最新北师大版高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试题(有答案解析)(1)

一、选择题
1．若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2．若复数z 满足(34)25i z i +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是
A ．3i
B ．3i -
C ．3
D ．-3
3．如果复数212bi
i
-+的实部与虚部互为相反数，那么实数b 的值为（ ）
A B ．
23
C ．-2
D ．23
-
4．已知复数z 满足()(13)10z i i i ++=，其中i 为虚数单位，则z =（ ）
A B C ．6
D ．3
5．复数
421i
i
-=+（ ） A ．13i +
B ．13i -
C ．13i -+
D ．13i --
6．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A ．1
B ．i
C ．1-
D ．i -
7．(1)两个共轭复数的差是纯虚数；（2）两个共轭复数的和不一定是实数；（3）若复数
(,)a bi a b R +∈是某一元二次方程的根，则a bi -是也一定是这个方程的根；（4）若z 为
虚数，则z 的平方根为虚数，其中正确的个数为 （ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
8．设复数z 满足1i z --=z 的最大值为（ ）．
A B ．2
C ．
D ．4
9．满足条件3z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ） A ．直线
B ．圆
C ．椭圆
D ．线段
10．设i 是虚数单位，复数1a i
i
-+在复平面内对应的点在直线10x y -+=上，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0
C ．-1
D ．2
11．已知复数(3)(2)z m i i =+-+在复平面内对应的点在第三象限，则实数m 的取值范围
是（ ） A ．(,1)-∞ B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
C ．2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．2,
(1,)3⎛⎫
-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭
12．复数z 满足(1)35i z i -⋅=+，则||z =
A ．2
B ．C
D 二、填空题
13．i 是虚数单位，则232017232017i i i i +++
+=_______.
14．已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则复数z =________． 15．i 是虚数单位，复数z 满足(2)34z i i ⋅-=+，则z =__________． 16．若复数1(1)z m m i =++-为纯虚数，则实数m =____________.
17．已知复数z 满足(1)i z i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为______． 18．设m R ∈，复数22235(23)z m m m m i =--+--，当m =_________时，z 为纯虚数. 19．若(1)(2)i i a bi ++=+，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b +=___________． 20．若复数z 1=a ﹣i ，z 2=1+i （i 为虚数单位），且z 1⋅z 2为纯虚数，则实数a 的值为_____．
三、解答题
21．实数m 取怎样的值时，复数226(215)z m m m m i =--+--是： （1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？ 22．已知复数2(1)36z i i =-++.
(1)求z 及z ，（2）若2820z az b i ++=-+，求实数,a b 的值．
23．(1)
，求实数a 的值；
(2)若复数z ＝
21i
i
-，求|z ＋3i|.
24．（I ）设复数z 和它的共轭复数z 满足42i z z +=，求复数z . （Ⅱ）设复数z 满足|22|8z z ++-=,求复数z 对应的点的轨迹方程.
25．已知复数()()
22
26z m m m m i =-++-所对应的点分别在
（1）虚轴上；
（2）第三象限．试求以上实数m 的值或取值范围． 26．（Ⅰ）若R t ∈,0≠t 时，求复数=z ti t
+1
的模的取值范围； （Ⅱ）在复数范围内解关于z 方程i
i
i z z z
+-=
++23)(2
(i 为虚数单位)．
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一、选择题
解析：A 【分析】
设z x yi =+，得到()()2
2
221x y ++-=，化简得到12z i --=根据其几何意义计算得到答案. 【详解】
设z x yi =+，则()()22221z i x y i +-=++-=
=，
即()()2
2
221x y ++-=，表示圆心为()2,2-，半径为1r =的圆.
()()1212z i x y i --=-+-=，表示点(),x y 和()1,2之间的距
离，故()()
min 12122z i r --=---=. 故选：A. 【点睛】
本题考查了复数的模，与圆相关距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
2．C
解析：C 【分析】
本道题目可以设出z a bi =+,然后结合待定系数法,计算参数,即可得出答案. 【详解】
设z a bi =+,代入原式得到()()()()34343434i z i a bi a b b a i +=++=-++ 结合待定系数法得到340,3425a b b a -=+=,解得3b =, 故选C. 【点睛】
本道题目考查了待定系数法和复数的四则运算,注意虚部是指i 的系数.
3．D
解析：D 【分析】
先根据复数除法化为代数形式，再根据实部与虚部互为相反数解得b 的值. 【详解】
因为()2242125b b i bi i --+-=+,所以()4222
553b b b -+-=-=-，,选D.
【点睛】
本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为
(,)a b 、共轭为.-a bi
解析：D 【解析】
分析：由()()1310z i i i ++=，，可得10i
13i
z i =-+，利用复数除法法则可得结果. 详解：因为()()1310z i i i ++=，
所以()()()
22
10i 13i 10i 30i 10i 13i 13i 13i 19i z i i i --+=-=-=-++-- 30+10i
310
i =
-=，所以3z =，故选D. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
5．B
解析：B 【解析】
()()()22
421424422261311(1)
12i i i i i i i
i i i i i -----+-====-++-- 故选B
6．A
解析：A 【解析】
()12i z i +=22(1)
112
i i i z i i -⇒=
==++，所以z 的虚部是1，选A. 7．C
解析：C 【分析】
直接利用复数的基本概念判断命题的真假即可． 【详解】
（1）两个共轭复数的差是纯虚数；如果两个复数是实数，差值也是实数，所以（1）不正确；
（2）两个共轭复数的和不一定是实数，不正确，和一定是实数；
（3）若复数(,)a bi a b R +∈是某一元二次方程的根，则a bi -是也一定是这个方程的根，不正确，因为实系数方程的虚根才是共轭复数，所以（3）不正确；
（4）若z 为虚数，则z 的平方根为虚数，设(,0)z x yi x y R y =+∈≠，，其平方根为
(,)a bi a b R +∈,设222(),2,20a bi x yi a b abi x yi ab y +=+∴-+=+∴=≠，
所以0,0a b ≠≠，所以z 的平方根为虚数．所以该命题正确. 故选：C ． 【点睛】
本题考查命题的真假的判断与应用，复数的基本概念和计算的应用，考查计算能力．
8．C
解析：C 【分析】
通过复数的几何意义，得到最大值为直径，计算得到答案. 【详解】
复数z 对应复平面上的点是以()1,1z 的最大值即为圆的直径
故选C
【点睛】
本题考查了复数模的最大值，找出对应的几何意义是解题的关键.
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
设复数z =x +yi ，结合复数模的定义可得z 对应点的轨迹. 【详解】
设复数z =x +yi ，则：()1z i x y i +=++=
()3z i x y i +=++=结合题意有：()()2
2
2
2
13x y x y ++=++，
整理可得：310--=x y . 即复数z 对应点的轨迹是直线. 故选A . 【点睛】
本题主要考查复数的模的计算公式，复数中的轨迹问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．C
解析：C 【解析】 【分析】 根据复数的运算得
11
122
a i a a i i --+=-+，得到复数在复平面内对应的点为
11
(
,)22
a a -+-，代入直线的方程，即可求解． 【详解】
由题意，复数
()()()()1(1)(1)11
111222
a i i a i a a i a a i i i i -----+-+===-++-， 所以复数在复平面内对应的点为11
(,)22
a a -+-， 则
11
1022
a a -+++=，解得1a =-，故选C ． 【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示的应用，其中解答熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
11．B
解析：B 【分析】
根据复数的几何意义建立不等式关系即可. 【详解】
(3)(2)(32)(1)z m i i m m i =+-+=-+-， 若复数在复平面内对应的点在第三象限， 则32010
m m -<⎧⎨
-<⎩，解得2
3m <，
所以m 的取值范围是2(,)3
-∞， 故选B. 【点睛】
该题考查的是有关复数在复平面内对应的点的问题，属于简单题目.
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
首先确定复数z ，然后求解复数的模即可. 【详解】
由题意可得：351i
z i +=-，则
353511i i z i i ++====--. 本题选择C 选项. 【点睛】
本题主要考查复数的运算法则，复数的模的求解等知识，意在考查学生的转化能和计算求解能力.
二、填空题
13．【分析】将视为数列的前项的和然后利用错位相减法可求出结果【详解】为数列的前项的和则上述两式相减得故答案为：【点睛】本题考查复数乘方的运算同时也考查利用错位相减法求和考查计算能力属于中等题 解析：10081009i +
【分析】 将232017232017i i i i ++++视为数列{}n
ni
的前2017项的和，然后利用错位相减法可
求出结果. 【详解】
232017232017i i i i +++
+为数列{}n
ni
的前2017项的和2017
S
，
则2
3
20172017232017S i i i i =+++
+，
23201720182017220162017iS i i i i ∴=
++
++，
上述两式相减得
()()2017232017201845042
201711201720171i i i S i i i i i i i
⨯+--=+++
+-=
--()()
4504121120172017201711i i i i i i i
i
⨯+--=
-=
+=+--， ()()()()
201720171201720162018100810091112i i i i
S i i i i ++++∴=
===+--+. 故答案为：10081009i +. 【点睛】
本题考查复数乘方的运算，同时也考查利用错位相减法求和，考查计算能力，属于中等题.
14．【解析】【分析】由题意利用复数的除法运算法则确定z 的值即可【详解】【点睛】本题主要考查复数的除法运算属于基础题
解析：1i +. 【解析】 【分析】
由题意利用复数的除法运算法则确定z 的值即可. 【详解】
()()()2122211112
i i i i z i i i i -+=
===+++-. 【点睛】
本题主要考查复数的除法运算，属于基础题.
15．【解析】分析：由题意结合复数的运算法则和复数求模的性质整理计算即
可求得最终结果详解：由题意可得：则故答案为点睛：本题主要考查复数的模的运算法则共轭复数的概念与性质等知识意在考查学生的转化能力和计算求
【解析】
分析：由题意结合复数的运算法则和复数求模的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：342i
z i
+=-，
则34
2i z z i
+==
=
=-
点睛：本题主要考查复数的模的运算法则，共轭复数的概念与性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．-1【解析】∵复数为纯虚数
故答案为-1
解析：-1 【解析】
∵复数()11z m m i =++-为纯虚数， 1010m m ∴+=-≠，，
1m ∴=- . 故答案为-1
17．【解析】因为所以即复数的实部为
解析：1
2
【解析】
因为()1i z i +=,所以112i i z i +=
=+ ,即复数z 的实部为12
18．【解析】∵z 为纯虚数∴且解得：m=点睛：对于复数当且仅当b=0时复数a+bi(ab ∈R)是实数a ；当b≠0时复数z=a+bi 叫做虚数；当a=0且b≠0时z=bi 叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时z 就是
解析：5
2
【解析】
∵z 为纯虚数，∴22350m m --=且2230m m --≠，解得：m=
52
.
点睛：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R)是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0
19．4【解析】试题分析：故答案为4考点：复数的运算
解析：4 【解析】
试题分析：1)(23314i i a bi i a bi a b a b +-=++=+∴==∴+=（
），即，，，，故答案为4．
考点：复数的运算．
20．-1【详解】试题分析：由已知得因z1z2为纯虚数所以故考点：复数概念
解析：-1 【详解】
试题分析：由已知得
，因z 1⋅z 2为纯虚数，所以
，故
考点：复数概念
三、解答题
21．（1）5m =或3m =-；（2）5m ≠且3m ≠-；（3）3m =或2m =- 【分析】
（1）由虚部等于0列式求解m 的值； （2）由虚部不等于0列式求解m 的值；
（3）由实部等于0且虚部不等于0列式求解m 的值. 【详解】
（1）当22150m m --=，即5m =或3m =-时，z 的虚部等于0， 所以当5m =或3m =-时，z 为实数；
（2）当22150m m --≠时，即5m ≠且3m ≠-时，z 为虚数；
（3）当2260
2150m m m m ⎧--=⎨--≠⎩
时，即3m =或2m =-时，z 为纯虚数.
【点睛】
该题考查的是有关根据复数的类别求解参数的值的问题，涉及到的知识点有复数的分类，属于简单题目.
22．(1) 34,5z i z =+=. (2) 1,2a b =-=. 【分析】
()1利用复数代数形式的运算进行化简求得z ，根据求模公式可得z
()2由()1把z 代入等式，利用复数相等的充要条件可得方程组，解出即可得到答案
【详解】
（1）解：（1）依题意得，
（2）
解得：
【点睛】
本题主要考查了复数代数形式的运算和求模公式，复数相等的充要条件 23．(1)2-;(2)5. 【解析】
分析：(1)根据复数乘法，转化为两个复数相等，再根据复数相等得实数a 的值；（2）先化简z ，再求共轭复数，代入化简，最后根据复数的模求结果. 详解： （1）由题意可知 2+ai=-i(1+
i)=-i-(
i)2=2-i.故a=-.
（2）因为z==
=i(1+i)=-1+i ，
所以
=-1-i ，所以
+3i=-1+2i ，故|
+3i|=|-1+2i|=
.
点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，
如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 22a b +(,)a b 、共轭为
.-a bi
24．（I ）31
i 2z =；（II ）
22
11612
x y +=. 【解析】 【详解】 试题分析：
(Ⅰ)利用复数的运算法则得到关于实数x,y 的方程，求解方程可得31
2
z i =
+ (Ⅱ)设复数z x yi =+，利用距离公式可得轨迹方程为椭圆：2211612
x y
+=.
试题
（I ）设,4262z x yi z z x yi =++=+则
4233z z i +=+可得6233x yi i +=+所以31,22
x y =
= 3122z i ∴=+. （II ）设复数z x yi =+，由|22|8z z ++-=得
()()2222228x y x y +++-+=其轨迹是椭圆.
方程为22
11612
x y +=. 25．（1）0m =;（2）02m <<.
【分析】
（1）由题()()
2226z m m m m i =-++-在虚轴上，则为纯虚数，即满足()0,,0a z a bi a b R b =⎧=+∈⎨≠⎩
，建立关于m 的方程组，即可得结果；（2）由()()
2226z m m m m i =-++-在复平面上对应的点位于第三象限，即要实部小于零，虚部小于零，可得关于m 的不等式组，建立不等式组可解出.
【详解】
（1）由，解得m=0． ∴若复数()(
)2226z m m m m i =-++-所对应的点在虚轴上，m=0； （2）由复数()()
2226z m m m m i =-++-所对应的点在第三象限， 得；
，解得；0＜m ＜2．
【点睛】 本题主要考查复数的几何意义，考查了虚轴的定义，意在考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于中档题.
26．（Ⅰ）
[)+∞,2；（Ⅱ）i z 2
321±-=． 【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据复数模的运算公式结合基本不等式求得复数模的取值范围；（Ⅱ）设z x yi =+（,x y R ∈），然后利用复数相等的条件建立关系,x y 的方程，求解即可． 试题
（Ⅰ）21||22≥+=
t t z ∴复数=z ti t
+1的模的取值范围为[)+∞,2 （Ⅱ）原方程化简为i i z z z -=++1)(2,
设),(R y x yi x z ∈+=,代入上述方程得i xi y x -=++1222
⎩⎨⎧-==+∴12122x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2321y x 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=23
21y x ∴原方程的解是i z 2
321±-= 考点：1、复数的运算；2、复数的模；3、基本不等式．
【方法点睛】复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时， 需把所给复数化为代数形式，即 ()a bi a b ∈R ＋，的形式，再根据题意列方程(组)求解．。