2021年山东省德州市庆云县中考数学模拟试卷及答案(3月份)

2021年山东省德州市庆云县中考数学模拟试卷（3月份）
一、选择题（本大题共12小题，共48分） 1. −2的相反数是( )
A. 2
B. −2
C. 1
2
D. −1
2
2. 如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，
则它的俯视图为( )
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A. a 6+a 6=a 12
B. a 6×a 2=a 8
C. a 6÷a 2=a 3
D. (a 6)2=a 8
4. 如图所示，是巴中某校对学生到校方式的情况统计图．若该
校骑自行车到校的学生有200人，则步行到校的学生有( )
A. 120人
B. 160人
C. 125人
D. 180人
5. 下列命题是真命题的是( )
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的矩形是正方形
D. 四边相等的平行四边形是正方形
6. 已知正比例函数y 1的图象与反比例函数y 2的图象相交于点A(2,4)，下列说法正确的
是( )
A. 反比例函数y 2的解析式是y 2=−8
x B. 两个函数图象的另一交点坐标为(2,−4) C. 当x <−2或0<x <2时，y 1<y 2
D. 正比例函数y 1与反比例函数y 2都随x 的增大而增大
7. 圆锥的底面半径r =6，高ℎ=8，则圆锥的侧面积是( )
A. 15π
B. 30π
C. 45π
D. 60π
题号 一 二 三 总分 得分
8. 如图▱ABCD ，F 为BC 中点，延长AD 至E ，使DE ：
AD =1：3，连结EF 交DC 于点G ，则S △DEG ：S △CFG =( )
A. 2：3
B. 3：2
C. 9：4
D. 4：9
9. 如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C (0,2)，B 是y 轴左
侧⊙A 优弧上一点，则tan∠OBC 为( )
A. 1
3B. 2√2C. 2√23D. √2
4
10. 如图，在菱形ABCD 中，按以下步骤作图：
①分别以点C 和点D 为圆心，
大于1
2CD 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点； ②作直线MN ，且MN 恰好经过点A ，与CD 交于点E ，连接BE ． 则下列说法错误的是( )
A. ∠ABC =60°
B. S △ABE =2S △ADE
C. 若AB =4，则BE =4√7
D. sin∠CBE =√21
14
11. 二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象如图所示，下列结论
①b 2>4ac ，②abc <0，③2a +b −c >0，④a +b +c <0.其中正确的是( )
A. ①④
B. ②④
C. ②③
D. ①②③④
12. 如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是
BC 的中点，AE 与BD 交于点P ，F 是CD 上一点，连接AF 分别交BD ，DE 于点M ，N ，且AF ⊥DE ，连接PN ，则以下结论中：①S △ABM =4S △FDM ；②PN =
2√65
15
；③tan∠EAF =3
4
；④△PMN ∽△DPE ，正确的是( )
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ②③④
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分） 13. 不等式组{
2(x +1)>x 1−2x ≥
x+72
的解集是______ ．
14. 设x 1，x 2是一元二次方程x 2−x −1=0的两根，则x 1+x 2+x 1x 2=______．
15.如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD=∠ABC=40°，将△ABD沿着AD
翻折得到△AED，则∠CDE=______°.
16.如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若
AP=6，BP=8，CP=10.则S△ABP+S△BPC=______．
17.如图，反比例函数y=k
x
(x>0)经过A、B两点，过点A作AC⊥
y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥x轴于
点E，连结AD，已知AC=1、BE=1、S矩形BDOE=4.则
S△ACD=______．
18.以下四个命题：①用换元法解分式方程−x2+1
x +2x
x2+1
时，如果设x2+1
x
=y，那么可
以将原方程化为关于y的整式方程y2+y−2=0；②如果半径为r的圆的内接正五边形的边长为a，那么a=2rcos54°；③有一个圆锥，与底面圆直径是√3且体积
为√3π
2的圆柱等高，如果这个圆锥的侧面展开图是半圆，那么它的母线长为4
3
；④二
次函数y=ax2−2ax+1，自变量的两个值x1，x2对应的函数值分别为y1、y2，若|x1−1|>|x2−1|，则a(y1−y2)>0.其中正确的命题为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）
19.已知实数x、y满足√x−3+y2−4y+4=0，求代数式x2−y2
xy ⋅1
x2−2xy+y2
÷x
x2y−xy2
的值．
20.九年级(1)班全班50名同学组成五个不同的兴趣爱好小组，每人都参加且只能参加
一个小组，统计(不完全)人数如下表：
编号一二三四五
人数a152010b
已知前面两个小组的人数之比是1：5．
解答下列问题：
(1)a+b=______．
(2)补全条形统计图：
(3)若从第一组和第五组中任选两名同学，求这两名同学是同一组的概率．(用树状
图或列表把所有可能都列出来)
21.△ABC在边长为l的正方形网格中如图所示．
①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，
使其位似比为1：2.且△A1B1C位于点C的异侧，并表
示出A1的坐标．
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C.
③在②的条件下求出点B经过的路径长．
22.如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作
CD//AB交AF于点D，连接BC．
(1)连接DO，若BC//OD，求证：CD是半圆的切线；
(2)如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数
量关系，并证明你的结论．
23.某水果店以每千克8元的价格购进苹果若干千克，销售了部分苹果后，余下的苹果
每千克降价4元销售，全部售完.销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的关系如图所示，请根据图象提供的信息完成下列问题：
(1)降价前苹果的销售单价是______ 元/千克；
(2)求降价后销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的函数解析式，并写出自变量的
取值范围；
(3)该水果店这次销售苹果盈利了多少元？
24.在图1，2，3中，已知▱ABCD，∠ABC=120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，
以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°．
(1)如图1，当点E与点B重合时，∠CEF=______°；
(2)如图2，连接AF．
①填空：∠FAD______∠EAB(填“>”，“<“，“=”)；
②求证：点F在∠ABC的平分线上；
(3)如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是
的值．
平行四边形时，求BC
AB
25.如图，抛物线y=ax2+bx−5(a≠0)经过x轴上的点A(1,0)和点B及y轴上的点
C，经过B、C两点的直线为y=x+n．
①求抛物线的解析式．
②点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B
出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．
③过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N(不与点B、C重合)作直线AM
的平行线交直线BC于点Q.若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．
2021年山东省德州市庆云县中考数学模拟试卷（3月份）
答案和解析
【答案】
1. A
2. A
3. B
4. B
5. C
6. C
7. D
8. D9. D10. C11. A12. A
13. −2<x≤−1
14. 0
15. 20
16. 24+16√3
17. 3
2
18. ①②③④
19. 解：x2−y2
xy ⋅1
x2−2xy+y2
÷x
x2y−xy2
=
(x+y)(x−y)
xy
⋅
1
(x−y)2
⋅
xy(x−y)
x
=x+y
x
，
∵√x−3+y2−4y+4=0，∴√x−3+(y−2)2=0，
∴x=3，y=2，
∴原式=3+2
3=5
3
．
20. 5
21. 解：①如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为(3,−3)；
②如图，△A2B2C为所作；
③OB=√12+42=√17，
点B经过的路径长=90⋅π⋅√17
180=√17
2
π.
22. (1)证明：连接OC，
∵AF为半圆的切线，AB为半圆的直径，
∴AB⊥AD，
∵CD//AB，BC//OD，
∴四边形BODC是平行四边形，
∴OB=CD，
∵OA=OB，
∴CD=OA，
∴四边形ADCO是平行四边形，
∴OC//AD，
∵CD//BA，
∴CD⊥AD，
∵OC//AD，
∴OC⊥CD，
∴CD是半圆的切线；
(2)解：∠AED+∠ACD=90°，
理由：如图2，连接BE，
∵AB为半圆的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠EBA+∠BAE=90°，
∵∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠DAE，
∵∠ACE=∠ABE，
∴∠ACE=∠DAE，
∵∠ADE=90°，
∴∠DAE+∠AED=∠AED+∠ACD=90°．
23. 16
24. (1)60；
(2)
①=；
②作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N，
则∠FNB=∠FMB=90°，
∴∠NFM=60°，又∠AFE=60°，∴∠AFN=∠EFM，
∵EF=EA，∠FAE=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴FA=FE，
在△AFN和△EFM中，
{∠AFN=∠EFM ∠FNA=∠FME FA=FE
，
∴△AFN≌△EFM(AAS)，
∴FN=FM，又FM⊥BC，FN⊥BA，
∴点F在∠ABC的平分线上；
(3)∵四边形AEFG是菱形，∠EAG=120°，
∴∠AGF=60°，
∴∠FGE=∠AGE=30°，
∵四边形AEGH为平行四边形，
∴GE//AH，
∴∠GAH=∠AGE=30°，∠H=∠FGE=30°，∴∠GAN=90°，又∠AGE=30°，
∴GN=2AN，
∵∠DAB=60°，∠H=30°，
∴∠ADH=30°，
∴AD=AH=GE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD，
∴BC=GE，
∵四边形ABEH为平行四边形，∠HAE=∠EAB=30°，∴平行四边形ABEN为菱形，
∴AB=AN=NE，
∴GE=3AB，
∴BC
AB
=3．
25. 解：①∵点B、C在直线为y=x+n上，
∴B(−n,0)、C(0,n)，
∵点A(1,0)在抛物线上，
∴{a+b−5=0
an2+bn−5=0 n=−5
，
∴a=−1，b=6，
∴抛物线解析式：y=−x2+6x−5；
②由题意，得，
PB=4−t，BE=2t，
由①知，∠OBC=45°，
∴点P到BC的高h为BPsin45°=√2
2
(4−t)，
∴S△PBE=1
2BE⋅ℎ=1
2
×√2
2
(4−t)×2t=√2
2
(t−2)2+2√2，
当t=2时，△PBE的面积最大，最大值为2√2；
③由①知，BC所在直线为：y=x−5，
∴点A到直线BC的距离d=2√2，
过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H．设N(m,−m2+6m−5)，则H(m,0)、P(m,m−5)，
易证△PQN为等腰直角三角形，即NQ=PQ=2√2，
∴PN=4，
Ⅰ.NH+HP=4，
∴−m2+6m−5−(m−5)=4解得m1=1，m2=4，
∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴m=4；
Ⅱ.NH+HP=4，
∴m −5−(−m 2+6m −5)=4
解得m 1=5+√412，m 2=5−√412，
∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
m >5，
∴m =5+√412，
Ⅲ.NH −HP =4，
∴−(−m 2+6m −5)−[−(m −5)]=4，
解得m 1=5+√412，m 2=5−√412，
∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
m <0，
∴m =5−√412，
综上所述，若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，点N 的横坐标为：
4或5+√412或5−√412．
【解析】
1. 解：根据相反数的定义，−2的相反数是2．
故选：A ．
根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．
本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0． 2. 解：它的俯视图为
故选：A ．
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．
3. 【分析】
本题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】
解：A、a6+a6=2a6，故此选项错误；
B、a6×a2=a8，故此选项正确；
C、a6÷a2=a4，故此选项错误；
D、(a6)2=a12，故此选项错误，
故选：B．
4. 解：学生总数：200÷25%=800(人)，
步行到校的学生：800×20%=160(人)，
故选：B．
扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数(单位1)，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
本题考查的是扇形统计图．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
5. 解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误；
C、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以C选项正确；
D、四边相等的平行四边形是菱形，所以D选项错误．
故选：C．
根据矩形的判定方法对A、B进行判断；根据正方形的判定方法对C、D进行判断．
本题考查了命题与定理，矩形、正方形的判定，属于基础题．
6. 【分析】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练运用反比例函数与一次函数的性质解决问题是本题的关键．
由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，由正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．
【解答】
解：∵正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(2,4)，
∴正比例函数y1=2x，反比例函数y2=8
，
x
∴两个函数图象的另一个交点为(−2,−4)，
∴A，B选项错误；
∵正比例函数y1=2x中，y随x的增大而增大，反比例函数y2=8
中，在每个象限内y
x
随x的增大而减小，
∴D选项错误；
∵当x<−2或0<x<2时，y1<y2,
∴选项C正确．
故选：C．
7. 解：圆锥的母线l=√ℎ2+r2=√62+82=10，
∴圆锥的侧面积=π⋅10⋅6=60π，
故选：D．
圆锥的侧面积：S侧=1
2
⋅2πr⋅l=πrl，求出圆锥的母线l即可解决问题．
本题考查圆锥的侧面积，勾股定理等知识，解题的关键是记住圆锥的侧面积公式．8. 【分析】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义.表示出CF 是解题的关键．
先设出DE=x，进而得出AD=3x，再用平行四边形的性质得出BC=3x，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】
解：设DE=x，
∵DE：AD=1：3，
∴AD=3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，BC=AD=3x，
∵点F是BC的中点，
∴CF=1
2BC=3
2
x，
∵AD//BC，
∴△DEG∽△CFG，
∴S△DEG
S△CFG =(DE
CF
)2=(x3
2
x
)2=4
9
，
故选：D．
9. 解：设圆A与x轴交于D点，连接CD，在Rt△OCD中，CD=6，OC=2，
则OD=√CD2−OC2=4√2，
tan∠CDO=OC
OD =√2
4
，
由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO，
则tan∠OBC=√2
4
，
故选：D．
作辅助线，根据勾股定理求出OD，根据正切的定义求出tan∠CDO，根据圆周角定理得到∠OBC=∠CDO，等量代换即可．
本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
10. 解：由作法得AE垂直平分CD，即CE=DE，AE⊥CD，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=CD=2DE，AB//DE，
在Rt△ADE中，cosD=DE
AD =1
2
，
∴∠D=60°，
∴∠ABC=60°，所以A选项的结论正确；
∵S△ABE=1
2AB⋅AE，S△ADE=1
2
DE⋅AE，
而AB=2DE，
∴S△ABE=2S△ADE，所以B选项的结论正确；
若AB=4，则DE=2，
∴AE=2√3，
在Rt△ABE中，BE=√42+(2√3)2=2√7，所以C选项的结论错误；作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图，
设AB=4a，则CE=2a，BC=4a，BE=2√7a，
在△CHE中，∠ECH=∠D=60°，
∴CH=a，EH=√3a，
∴sin∠CBE=EH
BE =√3a
2√7a
=√21
14
，所以D选项的结论正确．
故选：C．
利用基本作图得到AE垂直平分CD，再根据菱形的性质得到AD=CD=2DE，AB//DE，利用三角函数求出∠D=60°，则可对A选项进行判断；利用三角形面积公式可对B选项进行判断；当AB=4，则DE=2，先计算出AE=2√3，再利用勾股定理计算出BE=
2√7，则可对C选项进行判断；作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图，设AB=4a，则CE=2a，BC=4a，BE=2√7a，先计算出CH=a，EH=√3a，则可根据正弦的定义对D选项进行判断．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了菱形的性质和解直角三角形．
11. 解：①∵抛物线与x轴由两个交点，
∴b2−4ac>0，
即b2>4ac，
所以①正确；
②由二次函数图象可知，
a<0，b<0，c>0，
∴abc>0，
故②错误；
=−1，
③∵对称轴：直线x=−b
2a
∴b=2a，
∴2a+b−c=4a−c，
∵a<0，4a<0，
c>0，−c<0，
∴2a+b−c=4a−c<0，
故③错误；
④∵对称轴为直线x=−1，抛物线与x轴一个交点−3<x1<−2，
∴抛物线与x轴另一个交点0<x2<1，
当x=1时，y=a+b+c<0，
故④正确．
故选：A．
①抛物线与x轴由两个交点，则b2−4ac>0，所以①正确；②由二次函数图象可知，a<0，b<0，c>0，故②错误；
=−1，所以2a+b−c=4a−c<0，故③错误；
③对称轴：直线x=−b
2a
④对称轴为直线x=−1，抛物线与x轴一个交点−3<x1<−2，则抛物线与x轴另一
个交点0<x2<1，当x=1时，y=a+b+c<0，故④正确．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．12. 解：∵正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，
∴AB=BC=CD=AD=2，∠ABC=∠C=∠ADF=90°，CE=BE=1，
∵AF⊥DE，
∴∠DAF+∠ADN=∠ADN+∠CDE=90°，
∴∠DAN=∠EDC，
在△ADF与△DCE中，{∠ADF=∠C,
AD=CD
∠DAF=∠CDE
，
∴△ADF≌△DCE(ASA)，∴DF=CE=1，
∵AB//DF，
∴△ABM∽△FDM，
∴S△ABM
S△FDM =(AB
DF
)2=4，
∴S△ABM=4S△FDM；故①正确；
由勾股定理可知：AF=DE=AE=√12+22=√5，
∵1
2×AD×DF=1
2
×AF×DN，
∴DN=2√5
5
，
∴EN=3√5
5，AN=√AD2−DN2=4√5
5
，
∴tan∠EAF=EN
AN =3
4
，故③正确，
作PH⊥AN于H．∵BE//AD，
∴PA
PE =AD
BE
=2，
∴PA=2√5
3
，∵PH//EN，
∴AH
AN =PA
AE
=2
3
，
∴AH=2
3×4√5
5
=8√5
15
，HN=4√5
15
，
∴PN=√PH2+NH2=2√65
15
，故②正确，∵PN≠DN，
∴∠DPN≠∠PDE，
∴△PMN与△DPE不相似，故④错误．
故选：A．
①正确．利用相似三角形的性质解决问题即可．
②正确．作PH⊥AN于H，求出PH，HN即可解决问题．
③正确．求出EN，AN即可判断．
④错误．证明∠DPN≠∠PDE即可．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
13. 解：{2(x+1)>x①1−2x≥x+7
2
②，
由不等式①，得
x>−2，
由不等式②，得
x≤−1，
故原不等式组的解集是−2<x≤−1，
故答案为：−2<x≤−1．
根据解一元一次不等式组的方法，可以求得该不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．14. 【分析】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两个为x1，
x2，则x1+x2=−b
a ，x1⋅x2=c
a
．
直接根据根与系数的关系求解．
【解答】
解：∵x1、x2是方程x2−x−1=0的两根，
∴x1+x2=1，x1×x2=−1，
∴x1+x2+x1x2=1−1=0．
故答案为0．
15. 解：∵∠BAD=∠ABC=40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，
∴∠ADC=40°+40°=80°，∠ADE=∠ADB=180°−40°−40°=100°，∴∠CDE=100°−80°=20°，
故答案为：20
根据三角形外角性质和翻折的性质解答即可．
此题考查翻折的性质，关键是根据三角形外角性质和翻折的性质解答．16. 解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP′B，连接PP′，
根据旋转的性质可知，
旋转角∠PBP′=∠CAB=60°，BP=BP′，
∴△BPP′为等边三角形，
∴BP′=BP=8=PP′；
由旋转的性质可知，AP′=PC=10，
在△BPP′中，PP′=8，AP=6，
由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，
∴S△ABP+S△BPC=S四边形AP'BP
=S△BP′B+S△AP'P
=√3
4
BP2+
1
2
×PP′×AP
=24+16√3，
故答案为：24+16√3．
将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP′B，根据旋转的性质可得∠PBP′=∠CAB=60°，BP=BP′，可得△BPP′为等边三角形，可得BP′=BP=8=PP′，由勾股定理的逆定理可得，△APP′是直角三角形，由三角形的面积公式可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，作辅助线构造出等边三角形和直角三角形是解题的关键，属于中档题．
17. 解：过点A作AH⊥x轴于点H，交BD于点F，则四边形ACOH和四边形ACDF均为矩形，如图：
∵S
矩形BDOE =4，反比例函数y=k
x
(x>0)经过B点
∴k=4
∴S 矩形ACOH =4，
∵AC =1 ∴OC =4÷1=4
∴CD =OC −OD =OC −BE =4−1=3 ∴S 矩形ACDF =1×3=3 ∴S △ACD =3
2
故答案为：3
2．
过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，交BD 于点F ，则四边形ACOH 和四边形ACDF 均为矩形，根据S 矩形BDOE =4，可得k 的值，即可得到矩形ACOH 和矩形ACDF 的面积，进而可求出S △ACD ．
此题主要考查的知识有：反比例函数系数k 的几何意义和性质，通过矩形的面积求出k 的值是解本题的关键．
18. 解：①设
x 2+1x
=y ，那么可以将原方程化为关于y 的整式方程y 2+y −2=0，故正
确；
②作OF ⊥BC ．
∵∠COF =72°÷2=36°， ∴CF =r ⋅sin36°，
∴CB =2rsin36°，即a =2rsin36°=2rcos54°． 故正确；
③设圆锥的高为h ，底面半径为r ，母线长为R ， 根据题意得2π⋅r =180⋅π⋅R 180
，
则R ：r =2：1． 由π⋅(√3
2)2ℎ=√3π
2
得到ℎ=
2√3
3
．
所以ℎ2+r 2=R 2，即(2√33
)2
+1
4R 2=R 2，则R =43，即它的母线长是4
3．
故正确；
④二次函数y =ax 2−2ax +1的对称轴是x =1，当a <0时，如图：
此时|x 1−1|>|x 2−1|，y 1<y 2， 所以a(y 1−y 2)>0，
当a >0时，同法可得a(y 1−y 2)>0， 故正确．
综上所述，正确的命题是①②③④． 故答案是：①②③④． ①利用换元法代入并化简；
②作OF ⊥BC ，在Rt △OCF 中，利用三角函数求出a 的长；
③这个圆锥母线长为R ，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π⋅r =180⋅π⋅R 180
，然后解关于R
的方程即可；
④根据二次函数图象的性质判断．
考查了换元法解分式方程，弧长的计算，二次函数图象的性质，解直角三角形等知识，需要对相关知识有一个系统的掌握．
19. 本题考查的是分式的化简求值，非负性的性质，掌握分式的混合运算法则是解题的
关键．
根据分式的乘除法法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出x 、y ，代入计算即可．
20. 解：(1)由题意知a +b =50−(15+20+10)=5，
故答案为：5； (2)∵a =3，
∴b=50−(3+15+20+10)=2，
∴a+b=5，
故答案为5；
(2)补全图形如下：
(3)由题意得a=3，b=2
设第一组3位同学分别为A1、A2、A3，设第五组2位同学分别为B1、B2，
由上图可知，一共有20种等可能的结果，其中两名同学是同一组的有8种，所求概率
是：P=8
20=2
5
．
(1)由题意知a+b=50−(15+20+10)=5；
(2)a=3，b=50−(3+15+20+10)=2，a+b=5；
(3)一共有20种等可能的结果，其中两名同学是同一组的有8种，所求概率是：P=8
20=2
5
．
本题考查了统计图与概率，熟练掌握列表法与树状图求概率是解题的关键．
21. ①延长AC到A1使A1C=2AC，延长BC到B1使B1C=2BC，则△A1B1C满足条件；
②利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2，从而得到△A2B2C.
③先计算出OB的长，然后根据弧长公式计算点B经过的路径长．
本题考查了作图−位似变换：画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了旋转变换．
22. (1)连接OC，根据切线的性质得到AB⊥AD，推出四边形BODC是平行四边形，得到OB=CD，等量代换得到CD=OA，推出四边形ADCO是平行四边形，根据平行四边形的性质得到OC//AD，于是得到结论；
(2)如图2，连接BE，根据圆周角定理得到∠AEB=90°，求得∠EBA+∠BAE=90°，证
得∠ABE =∠DAE ，等量代换即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
23. 解：(1)由图可得，
降价前苹果的销售单价是：640÷40=16(元/千克)， 故答案为：16；
(2)降价后销售的苹果千克数是：(760−640)÷(16−4)=10(千克)． ∴销售的苹果总数为40+10=50(千克)．
设降价后销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的函数解析式是y =kx +b ， ∵该函数过点(40,640)，(50,760)， ∴{
40k +b =640
50k +b =760
，
解得：{k =12
b =160
．
即降价后销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的函数解析式是y =12x +160(40<x ≤50)；
(3)该水果店这次销售苹果盈利了：760−8×50=360(元)． 答：该水果店这次销售苹果盈利了360元．
(1)从函数图像中可得信息：销售40千克所得销售收入为640元，降价前苹果的销售单价可求；
(2)利用(1)的结论可求减价后的销售单价，再利用减价后的收入为(760−640)元，可求减价后销售的苹果数，利用待定系数法可求函数关系式； (3)盈利=销售收入−成本．
本题主要考查了一次函数的应用．待定系数法确定一次函数关系式的基本方法．
24. 解：(1)∵四边形AEFG 是菱形，
∴∠AEF =180°−∠EAG =60°， ∴∠CEF =∠AEC −∠AEF =60°， 故答案为：60°；
(2)①∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠DAB =180°−∠ABC =60°， ∵四边形AEFG 是菱形，∠EAG =120°， ∴∠FAE =60°， ∴∠FAD =∠EAB ，
故答案为：=； ②见答案； (3)见答案． 【分析】
(1)根据菱形的性质计算；
(2)①证明∠DAB =∠FAE =60°，根据角的运算解答；
②作FM ⊥BC 于M ，FN ⊥BA 交BA 的延长线于N ，证明△AFN≌△EFM ，根据全等三角形的性质得到FN =FM ，根据角平分线的判定定理证明结论；
(3)根据直角三角形的性质得到GH =2AH ，证明四边形ABEH 为菱形，根据菱形的性质计算，得到答案．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质、平行四边形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、菱形的性质、直角三角形的性质是解题的关键．
25. ①点B 、C 在直线为y =x +n 上，则B(−n,0)、C(0,n)，点A(1,0)在抛物线上，所
以{a +b −5=0
an 2+bn −5=0n =−5
，解得a =−1，b =6，因此抛物线解析式：y =−x 2+6x −5； ②先求出点P 到BC 的高h 为BPsin45°=√
2
2
(4−t)，
于是S △PBE =1
2
BE ⋅ℎ=1
2
×√2
2
(4−t)×2t =
√2
2
(t −2)2+2√2，当t =2时，△PBE 的面积最大，最大值为2√2；
③由①知，BC 所在直线为：y =x −5，所以点A 到直线BC 的距离d =2√2，过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H.设N(m,−m 2+6m −5)，则H(m,0)、P(m,m −5)，易证△PQN 为等腰直角三角形，即NQ =PQ =2√2，PN =4，Ⅰ.NH +HP =4，所以−m 2+6m −5−(m −5)=4解得m 1=1(舍去)，m 2=4，Ⅱ.NH +HP =4，m −5−(−m 2+6m −5)=4解得m 1=
5+√412
，m 2=
5−√412
(舍去)，
Ⅲ.NH −HP =4，−(−m 2+6m −5)−[−(m −5)]=4，解得m 1=5+√412
(舍去)，m 2=
5−√412
．
本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键．。