×2×1×2＝2，而缺少的三棱锥的体积为13×12×1×1×1＝1
6，故所求几何体的体积为
2－16＝11
6
. 5．(2019·福州模拟)已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于( )
A.8
3π B.323π C ．16π
D ．32π
解析：选B.设该圆锥的外接球的半径为R ，依题意得，R 2＝(3－R )2＋(3)2，解得R ＝2，所以所求球的体积V ＝43πR 3＝43π×23＝32
3
π，故选B.
6．(2019·沈阳质量监测)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是________．
解析：由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥P -ABCD ，如图所示，其
中P A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且P A ＝2，AB ＝2，PB ＝22，所以该四棱锥的侧面积S 是四个直角三角形的面积和，即S ＝2×⎝⎛⎭
⎫12×2×2＋1
2×2×22＝4＋4 2.
答案：4＋4 2
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为________．
解析：由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6，高为14的圆柱，所以该几何体的体积V ＝1
2
×32×π×14＝63π.
答案：63π
8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是________．
解析：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图如图所示，则体积V ＝13×1＋2
2×2×x ＝3，
解得x ＝3.
答案：3
9．已知一个几何体的三视图如图所示．
(1)求此几何体的表面积；
(2)如果点P ，Q 在正视图中所示位置，P 为所在线段中点，Q 为顶点，求在几何体表面上，从P 到Q 点的最短路径的长．
解：(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．
S 圆锥侧＝1
2(2πa )·(2a )＝2πa 2，
S 圆柱侧＝(2πa )·(2a )＝4πa 2， S 圆柱底＝πa 2，
所以S 表＝2πa 2＋4πa 2＋πa 2＝(2＋5)πa 2. (2)沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图．
则PQ ＝AP 2＋AQ 2＝a 2＋（πa ）2＝a 1＋π2， 所以从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为a 1＋π2.
10．如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .
(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；
(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E -ACD 的体积为
6
3
，求该三棱锥的侧面积． 解：(1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD . 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE . 故AC ⊥平面BED . 又AC ⊂平面AEC ， 所以平面AEC ⊥平面BED .
(2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝
32x ，GB ＝GD ＝x 2
.
因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝
32
x . 由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝
22
x . 由已知得，三棱锥E -ACD 的体积V 三棱锥E -ACD ＝13×12·AC ·GD ·BE ＝624x 3＝6
3，故x ＝2. 从而可得AE ＝EC ＝ED ＝ 6.
所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥E -ACD 的侧面积为3＋2 5.
[综合题组练]
1．(2019·贵阳模拟)某几何体的三视图如图所示(粗线部分)，正方形网格的边长为1，该几何体的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )
A ．15π
B ．16π
C ．17π
D ．18π
解析：选C.由题中的三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥D
1
­BCD ，将其放在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，则该几何体的外接球即长方体的外接球，长方体的长、宽、高分别为2，2，3，长方体的体对角线长为9＋4＋4＝17，球O 的直径为17，所以球
O 的表面积S ＝17π，故选C.
2．三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为3的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，若球
O 与三棱柱ABC -A 1B 1C 1各侧面、底面均相切，则侧棱AA 1的长为( )
A.1
2 B.32
C ．1
D. 3
解析：选C.因为球O 与直三棱柱的侧面、底面均相切，所以侧棱AA 1的长等于
球的直径，设球的半径为R ，则球心在底面上的射影是底面正三角形ABC 的中心，如图所示．因为AC ＝3，所以AD ＝12AC ＝3
2.因为tan π6＝MD AD ，所以
球的半径R ＝MD
＝AD tan
π6＝32×33＝12，所以AA 1＝2R ＝2×1
2
＝1. 3．(2018·高考全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( )
A ．12 3
B ．18 3
C ．24 3
D ．54 3
解析：选B.如图，E 是AC 中点，M 是△ABC 的重心，O 为球心，连接BE ，OM ，OD ，BO .因为S △ABC
＝
34AB 2＝93，所以AB ＝6，BM ＝23BE ＝2
3
AB 2－AE 2＝2 3.易知OM ⊥平面ABC ，所以在Rt △OBM 中，OM ＝OB 2－BM 2＝2，所以当D ，O ，M 三点共线且DM ＝OD ＋OM 时，三棱锥D -ABC 的体积取得最大值，且最大值V max ＝13S △ABC ×(4＋OM )＝1
3
×93×6＝18 3.故选B.
4．(应用型)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截正方体所得的截面为S ，当CQ ＝1时，S 的面积为________．
解析：当CQ ＝1时，Q 与C 1重合．如图，取A 1D 1，AD 的中点分别为F ，G .连接AF ，AP ，PC 1，C 1F ，PG ，D 1G ，AC 1，PF .
因为F 为A 1D 1的中点，P 为BC 的中点，G 为AD 的中点， 所以AF ＝FC 1＝AP ＝PC 1＝5
2
，PG 綊CD ，AF 綊D 1G . 由题意易知CD 綊C 1D 1，
所以PG 綊C 1D 1，所以四边形C 1D 1GP 为平行四边形， 所以PC 1綊D 1G ，所以PC 1綊AF ， 所以A ，P ，C 1，F 四点共面， 所以四边形APC 1F 为菱形．
因为AC 1＝3，PF ＝2，过点A ，P ，Q 的平面截正方体所得的截面S 为菱形APC 1F ， 所以其面积为12AC 1·PF ＝12×3×2＝6
2.
答案：
62
5．(创新型)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为7
8
，SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB
的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．
解析：如图所示，设S 在底面的射影为S ′，连接AS ′，SS ′.△SAB 的面积为1
2·SA ·SB ·sin ∠ASB ＝
12·SA 2·1－cos 2∠ASB ＝1516·SA 2＝515，所以SA 2＝80，SA ＝4 5.因为SA 与底面所成的角为45°，所以∠SAS ′＝45°，AS ′＝SA ·cos 45°＝45×2
2
＝210.所以底面周长l ＝2π·AS ′＝410π，所以圆锥的侧面积为1
2
×45×410π＝402π.
答案：402π
6．(2019·泉州模拟)在三棱锥A -BCD 中，AC ＝CD ＝2，AB ＝AD ＝BD ＝BC ＝1，若三棱锥的所有顶点，都在同一球面上，则球的表面积是________．
解析：由已知可得，BC ⊥AB ，BC ⊥BD ，
所以BC ⊥平面ABD ，
设三棱锥外接球的球心为O ，正三角形ABD 的中心为O 1，
则OO 1⊥平面ABD ， 连接O 1B ，OO 1，OC ， 在直角梯形O 1BCO 中，有O 1B ＝3
3
，BC ＝1，OC ＝OB ＝R ， 可得：R 2＝712
，
故所求球的表面积为4πR 2＝7
3π.
答案：73π。