球面坐标和柱面坐标在计算中的应用--本科毕业设计论文

（2015届）
本科毕业设计（论文）
题目名称：球面坐标和柱面坐标在计算中的应用学院（部）：理学院
专业：数学与应用数学
学生姓名：吴永旭
班级：1101 学号：11404200413 指导教师姓名：唐亮职称：讲师
最终评定成绩：
2015年
湖南工业大学
本科毕业论文（设计）
诚信声明
本人郑重声明：所呈交的毕业论文（设计），题目《2011年中国各省财政收入数据的主成分分析研究》是本人在指导教师的指导下，进行研究工作所取得的成果。

对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文章以明确方式注明。

除此之外，本论文（设计）不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

本人完全意识到本声明应承担的责任。

作者签名：
日期：2014 年 3 月10 日
摘要
三重积分和曲面积分是大学数学和数学分析中的重点同时也是难点。

如果当积分的区域是圆柱面、圆锥面、或者是球面时，这个时候我们就可以利用球面坐标和柱面坐标的变换使积分的计算更为简便。

纵观现有各个版本的高等数学和数学分析的系列教材中，应用柱面坐标和球面坐标来计算三重积分和曲面积分都们没有给出具体的设计公式，这使得学生很难掌握。

所以球坐标、柱面坐标在计算中的应用这方面的研究可以帮助学生更好的掌握题目的计算、理清解题的思路。

本文结合了数学分析、解析几何等教材以及相关的文献资料比较全面的给出了运用球面坐标和柱面坐标来简化三重积分和曲面积分的方法。

在运用球面坐标和柱面坐标的基础上充分的运用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性省略一部分计算，达到简化的效果。

本文还归纳总结出一些学生常见的求三重积分积分限的类型以及积分域的投影区域，并提出如何确定积分限，对学生计算三重积分有一定的指导意义。

关键词：球面坐标；柱面坐标；三重积分；曲面积分
ABSTRACT
University of triple integral and surface integral are key points and difficulties in mathematics and mathematical analysis. If when the integral region is a cylinder, cone surface, or spherical, this time we can use spherical coordinates and cylindrical coordinates transform integral calculation more simple. Throughout most of the existing various version of the series of higher mathematics and mathematical analysis teaching material, the application of cylindrical coordinates and spherical coordinates to calculate the triple integral and surface integral are gave no specific design formula, make it hard for students to master. So spherical coordinates and cylindrical coordinates in calculation, the application of this research can help students better grasp the problems of computation, clarify the thinking of the problem solving. This paper combines the mathematical analysis, parsing, how a few materials and relevant literature of using spherical coordinates and cylindrical coordinates is given to simplify the triple integral and surface integral method. In using spherical coordinates and cylindrical coordinates on the basis of fully using the parity of integrand and symmetry of integral area of omit part of calculation, the effect of simplified. This article also summarizes some common for students of triple integral limit type and integral domain projection area, and puts forward how to determine the bounds, for students to have certain guiding significance to the triple integral calculation.
Keywords:Spherical coordinates; Cylindrical coordinates; Triple integral.；Surface integral 目录
第一章绪论 (1)
第二章球坐标、柱面坐标简要简介 (4)
2.1球坐标、柱面坐标的概念 (6)
2.2球坐标、柱面坐标的性质 (6)
第三章球坐标、柱面坐标在三重积分计算中的应用 (6)
3.1 三重积分限的确定 (6)
3.2球坐标在三重积分计算中的应用
3.2.1一般情况下球面坐标三重积分的计算 (6)
3.2.2利用对称性和奇偶性简化球面坐标三重积分计算 (6)
3.3柱面坐标在三重积分计算中的应用 (6)
3.3.1一般情况下三重积分的柱面坐标计算法 (6)
3.3.2运用对称性和奇偶性简化柱面坐标三重积分计算 (6)
第四章球坐标、柱面坐标在曲面积分计算中的应用 (4)
4.1球坐标在曲面积分计算中的应用 (4)
4.2柱面坐标在曲面积分计算中的应用 (6)
结论 (6)
致谢 (6)
参考文献 (6)
第1章绪论
三重积分和曲面积分是大学数学和数学分析中的重点但也是难点。

如果当积分的区域是圆柱面、圆锥面、或者是球面时，这个时候我们就可以用球面坐标和柱面坐标的变换使积分的计算更为简便。

但在现有的各个版本的高等数学系列教材中，在柱面坐标和球面坐标中计算三重积分和曲面积分都们没有给出具体的设计公式，这使得学生很难掌握。

所以球坐标、柱面坐标在计算中的应用这方面的研究可以帮助学生更好的掌握题目的计算、理清解题的思路。

第2章球坐标、柱面坐标简要简介
2.1球坐标、柱面坐标的概念
空间中与坐标原点的距离为r 的任意点，总可以把它看成在以远点为中心，半径为r 的球面上，因此当我们把球面半径r 看成变量时，公式就说明了空间一点M 的位置，如果这是把变量r 改写成ρ，并设 (0)OM ρρ=≥
(),xOP ϕπϕπ∠=-≤≤
(),22POM ππθθ∠=-
≤≤
的值都确定，那么便有
cos cos ,x ρθϕ=
cos sin ,y ρθϕ=
sin ,z ρθ=
M 点的位置也就被确定了；反过来，空间M 点的位置如果已经确定，那么三个值,,ρϕθ也就确定了（如果M 是原点，那么0,,ρϕθ=分别在π-到π与2
π-
到2π内任意取定；如果在z 轴上，但不是原点，那么这时ϕ可在π-到π内任意取定，而2πθ=或2πθ=-）。

这样就M 使空间的点除去z 轴上的点，其余的点与有序三数组,,ρϕθ建立了一一对应的关系，并把有序三数组,,ρϕθ叫做空间点M 的球坐标或称空间极坐标，记做(,,)M ρϕθ，这里的0ρ≥，πϕπ-≤≤，22π
π
θ-≤≤。

柱坐标系简要介绍
空间中与z 轴的距离为R 的点，总可以把它看成在以z 轴为轴，半径为R 的圆柱面上，因此当我们把圆柱面半径看成变量，并改用(0)ρρ≥来表示时，那么由 cos sin x R y R z u ϕϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩
可知,,u ρϕ的值可以确定空间一点M 的位置；反过来，如果M 点的位置确定时，那么,,u ρϕ的值也就确定（如果M 在z 轴上，那么ϕ可以任意确定），这样我
们在空间中建立了另一种空间的点（除去z 轴上的点外）与有序三数组,,u ρϕ的一一对应关系，这里，0ρ≥，πϕπ-≤≤，u -∞≤≤∞，这种一一对应的关系叫做柱坐标系，或称空间半极坐标系，并把有序三数组,,u ρϕ叫做点M 的柱坐标或称半极坐标，记做(,,)M u ρϕ。

2.2球坐标、柱面坐标的性质
当建立了球坐标系后，空间中点的直角坐标(,,)x y z 与球坐标(,,)ρϕθ之间就有了下面的关系
cos cos cos sin sin x y z ρθϕρθϕρθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩022ρπϕπππθ⎡⎤
⎢⎥≥⎢⎥-≤≤⎢⎥⎢⎥-≤≤⎢⎥⎣⎦
第3章球坐标、柱面坐标在三重积分计算中的应用
3.1三重积分限的确定
计算三重积分的想法是将三重积分化为三次定积分来计算，其重点和关键点是确定积分限，积分的次序和选择合适的坐标系。

但要确定好这些量，不仅对学生的几何直观能力有较强的要求，还需要方法和计算公式的灵活应用。

要由空间立体图形Ω的边界曲面方程在纸上画出所围成的区域很困难。

所以这里归纳总结出了几种常见的求三重积分积分限的类型以及积分域的投影区域，并指出如何确定积分限，以有效解决三重积分计算，对学习者有一定的指导意义。

1.Ω由以000(,,)x y z 为圆心的球面或者是椭球面所围成的区域，设这个方程为(,,)0F x y z =
（1）作出方程 (,,)0F x y z =和方程0z z =的交线在xoy 面的投影区域L
（2）确定投影L 所围成的区域xy D
（3）确定z 的积分限，从方程(,,)0F x y z =中解11(,)z f x y =,22(,)z f x y =在投影区域中比较1z 和2z 的大小，大的作为上限，小的作为下限。

（4）根据(2)、(3)写出曲面Ω的积分限，计算三重积分。

2.Ω是由方程(,,)0(1,2)i F x y z i ==所围成的区域
（1）作出方程1(,,)0F x y z =和方程2(,,)0F x y z =的交线在xoy 面的投影区域L
（2）确定投影L 所围成的区域xy D
（3）确定z 的积分限，从方程(,,)0(1,2)i F x y z i ==中解11(,)z f x y =,22(,)z f x y =在投影区域中比较1z 和2z 的大小，大的作为上限，小的作为下限。

（4）根据(2).(3)写出曲面Ω的积分限，计算三重积分。

3.Ω是由方程(,,)0(1,2,3)i F x y z i ==所围成的区域，其中1F ，2F 为同一类型的曲面。

（1）作出13(,,)0(,,)0F x y z F x y z =⎧⎨=⎩和23
(,,)0(,,)0F x y z F x y z =⎧⎨=⎩的交线在xoy 面的投影区域1L ，2L 。

（2）确定投影1L ，2L 所围成的区域xy D 。

对于这种类型的图形，交线在xoy 面的投影为2条封闭曲线，令1L 为外曲线，2L 为内曲线，1L 所围成的区域为1D ，2L 所围成的区域为2D ，12xy D D D =+。

（3）确定z 的积分限。

从方程(,,)0(1,2,3)i F x y z i == 中解出(,)i z f x y =，而且需要分开进行，在1D 上比较同型曲面的上下位置。

在2D 上比较2L 的原像所在两个曲面的上下位置。

（4）根据(2).(3)写出曲面Ω的积分限，计算三重积分。

4. Ω是由方程(,,)0(1,2,)i F x y z i ==和方程(,)0(1,2,
)m k x y m n ==所围成的区域
（1）在xoy 平面上分别作出方程(,,)0(1,2,)i F x y z i ==和方程(,)0(1,2,)m k x y m n ==的各个截痕。

（2）确定投影所围成的区域xy D （xy D 由各个截痕所围成的公共部分）
（3）确定z 的上下限。

从(,,)0(1,2,)i F x y z i ==中解出11(,)z f x y =，
22(,)z f x y =
在积分区域xy D 中比较1z 和2z 的大小，大的作为上限，小的作为下限。

（4）根据(2).(3)写出积分区域Ω的积分限，计算三重积分。

注：在xoy 面上(,)0(1,2,)m k x y m n ==的各个截痕所围成的区域如果为封闭的区域，则不需要考虑(,,)0(1,2,)i F x y z i ==的各个截痕。

5 .推广如果Ω是由方程(,,)0(1,2,)i F x y z i ==和方程(,)0(1,2,
)m k x z m n ==或者
是(,)0(1,2,)m k y z m n ==所围成的区域 （1）在xoz (或者是yoz )平面上分别作出方程(,)0m k x z =或者是方程(,)0m k y z =和方程(,,)0(1,2,)i F x y z i ==的各个截痕。

（2）确定投影区域xz D 或者是yz D （xy D 和yz D 为各截痕所围的公共部分）
（3）确定y 或者是x 的上下限。

从方程(,,)0(1,2,)i F x y z i ==中解出(,)i y f x z =或者是(,)i x f y z =，在xz D 和yz D 中比较出方程(,)i y f x y =或者是方程(,)i x f y z =的大小，大的作为上限，小的作为下限。

（4）根据(2).(3)写出积分区域Ω的积分限，计算三重积分。

以上主要介绍了四种不同类型的方程如何确定三重积分积分限方法，与传统的做法相比作图简单，不同类型的区域积分限的确定方便;可解决因学习者空间想象力及欠缺作图能力所带来的解题困难。

3.2球坐标在三重积分计算中的应用
3.2.1一般情况下球面坐标三重积分的计算
球坐标的变换
sin cos ,0,:sin sin ,0,cos ,02.x r r T y r z z ϕθϕθϕπϕθπ= ≤<+∞ ⎧⎪= ≤≤ ⎨⎪= ≤≤ ⎩
由于
()2sin cos cos cos sin sin ,,sin sin cos sin sin cos cos sin 0
sin ,r r J r z r r r r ϕθϕθϕθ
θϕθϕθϕθϕϕϕ -=
- =
当ϕ在[]0,π上取值时，sin 0ϕ≥，所以在球坐标变换下，按公式（４），三重积分的球坐标换元公式为
()()2'
,,sin cos ,sin sin ,rcos r sin ,V V f x y z dxdydz f r r drd d ϕθϕθϕϕϕθ =⎰⎰⎰⎰⎰⎰
这里V 为'V 在球坐标变换下的原象。

例 1 求V
I zdxdydz =⎰⎰⎰，其中V 为由222
2221x y z a b c ++≤与0z ≥所围成的区域所构成。

解 做广义球坐标变换
sin cos ,:sin sin ,cos ,x ar T y br z cr ϕθϕθϕ= ⎧⎪=
⎨⎪= ⎩
于是2
sin J abcr ϕ=．在上述广义球坐标变换下，V 的原象为 ()',,01,0,02.2V r r πϕθϕθπ⎧⎫=≤≤≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭
则有
33'
21
232
0002202
sin cos sin cos sin cos 2
.4V V zdxdydz abc r drd d d d abc r dr abc d abc π
ππ
ϕϕϕθ
θϕϕϕπϕϕϕ
π= = = =⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3.2.2利用对称性和奇偶性简化球面坐标三重积分计算
1 若积分区域Ω可以写成a b θ≤≤或者是22b a πθπ-≤≤-，12ϕϕϕ≤≤，
12(,)(,)r r r ϕθϕθ≤≤，并且11(,)(,2)r r ϕθϕπθ=-，22(,)(,2)r r ϕθϕπθ=-即表示
积分区域Ω关于平面zox 对称则
（1）若(,,)(,,2)f r f r ϕθϕπθ=-,那么
()()2211(,)
(,)
,,2,,b
r a
r f r drd d d d f r dr ϕϕθϕϕθϕθϕθθϕϕθΩ
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
（2）若(,,)(,,2)f r f r ϕθϕπθ=--那么 (),,0f r drd d ϕθϕθΩ
=⎰⎰⎰
2 若积分区域Ω可以写成
12ϕϕϕ≤≤或者是21πϕϕπϕ-≤≤-。

且
12,(0,)2
π
ϕϕ∈，a b θ≤≤，12(,)(,)r r r ϕθϕθ≤≤。

并且11(,)(,)r r ϕθπϕθ=-，
22(,)(,)r r ϕθπϕθ=-，即表示积分区域Ω关于xoy 平面对称。

则当
（1）
(,,)(,,)f r f r ϕθπϕθ=-
()()2211(,)
(,)
,,2,,b
r a
r f r drd d d d f r dr ϕϕθϕϕθϕθϕθθϕϕθΩ
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
（2）(,,)(,,)f r f r ϕθπϕθ=--
(),,0f r drd d ϕθϕθΩ
=⎰⎰⎰
3若积分区域Ω可以写成a b θ≤≤或者是a b πθπ+≤≤+，12ϕϕϕ≤≤，
12(,)(,)r r r ϕθϕθ≤≤，并且11(,)(,)r r ϕθϕπθ=+，22(,)(,)r r ϕθϕπθ=+即表示积
分区域Ω关于平面yoz 对称则
（1）当(,,)(,,)f r f r ϕθϕθπ=+时， ()()221
1(,)
(,)
,,2,,b
r a
r f r drd d d d f r dr ϕϕθϕϕθϕθϕθθϕϕθΩ
=⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
（2）当(,,)(,,)f r f r ϕθϕθπ=-+时， (),,0f r drd d ϕθϕθΩ
=⎰⎰⎰
例题2 计算()222222ln 11
z x y z dv x y z Ω
++++++⎰⎰⎰
，
其中Ω是由球面222
1x y z ++=所围成的闭区域．
解： 积分区域Ω关于xOy 平面对称，而被积函数
()2222
2
2
ln 11
z x y z x y z ++++++是关于
z 的奇函数（即()()()()222222222222
ln 1ln 111
z x y z z x y z x y z x y z ⎡⎤-++-++++⎣⎦=-+++++-+），故所求积分等于0。

3.3柱面坐标在三重积分计算中的应用
3.3.1一般情况下三重积分的柱面坐标计算法
cos ,0,
:sin ,02,,.x r r T y r z z z θθθπ= ≤<+∞ ⎧⎪
= ≤≤ ⎨⎪= -∞<<+∞ ⎩
（４）
由于变换T 的函数行列式
()cos cos cos ,,sin sin sin ,0J r z r θθθ
θθθθ = = 0 1
按（４）式，三重积分的柱面坐标变换元公式为
()'
(,,)cos ,sin ,V
V f x y z dxdydz f r r z rdrd dz θθθ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
例题 计算
()V
x y dxdydz +⎰⎰⎰
，其中V 是有曲面()222x y z +=与4z =为界的区域 解 V 在xOy 平面上的投影区域D 为22
2x y +≤．按柱坐标变换，区域'V 可表为
(
){}
2',,24,02.V r z r z r θθπ=≤≤≤≤≤≤
所以由公式，有
(
)22
23'24
30
283
V
V r
x
y dxdydz r drd dz
d r dz π
θπθ+= ==
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
3.3.2运用对称性和奇偶性简化柱面坐标三重积分计算
1若积分区域Ω可以写成(,)D ρθ∈；(,)(,)z z z ρθρθ-≤≤，其中(,)z ρθ为连续的函数，并且(,)0z ρθ≥（则表示积分区域关于xoy 平面是对称的）。

则
（1）假设(,,)(,,)f z f z ρθρθ-=，那么
()()(,)
,,2,,z D
f z d d dz d d f z dz ρθρθρθρθρθΩ
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
（2）假设(,,)(,,)f z f z ρθρθ-=-，那么
(),,0f z d d dz ρθρθΩ
=⎰⎰⎰
2若积分区域可以写成c z c -≤≤，(,)z D ρθ∈其中（z D 为积分区域Ω被竖标为z
的平面所截出来Ω的平面闭区域，且z z D D -=，即表示积分区域关于xoy 平面对称）
（1）假设(,,)(,,)f z f z ρθρθ-=，那么
()()0
,,2,,c
D
f z d d dz dz f z d d ρθρθρθρθΩ
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
（2）假设(,,)(,,)f z f z ρθρθ-=-，那么
(),,0f z d d dz ρθρθΩ
=⎰⎰⎰
3若积分区域Ω可以写2a a θπ≤≤-；并且0()ρρθ≤≤，0(,)z z ρθ≤≤。

且
(2)()
(,2)(,)
z z ρπθρθρπθρθ-=⎧⎨
-=⎩其中()ρθ、(,)z ρθ均为连续的函数（表示积分区域关于平面yoz 对称）。

（1）假设(,2,)(,,)f z f z ρπθρθ-=则
()()()
(,)
,,2,,z a
f z d d dz d d f z dz πρθρθρθρθθρρθΩ
=⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
（2）假设(,2,)(,,)f z f z ρπθρθ-=-则
(),,0f z d d dz ρθρθΩ
=⎰⎰⎰
4
若积分区域Ω可以写a a θπ≤≤-；并且0()ρρθ≤≤，
12(,)(,)z z z ρθρθ≤≤。

,并且()()
(,)(,)
z z ρπθρθρπθρθ-=⎧⎨-=⎩，其中()ρθ、(,)z ρθ均为连
续的函数（表示积分区域关于平面zox 对称）。

(1)假设(,,)(,,)f z f z ρπθρθ-=则
()()()
(,)
20
,,2,,z a
f z d d dz d d f z dz π
ρθρθρθρθθρρθΩ
=⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
(2)假设(,,)(,,)f z f z ρπθρθ-=-则
(),,0f z d d dz ρθρθΩ
=⎰⎰⎰
5若积分区域Ω可以写为12
12a a a a θπθπ≤≤⎧⎨+≤≤+⎩；并且0()ρρθ≤≤，
12(,)(,)z z z ρθρθ≤≤。

,并且()()
(,)(,)
z z ρπθρθρπθρθ+=⎧⎨+=⎩，其中()ρθ、(,)z ρθ均为连
续的函数（表示积分区域关于z 轴对称）。

（1）若(,,)(,,)f z f z ρπθρθ+=则
()()2
1
()
(,)
,,2,,a z a f z d d dz d d f z dz ρθρθρθρθθρρθΩ
=⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
（2）若(,,)(,,)f z f z ρπθρθ+=-则
(),,0f z d d dz ρθρθΩ
=⎰⎰⎰
第四章 球坐标、柱面坐标在曲面积分计算中的应用
曲面积分可以分为两种，分别是第一型曲面积分和第二型曲面积分。

计算曲面积分是整个积分计算中较为复杂与困难的问题。

但是当积分区域是圆柱面、球面或圆锥面时，可以类比三重积分的计算一样，运用球坐标变换和柱坐标变换可以简化计算。

4.1球坐标在曲面积分计算中的应用
当E 是球面或者是球面的一部分，假设球面的方程是2
2
2
2
x y z R ++=，利用球面的坐标(,,)r ϕθ,则球面的方程可以用r R =来表示，假设E ：r R =，m n θ≤≤，
a b ϕ≤≤。

利用球面坐标的坐标面θ=常数，ϕ=常数将积分曲面进行分割，得到许多小曲面，其面积元素为
2sin ds R d d ϕϕθ=
曲面元ds 上面的每一点(,,)x y z 和球面坐标(,,)r ϕθ之间的对应关系为
sin cos ,sin sin ,cos ,x R y R z R ϕθϕθϕ=
⎧⎪
= ⎨⎪= ⎩
得出
()2,,(sin cos ,sin sin ,cos )sin n b
m
a
E
f x y z dS d f R R R R d θϕθϕθϕϕϕ
=⎰⎰⎰⎰
例题3 求()22E
f x y dS
+⎰⎰
，其中S 为球面2222x y z a ++=
解： 可以利用球面坐标公式来计算，
sin cos ,sin sin ,cos ,x a y a z a ϕθϕθϕ= ⎧⎪
= ⎨⎪= ⎩
()22
2
4300
4sin 83
E
f x y dS d R d a ππ
θϕϕ
π +==⎰⎰⎰⎰
4.2柱面坐标在曲面积分计算中的应用
当E 是圆柱面货柱面的一部分，假设圆柱的方程是2
2
2
x y R +=，利用柱面的坐标(,,)r z θ,该圆柱面的方程可以用r R =来表示。

假设E ：r R =，m n θ≤≤，
12()()z ϕθϕθ≤≤。

以坐标面θ=常数，z =常数来分割曲面E ，设dS 为曲面E 上被
任意分割的一小块曲面，其面积元素dS Rd dz θ=，曲面元dS 上任意一点(,,)x y z 与对应的柱面坐标(,,)r z θ之间有着下面的关系
cos ,sin ,,x R y R z z θθ= ⎧⎪
= ⎨⎪= ⎩
所以
()21()
()
,,(cos ,sin ,)n
m
E
f x y z dS d f R R z Rdz
ϕθϕθθθθ =⎰⎰⎰⎰
例题4 求2221
E
dS x y z
++⎰⎰，其中S 是介于平面0z =，z H =之间的圆柱面，此圆柱面的方程为2
2
2
x y a +=。

解 利用柱面坐标公式变换得到
2222220012arctan
H E
a
dS d dz x y z a z H
a
πθπ =+++=⎰⎰⎰⎰
当计算第二型曲面积分时，可将第二型曲面积分化成第一型曲面积分
(cos cos cos )E
E
Pdydz Qdzdx zdxdy P Q R dS αβγ ++ =++⎰⎰⎰⎰，在利用上述方法
进行计算。

例题 5 求S
xdydz ydzdx zdxdy ++ ⎰⎰，其中S 为球面方程2222
x y z a ++=的外表面。

解：{
}}cos ,cos ,cos ,,n x y z αβγ==
3
4S
S s
xdydz ydzdx zdxdy a dS a π ++
=
==⎰⎰⎰⎰
结 论
参考文献
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