浙江省慈溪中学09-10学年高二下学期期中考试(数学理)6-10班

慈溪中学2009-2010学年第二学期期中考试
高二（6）---（10）班数学试卷 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．如果复数i a a a a z )23(222+-+-+=为纯虚数，那么实数a 的值为（ ）
A ．－2
B ．1
C ．2
D ．1或 －2
2、已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：
①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒
③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥
其中正确命题的序号是 （ ）
A ．①③
B ．②④
C ．①④
D ．②③
3、函数x x x y sin cos -=在下列哪个区间内是增函数（ ）
A. )23,2(ππ
B. )2,(ππ
C. )2
5,23(ππ D. )3,2(ππ 4、设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是（ ）
A. 22-
B. 335-
C. 2
7- D. －3 5、已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是
（A ）-1<a <2 (B) -3<a <6 （C ）a <-3或a >6 (D) a <-1或a >2 ( )
6、曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是 （ ）
()A ()B ()C ()D 0
7、若*)(1)(2N n n n f ∈+为的各数位上的数字之和，如1971142=+，
则17791)14(=++=f ，记)),(()(),()(121n f f n f n f n f ==…
)),(()(1n f f n f k k =+*N k ∈，则2010(8)f = （ ）
()A 1 ()B 5 ()C 8 ()D 11
8、设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能
正确的是 （ ）
9、在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n
+=++，则n a = （ ） A ．2ln n + B ．2(1)ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++
10、若C z ∈，且|i 1|,0i i -+≤-+∙z ••z z z z 则的最大值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．526+
D ．15-
二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分
11、若直线⎩⎨⎧+=-=.
2,21:1kt y t x l （t
线2,:12.
x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 12.定义某种运算b a S ⊗=,式子:31100lg ln 45tan 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛⊗+⊗⎪⎭⎫ ⎝⎛e π的值是 ▲ . 13、如图，将一个边长为1得图（2），如此继续下去，得图（3）……试用 n 表示出第n 个图形的边数n a = ▲
14、已知a 0≠0.
① 设方程a 0x ＋a 1＝0的1个根是x 1, 则x 1＝－0
1a a ； ② 设方程a 0x 2＋a 1x ＋a 2＝0的2个根是x 1, x 2, 则x 1 x 2＝
02a a ； ③ 设方程a 0x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝0的3个根是x 1, x 2, x 3, 则x 1 x 2 x 3＝－0
3a a ； ④ 设方程a 0x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4＝0的4个根是x 1, x 2, x 3, x 4, 则x 1 x 2 x 3 x 4＝
04a a ； ……
由以上结论, 推测出一般的结论:
设方程a 0x n ＋a 1x n -1＋a 2x n -2＋…＋a n -1x ＋a n ＝0的n 个根是x 1, x 2, …, x n ,
则x 1 x 2…x n ＝___▲_____.
15、设221
)(+=x x f ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得
)6()5()0()4()5(f f f f f ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-的值是____▲______
16、如图，对于命题：点P ，Q 是线段AB 的三等分点，则
有OP OQ OA OB +=+，把此命题推广： 设点A 1，A 2 ，A 3，…，Ａn-1是AB 的n 等分点（n ≥3）
O
A P Q B
则121n OA OA OA -+++= ▲ ()OA OB +
17、已知函数()f x ,x ∈R 满足(2)3f =，且()f x 在R 上的导数满足/()10f x -<，则不等式
22()1f x x <+的解集为__ ▲ __.
三、解答题: 本大题共5小题, 共72分。

解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。

18、（本题满分14分） 已知复数1ω=+
(1) 求复数2642
z ωωω-+=-的模 (2) 若复数1,,z z z
在复平面上的对应点分别是A,B,C ,求ABC 的面积. 19、（本题满分14分） 已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax 2+2bx +c =0，bx 2+2cx +a =0，cx 2+2ax +b =0至少有一个方程有两个相异实根
20、（本题满分14分）对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠.有以下结果：
定义（1）设()f x ''是函数()y f x =的导数()y f x '=的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()00,()x f x 为函数()y f x =的“拐点”
； 定理（2）设0x 为常数，若定义在R 上的函数()y f x =对于定义域内的一切实数x ，都有000()()2()f x x f x x
f x ++-=成立，则函数()y f x =图象关于点()00,()x f x 对称. 己知32()322f x x x x =-++，请回答下列问题：
（Ⅰ）求函数()f x 的“拐点”A 的坐标；检验函数()f x 的图象是否关于“拐点”A 对称； （Ⅱ）对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明），并写出一个三次函数()G x ，使得它的“拐点”横坐标为1-（不要过程）.
21、（本题满分15分）已知抛物线28x y =的焦点为,F A B 、是抛物线上的两动点，且(0),A F F B λλ=>过A B 、两点分别作抛物线的切线，设其交点为M
（1）证明线段FM 被x 轴平分 （2）计算FM AB ⋅的值
（3）求证2||||||FM FA FB =⋅
22、（本题满分15分）设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．
（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数；
（Ⅱ）证明：11n n a a +<<；
（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b
-≥．证明：1k a b +>．
高二6-10班数学试卷答案（2010.4）
()66f x x ''∴=-.……………………2分
由()0f x ''= ，即660x -=.∴1x =，又 (1)2f =， ∴32()322f x x x x =-++的“拐点”坐标是(1,2).……………………4分 =32(1)3(1)2(1)2x x x +-++++32(1)3(1)2(1)2x x x +---+-+ ,AM BM ∴⊥而 MF AB ⊥ 所以在直角MAB ∆中， 由影射定理即得2||||||FM FA FB =⋅ …15分
22、（Ⅰ）证明：()ln f x x x x =-，()()()'ln ,0,1'ln 0f x x x f x x =-∈=->当时， 故函数()f x 在区间(0,1)上是增函数； …5分 （Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i ）当n=1时，101a <<，11ln 0a a <，。