2020年广西省防城港市数学高二下期末预测试题含解析

2020年广西省防城港市数学高二下期末预测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下
根据上表可得回归方程9.49.1y x =+，则实数a 的值为（ ） A ．37.3 B ．38
C ．39
D ．39.5
【答案】C 【解析】 【分析】
求出(),x y ，代入回归方程，即可得到实数a 的值。

【详解】
根据题意可得：2345 3.54x +++==,26495412944
a a
y ++++==，
根据回归方程过中心点(),x y 可得：
1299.4 3.59.14
a
+=⨯+，解得：39a =； 故答案选C 【点睛】
本题主要考查线性回归方程中参数的求法，熟练掌握回归方程过中心点(),x y 是关键，属于基础题。

2．设a ，b ，c 都为正数，那么，用反证法证明“三个数1a b +，1b c +，1
c a
+至少有一个不小于2”时，做出与命题结论相矛盾的假设是（ ） A ．这三个数都不大于2 B ．这三个数都不小于2 C ．这三个数至少有一个不大于2 D ．这三个数都小于2
【答案】D 【解析】
分析：利用反证法和命题的否定分析解答. 详解：“三个数1a b +
，1b c +，1
c a
+至少有一个不小于2”的否定是“这三个数都小于2”， 所以做出与命题结论相矛盾的假设是这三个数都小于2.故答案为：D.
点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)三个数a,b,c 至少有一个不小于m 的否定是三个数都小于m.
分析：先求当x=3时，ˆy
的值5，再用4-5=-1即得方程在样本()3,4处的残差. 详解：当x=3时，235ˆ1y
=⨯-=，4-5=-1，所以方程在样本()3,4处的残差为-1. 故答案为：D.
点睛：（1）本题主要考查残差的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)残差=实际值-预报值，不要减反了.
4．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是 （ ）
A ．-1
B ．2
C ．-1或2
D ．1或-2
【答案】C 【解析】 【分析】
根据条件结构，分0x ≥，0x <两类情况讨论求解. 【详解】
当0x ≥时，因为输出的是1， 所以2log 1x =， 解得2x =.
当0x <时，因为输出的是1， 所以21x -+=，
本题主要考查程序框图中的条件结构，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于基础题. 5．已知单位向量,OA OB 的夹角为60，若2OC OA OB =+，则ABC ∆为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
【答案】C 【解析】
2,2,OC OA OB BC OC OB OA AC OC OA OA OB =+∴=-==-=+，
22222,23BC OA AC OA OB OA OB ∴===++⋅=，3,AC OA ∴=与OB 夹角为60，且1,1OA OB AB ==∴=，222
,AB AC BC ABC +=∴∆为直角三角形，故选C.
6．已知数列{}n a 为等比数列，首项12a =，数列{}n b 满足2log n n b a =，且2349b b b ++=，则5a =（ ） A ．8 B ．16 C ．32 D ．64
【答案】C 【解析】 【分析】
先确定{}n b 为等差数列，由等差的性质得3b 3=，进而求得{}n b 的通项公式和{}n a 的通项公式，则5a 可求 【详解】
由题意知{}n b 为等差数列，因为234b b b 9++=，所以3b 3=，因为1b 1=，所以公差d 1=，则n b n =，
即2n n log a =，故n n a 2=，于是5
5a 232==.
故选：C 【点睛】
本题考查等差与等比的通项公式，等差与等比数列性质，熟记公式与性质，准确计算是关键，是基础题
7．将函数()sin 3f x x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()cos2g x x =的图象，则
ϕ的最小值为（ ）
A ．
3
π
B ．
6
π C ．
12
π
D ．
24
π
【答案】C
根据题意得到变换后的函数解析式，利用诱导公式求得结果 【详解】
由题，向左平移(0)ϕϕ>不改变周期，故2ω=，
∴平移得到()sin 2sin 22cos 233x x x ππϕϕ⎡⎤⎡⎤
⎛⎫++
=++= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎝⎭⎣
⎦ 2+
=
+23
2
k π
π
ϕπ∴，12
k π
ϕπ∴=
+
0ϕ>，∴当0k =时，min 12
π
ϕ=
，故选C
【点睛】
本题考查函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，利用诱导公式完成正、余弦型函数的转化
8．已知实数,a b 满足b a a b =，且log 2a b =，则(ab = ) A ．
1
2
B ．2
C ．4
D ．8
【答案】D 【解析】 【分析】
由a log b 2=，可得2a b =，从而得2
a 2a a a =，解出,a
b 的值即可得结果．
【详解】
实数,a b 满足a log b 2=，故2a b =， 又由b a a b =得：2
a 2a a a =， 解得：a 2=，或a 0(=舍去)， 故
b 4=，
ab 8=，故选D ．
【点睛】
本题考查的知识点是指数的运算与对数的运算，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题． 9．如图所示十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线有( )
A ．24种
B ．16种
C ．12种
D ．10种
根据题意，车的行驶路线起点有4种，行驶方向有3种，所以行车路线共有43=12⨯种，故选C. 10．在0、1、2、3、4、5这6个数字组成的没有重复数字的六位数中，能被2整除的数的个数为（ ） A ．216 B ．288 C ．312 D ．360
【答案】C 【解析】 【分析】
根据能被2整除，可知为偶数.最高位不能为0，可分类讨论末位数字，即可得总个数. 【详解】
由能够被2整除，可知该六位数为偶数，根据末位情况，分两种情况讨论： 当末位数字为0时，其余五个数为任意全排列，即有5
5A 种；
当末位数字为2或4时，最高位从剩余四个非零数字安排，其余四个数位全排列，则有114244C C A ， 综上可知，共有5114524454321244321120192312A C C A +=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+=个.
故选：C. 【点睛】
本题考查了排列组合的简单应用，分类分步计数原理的应用，属于基础题.
11．焦点为06（，）
且与双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是 A ．22
11224
y x -=
B ．2212412y x -=
C ．2212412x y -=
D ．2211224
x y -=
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题目要求解的双曲线与双曲线2
212x y -=有相同的渐近线，
且焦点在y 轴上可知，设双曲线的方程为()2
2
02
x y λλ-=>，将方程化成标准形式，根据双曲线的性质222+=a b c ，求解出λ的值，即可求
出答案． 【详解】
由题意知，设双曲线的方程为()
2
202
x y λλ-=>，化简得()2
2
102y x λλλ
-=>．
所以双曲线的方程为
22
1
1224
y x
-=，故答案选A．
【点睛】
本题主要考查了共渐近线的双曲线方程求解问题,共渐近线的双曲线系方程与双曲线
22
22
1
x y
a b
-=有相同
渐近线的双曲线方程可设为
22
22
(0)
x y
a b
λλ
-=≠，若0
λ>，则双曲线的焦点在x轴上，若0
λ<，则双曲
线的焦点在y轴上．
12．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.8,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是（）
A．0.8B．0.9C．5
8
D．
8
9
【答案】D
【解析】
分析：根据题意，记甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件B，目标被击中为事件C，由相互独立事件的概率公式，计算可得目标被击中的概率，进而由条件概率的公式，计算可得答案．
详解：根据题意，记甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件B，目标被击中为事件C，则P（C）=1﹣P（A）P（B）=1﹣（1﹣0.8）（1﹣0.5）=0.9；
则目标是被甲击中的概率为P=0.88 0.99
=.
故答案为：D.
点睛：（1）本题主要考查独立事件的概率和条件概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能
力.(2)条件概率的公式:
()
(|)
()
P AB
P B A
P A
=，
(|) P B A=
()
()
n AB
n A
.条件概率一般有“在A已发生的条件下”这样的关键词，表明这个条件已经发生，发
生了才能称为条件概率.但是有时也没有，要靠自己利用条件概率的定义识别.
二、填空题：本题共4小题
13．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术，得诀自诩无所阻，额上纹起终
不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：==
【答案】9999 【解析】
分析：观察所告诉的式子，找到其中的规律，问题得以解决. 详解：222
233=，333388=，44441515=，55
55
2424
=， 按照以上规律100100
100100
n n
=，可得210019999n =-=. 故答案为9999.
点睛：常见的归纳推理类型及相应方法 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：
(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等． (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．
14．已知点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在半平面α 内，且12
POB π
∠=，若对于半平面β内
异于O 的任意一点Q ，都有12
POQ π
∠≥，则二面角AB αβ--大小的取值的集合为__________.
【答案】{}90
【解析】 【分析】
画出图形，利用斜线与平面内直线所成的角中，斜线与它的射影所成的角是最小的，判断二面角的大小即可. 【详解】
如下图所示，过点P 在平面α内作PC AB ⊥，垂直为点C ，
点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在平面α内，且12
POB π
∠=，
若对于平面β内异于点O 的任意一点Q ，都有12
POQ π
∠≥
.
即POB ∠是直线PO 与平面β所成的角，PC ∴⊥平面β，
PC ⊂平面α，所以，平面α⊥平面β，所以，二面角AB αβ--的大小是90.
故答案为：{}90.
【点睛】
本题考查二面角平面角的求解，以及直线与平面所成角的定义，考查转化与化归思想和空间想象能力，属于中等题.
15．已知方程2(21)30x i x m i --+-=有实根，则实数m =__________； 【答案】
112
【解析】 【分析】
首先设方程的实根为0x ，代入整理为复数的标准形式，利用实部和虚部都为0，求得实数m 的值. 【详解】
设方程的实数根为0x ，
则()
()2
2
000000233210x x i x m i x x m x i -++-=++-+=
所以2000
30210x x m x ⎧++=⎨
+=⎩ ，解得：012x =-，1
12m =. 故答案为：1
12
【点睛】
本题考查虚系数一元二次方程有实数根，求参数的取值范围，重点考查计算能力，属于基础题型. 16．若角α 满足sin 2cos 0αα+=，则tan2α ＝_____； 【答案】43
【解析】 【分析】
由sin α2cos α0+=，得tanα＝-2，由二倍角的正切公式化简后，把tanα的值代入即可． 【详解】
∵sina+2cosa=0，得sin α2cos α=-，即tanα＝-2，∴tan2α＝()()22
222tan 41tan 3
12αα⨯-==--- ． 故答案为4
3
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足13a =，2
11(2)n n S a n n -=++≥．
（1）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明； （2）令1
1
n n n b a a +=
⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【答案】（1）25a =，37a =，49a =，21n a n =+，N n +∈，见解析；（2）69
n n
T n =+ 【解析】 【分析】
（1）计算2a ，3a ，4a ，猜想可得n a ，然后依据数学归纳法的证明步骤，可得结果. （2）根据（1）得n b ，然后利用裂项相消法，可得结果. 【详解】
（1）当2n =时，
22121S a =++，即238a +=，解得25a =
当3n =时，
23231S a =++，即33515a ++=，解得37a =
当4n =时，
24341S a =++，即435724a +++=，解得49a =
猜想21n a n =+，下面用数学归纳法证明： 当1n =时，12113a =⨯+=，猜想成立 假设当()N n k k +=∈时， 猜想成立， 即21k a k =+，2(321)
22
k k k S k k ++=
=+，
则当1n k =+时，2
1(1)1k k S a k +=+++，
21(1)1k k k S a a k +∴+=+++，
21(1)1k k k a a k S +∴=+++-，
()
22121(1)122(1)1k a k k k k k +=++++-+=++
所以猜想成立．
（2）由（1）得1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫
=
=- ⎪++++⎝⎭
则数列{}n b 的前n 项和
111111
1235572123n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+
+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
111232369
n n
T n n ⎛⎫=
-= ⎪
++⎝⎭ 【点睛】
本题考查数学归纳法证明方法以及裂项相消法求和，熟练掌握数学归纳法的步骤，同时对常用的求和方法要熟悉，属基础题.
18．已知抛物线2:4y x Γ=，F 为其焦点，过F 的直线l 与抛物线Γ交于A 、B 两点． （1）若2AF FB =，求B 点的坐标；
（2）若线段AB 的中垂线l '交x 轴于M 点，求证：
AB
FM
为定值； （3）设()1,2P ，直线PA 、PB 分别与抛物线的准线交于点S 、T ，试判断以线段ST 为直径的圆是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）12⎛ ⎝或1
,2⎛ ⎝
；（2）证明见解析；（3）以线段ST 为直径的圆过定点,定点的坐标()3,0-或()1,0. 【解析】 【分析】
（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线l 的方程为1x my =+，将直线l 的方程与抛物线Γ的方程联立，列出韦达定理，由2AF FB =，可得出122y y =-，代入韦达定理可求出2y 的值，由此可得出点B 的坐标； （2）求出线段AB 的中垂线l '的方程，求出点M 的坐标，求出AB 、FM 的表达式，即可证明出AB
FM
为定值；
（3）根据对称性知，以线段ST 为直径的圆过x 轴上的定点，设定点为(),0Q
q ，求出点S 、T 的坐标，
由题意得出0TQ SQ ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算并代入韦达定理，可求出q 的值，从而得出定
（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线l 的方程为1x my =+，易知点()1,0F ，
()111,AF x y =--，()221,FB x y =-，由2AF FB =可得122y y -=，得122y y =-.
将直线l 的方程与抛物线Γ的方程联立214x my y x
=+⎧⎨=⎩，消去x 得，2
440y my --=，
由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，
122y y =-，2
12224y y y ∴=-=-，得22y =±.
此时，2
221
42
y x ==，因此，点B
的坐标为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；
（2）易知0m ≠，
1222y y m +=，()1221212122
m y y x x
m ++=+=+， 所以，线段AB 的中点坐标为(
)
2
21,2m m +，则直线l '的方程为(
)
2
221y m m x m -=---，
即2
23y mx m m =-++，在该直线方程中，令0y =，得223x m =+，则点(
)
2
23,0M m +.
()
()2
22212121211441AB m x x m x x x x m =+⋅-=+⋅
+-=+，
()2223121FM m m =+-=+，因此，
()()
22
41221m AB FM
m +=
=+（定值）；
（3）如下图所示：
抛物线Γ的准线方程为1x =-，设点()1,S s -、()1,T t -.
()211111,21,24y PA x y y ⎛⎫
=--=-- ⎪⎝⎭
，()2,2PS s =--，
P 、A 、S 三点共线，则//PA PS ，则()()21121224y s y ⎛⎫
--=-- ⎪⎝⎭
，得11242y s y -=+，
则点11241,
2y S y ⎛⎫
-- ⎪+⎝⎭，同理可知点22241,2y T y ⎛⎫-- ⎪+⎝
⎭.
由对称性可知，以线段ST 为直径的圆过x 轴上的定点(),0Q
q ，则0TQ SQ ⋅=.
11241,2y TQ q y ⎛⎫-=+ ⎪+⎝⎭，22241,2y SQ q y ⎛⎫
-=+ ⎪+⎝⎭
.
()()()()()
()()()2
2
12121212121224244816112224y y y y y y TQ SQ q q y y y y y y ---++⋅=++=++
+++++()()()2
2
44841611404244
m q q m ⨯--⨯+=++
=+-=-+⨯+，解得3q =-或1.
因此，以线段ST 为直径的圆过定点()3,0-和()1,0. 【点睛】
本题考查抛物线中的向量成比例问题、线段长度的比值问题以及圆过定点问题，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行求解，考查运算求解能力，属于难题. 19．用数学归纳法证明：111
1133557
(21)(21)21
n
n n n ++++
=⨯⨯⨯-++
【答案】证明见解析 【解析】 【分析】
利用数学归纳法的证明标准，验证1n =时成立，假设n k =时成立，证明1n k =+时等式也成立即可. 【详解】
证明：（1）当1n =时，左边13=
，右边1
3
=，等式成立. （2）假设当n k =时，等式成立， 即
111
1133557
(21)(21)21
k k k
k ++++
=⨯⨯⨯-++，
那么，当1n k =+时，
左边＝
11111
+133557(21)(21)(2+1)(2+3)
k k k k ++++
⨯⨯⨯-+
11
=
21(21)(23)23
k k k k k k ++=++++， 这就是说，当1n k =+时等式也成立. 根据（1）和（2），可知等式
111
1133557
(21)(21)21
n
n n n ++++
=⨯⨯⨯-++对任何*n N ∈都成立.
本题是中档题，考查数学归纳法的应用，注意数学归纳法证明时，必须用上假设 20．在ABC △中，己知123
tan ,cos(),55
C A B A B =-=> （1）求sin()A B +的值； （2）求cos2A 的值. 【答案】 (1) 12
13;(2) 6365
- 【解析】 【分析】
（1）通过12
tan 5
C =，可计算出C 角正弦及余弦值，于是通过诱导公式可得答案； （2）通过3cos()5A B -=，可得4
sin()5
A B -=，再利用()()cos 2cos A A B A B ⎡⎤=++-⎣⎦可得答案.
【详解】
(1) 在ABC △中, 由于12tan 5C =，故22sin 12cos 5
sin cos 1C C C C ⎧=⎪⎨⎪+=⎩ ，解得12sin 13
5cos 13C C ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()12
sin()sin sin 13
A B C C π+=-==
； （2）由（1）可知()5cos()cos cos 13A B C C π+=-=-=-
，而3
cos(),5
A B A B -=>，所以4
sin()5
A B -=
，所以 ()()()()()()63cos 2cos cos cos sin sin 65
A A
B A B A B A B A B A B ⎡⎤=++-=+⋅--+⋅-=-
⎣⎦. 【点睛】
本题主要考查同角三角函数的关系，诱导公式的运用，意在考查学生的转化能力，计算能力及分析能力，难度不大.
21．在直角坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为()20，
，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为：1x t y t =-⎧⎨=+⎩
（t 为参数）．
（1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；
（2）点P 的极坐标为12π⎛⎫
⎪⎝⎭
，，直线l 与圆C 相交于A ，B ，求PA PB +的值．
【答案】（1）圆C 的极坐标方程为2
4cos 20ρρθ-+=， l 的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=；（2
） 【解析】
（1）x cos y sin ρθ
ρθ=⎧⎨
=⎩
代入圆C 得圆C 的极坐标方程；直线l 的参数方程转化成普通方程，进而求得直线l 的
极坐标方程；（2）将直线l 的参数方程代入圆的方程，求得关于t 的一元二次方程，令A ，B 对应参数分别为t 1，t 2，根据韦达定理、直线与圆的位置关系，即可求得|PA|+|PB|的值． 【详解】
（1）圆C 的直角坐标方程为：()2
222x y -+=，
把x cos y sin ρθρθ
=⎧⎨=⎩代入圆C 得：()2
22cos 2sin 2ρθρθ-+= 化简得圆C 的极坐标方程为：2
4cos 20ρρθ-+=
由:l 1x t y t =-⎧⎨=+⎩
（为参数），得1x y +=，
∴ l 的极坐标方程为：cos sin 1ρθρθ+=.
（2）由点P 的极坐标为12π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，得点P 的直角坐标为()01P ，，
∴直线l 的参数方程可写成：22
212
x t y t ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（为参数）． 代入圆C 得：2
2
2221222t t ⎛⎫⎛⎫
--++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭化简得：2t 3230t ++=， ∴1232t t +=-，123t t ⋅=，
∴()121232PA PB t t t t +=+=-+= 【点睛】
本题考查圆的极坐标方程与普通方程的转换，直线与圆的位置关系，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．一般t 的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故PA PB +，PA PB -，PA PB 均可用t 来表示，从而转化为韦达定理来解决.
22．如图，设△ABC 的三个内角A 、B 、C 对应的三条边分别为，且角A 、B 、C 成等差数列，
，
线段AC 的垂直平分线分别交线段AB 、AC 于D 、E 两点.
（1）若△BCD 的面积为
，求线段CD 的长；
（2）若，求角A 的值.
【答案】（1）3；（2）4
π。

【解析】 试题分析：
（1）由题三角形ABC 的三个内角A,B,C 成等差数列，结合内角和为π，可以列出方程组2A B C B A C π
++=⎧⎨=+⎩
，
所以可以求出角3
B π
=
，又已知2a BC ==，且三角形BCD 的面积为
3
，根据三角形面积公式可有
1sin 32BD BC B =⋅⋅，可以求出2
3
BD =，在三角形BCD 中，可以应用余弦定理求出CD 边的长度； （2）在三角形BCD 中，应用正弦定理：
sin sin CD BC
B BDC
=
∠，所以可以求出sin 1BDC ∠=，于是得到90BDC ∠=，所以BD CD ⊥，则90ADC ∠=，且DE 为线段AC 的垂直平分线，所以DA=DC ，即三角
形ADC 为等腰直角三角形，所以可以求出A 角的值。

本题考查解利用正、余弦定理解三角形，要求学生掌握定理的基本应用。

能够灵活的运用定理解决实际问题。

试题解析：
（1）∵角A,B,C 成等差数列，
，∴
又∵△BCD 的面积为，，∴，∴
在△BCD 中，由余弦定理可得
（2）由题意，在△BCD 中，，即，
∴，则，即
又DE 为AC 的垂直平分线，故
考点：1.正弦定理；2.余弦定理；3.解三角形。