最新北师大版九年级数学上册《配方法(第2课时)》精品教学课件

由此可得x 2, y 3, z 2.
因此 xy z 2 32 62 36.
课堂检测
4.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样 宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩 余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？
解：设道路的宽为xm, 根据题意得 （35-x)(26-x)=850，
根据勾股定理的逆定理可知，△ABC为直角三角形.
巩固练习
方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一个根为x = 0，则m的值为（ C ）
A. 1
B.1
C.1或2
D.1或-2
应用配方法求最大值或最小值.
(1)求 2x2 - 4x+5的最小值
(2) -3x2 + 12x -16的最大值.
解：原式 = 2(x - 1)2 +3 因为 2(x - 1)2 ≥0， 所以 2(x - 1)2 +3 ≥3 因此当x =1时，原式有最小值3.
例3 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－ 4k＋5 的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1 =（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1. 所以k2－4k＋5的值必定大于零.
方法点拨：证明代数式的值恒为正数,需要利用配方法将代数式化 成几个非负数的和,利用非负数的性质说明代数式的值恒为正数.
(1) x2+6x+9 =5；
(x+n)2=p(p≥0)的 形式，再利用开
(2)x2+6x+4=0.
平方来解.
探究新知
你还记得吗？ 填一填下列完全平 方公式.
(1) a2+2ab+b2=( a+b )2； (2) a2-2ab+b2=( a-b )2.
探究新知
填一填（根据 a2 2ab b2 (a b)2
探究新知
例4 若a,b,c为△ABC的三边长，且 a2 6a b2 8b c 5 25 0,
试判断△ABC的形状. 解：对原式配方，得 a 32 b 42 c 5 0,
根据非负数的性质得
a 32 0, b 42 0, c 5 0,
由此可得 a 3，b 4，c 5, 即 a2 b2 32 42 52 c2 ,
探究新知
（2）3x2 6x 4 0.
解：移项，得 3x2 6x 4,
为什么方程
二次项系数化为1，得 x2 2x 4 ,
3
两边都加12？
配方，得 x2 2x 12 4 12 ,
3
即 x 12 1 .
3
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都
不成立，所以原方程无实数根．
二次项系数化为1，得
x2+2x=
4 3
配方，得 x2+2x+12= 4 +12
3
整理，得
(x+1)2= 7 即
3
x+1=±
21 3
.
由此可得
x1=
21 - 1 3
，
x2= -
21 -1 .
3
巩固练习
（2） 4x2 6x 3 0
解: 移项，得 4x2-6x=3
二次项系数化为1，得
x2-
32x=
因此当 x= 1 时， 2
－x2－x－1有最大值- 3 . 4
课堂检测
3.若 x2 4x y2 6 y z 2 13 0 ，求(xy)z 的值.
解：对原式配方，得 x 22 y 32 z 2 0,
由非负数的性质可知
x 22 0, y 32 0, z 2 0.
①当p>0时,则 x n p ,方程的两个根为
x1 n p , x2 n p
②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为 x1=x2=-n.
③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.
巩固练习
解下列方程：
（1 ） 3x2 6x 4 0;
解: 移项，得 3x2+6x=4
x1 4 15, x2 4 15.
巩固练习
解方程x2+8x-4=0
解：移项，得 x2+8x＝4 配方，得 x2+8x+4²=4+4²， 整理，得 (x+4)2=20， 由此可得 x+4= 2 5 ， x1＝ -4 2 5 ， x2＝ 4 2 5 .
探究新知 素养考点 2 解二次项系数不是1的一元二次方程
探究新知
配方法的定义
像上面那样，通过配成完全平方形式来解 一元二次方程的方法叫做配方法.
配方是为了降次 ，把一个一元二次方程转 化成两个一元一次方程来解.
探究新知 素养考点 1 解二次项系数是1的一元二次方程
例1 解方程： x2 8x 1 0；
解：（1）移项，得 x2－8x=－1, 配方，得 x2－8x+42=－1+42 , ( x－4)2=15 由此可得 x 4 １5,
例2 解方程（1）2x2 1 3x；
解：移项，得 2x2－3x=－1,
二次项系数化为1，得
x2 3 x 1 ,
2
2
配方，得
x2
3 2
x
3 4
2
1 2
3 4
2
,
x
3 4
2
1 16
,
由此可得
x3 1,
44
1
x1
1, x2
. 2
移项和二次项系数 化为1这两个步骤能 不能交换一下呢?
探究新知
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？ 移项时需注意改变符号.
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤. ①移项，二次项系数化为1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程.
探究新知
方法点拨
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p.
∴ x取任何实数，上式都不成立， 即原方程无实数根．
巩固练习
（4 ）x( x 4) 8x 12
解：去括号，得 x2+4x=8x+12
移项，得
x2-4x=12
配方，得 x2-4x+2²=12+2²
整理，得
(x-2)2=16
由此可得
x-2=±4
因此
x1=6 , x2=-2
探究新知
素养考点 3 利用配方法确定多项式或字母的值（或取值范围）
x (x __) (5) 2 bx ___ 3
( b )2 2
2
5 2
1 3
b 2
2•x• b
2
你）发现了什
么规律？
配方时, 等式两边 同时加上的是一次 项系数一半的平方.
探究新知
【思考】 怎样解方程: x2+6x+4=0（1）
（1）方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？
解： x2+6x+4=0
解：原式= -3(x - 2)2 - 4 因为 (x - 2)2 ≥0，即-3(x - 2)2 ≤0， 所以 -3(x - 2)2 -4≤-4 因此当x =2时，原式有最大值-4.
探究新知
类别
配方法的应用
解题策略
1.求最值或证明代 数式的值恒为正 （或负）
对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后， 由于x无论取任何实数都有(x+m)2≥0，n为常数，当 a＞0时，可知其有最小值；当a＜0时，可知其有最大值.
a b2 0, a c2 0, b c2 0, a b c,
所以，△ABC为等边三角形.
课堂小结
定义
通过配成完全平方形式解一元 二次方程的方法.
配方法 步 骤
一移常数项； 二配方[配上（ 二次项系数 ）2 ]；
2
三写成（x+n)2=p (p ≥0); 四直接开平方法解方程.
应用
求代数式的最值或证明.
x (1)二数次都2 项为1系1.0x ___ (x _5_2 )2
5
2• x•5
(2)x2 12x ___ (x_62_)2
6
x (x__) (3)
2 5x
2• x•6
____
( 5 )2 2
2
x (x__) (4)
2•x• 5
2 2 x ___ 2
(1)2 3
2
3
2• x• 1
2.完全平方 式中的配方
3.利用配方构成 非负数和的形式
如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数 一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.
对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题 突破口往往是通过配方成多个完全平方式得其和为0，再根据 非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0, 则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2.
移项
x2+6x=-4
两边都加上9
x2+6x+9=-4+9
二次项系数为1的完 全平方式：常数项 等于一次项系数一 半的平方.
探究新知
（2）为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他 数行吗？
提示：不行，只有在方程两边加上一次项系数 一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2 的形式.
x1 1 2，x2 1 2.
课堂检测
2.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的 值总是负数，并求出它的最大值.
证明：
原式=− x2+x −1
=−
x2+x+
1 2
2
+
1 4
−1
=−
x+
1 2
2
−
3 4
因为(x+ 1)2 ≥ 0，即 (x+ 1)2 ≤ 0
2
2
所以 - ( x + 1 )2 - 3 ≤ - 3 , 24 4
3 4
配方，得 x2 3 x ( 3)2 3 ( 3)2
2 4 44
整理，得 (x 3)2 21 , 4 16
由此可得 x 3 21 ，
4
4
x1=
3 21 ，
4
x2=
3 21 4
巩固练习
（3）x2 + 4x - 9 = 2x - 11
解：移项，得 x2+2x=-2. 配方，得 x2+2x+1=-2+1. 整理，得 (x+1)2=-1. ∵ 对任何实数x都有 ( x+1 )2 ≥ 0,
人教版 数学 九年级 上册
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法 第2课时
导入新知
要使一块矩形场地的长比宽多6米，并且面 积为16平方米，求场地的长和宽应各是多少？
解：设场地宽为xm，则长为（ x＋ 6）m，根据
长方形面积为16m2，列方程得
x(x+6)=16
怎样解这个方 程？能不能用
化为一般式，得
整理得 x2-61x+60=0.
解得 x1=60（不合题意，舍去）, x2=1.
答：道路的宽为1m.
课堂检测
能力提升题
已知a,b,c为△ABC的三边长，且 a2 b2 c2 ab ac bc 0, 试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
1 2
a
b2
a
c2
b
c
2
0,
由代数式的性质可知
链接中考
1. 一元二次方程y2﹣y﹣3 =0配方后可化为（ B ）
4
A.
(y+
1 2
)2=1
C. (y+ 1
2
)2=
3 4
B. (y- 1 )2=1
2
D.
(y-
1 2
)2=
3 4
课堂检测
基础巩固题 1. 解方程：4x2-8x-4=0.
解：移项，得4x2-8x=4， 二次项系数化为1，得 x2-2x=1， 配方，得 x2-2x+1=1+1, 整理，得 （x-1）2=2,
直接开平方法？
x2+6x-16=0
素养目标
2.探索直接开平方法和配方法之间的区 别和联系. 1.了解配方的概念，掌握用配方法解一元 二次方程及解决有关问题.
探究新知
知识点 配方法的定义
1.用直接开平方法解下列方程:
(1) 9x2=1 ； (2) (x-2)2=2.
2.下列方程能用直接开平方法来解吗? 把两题转化成
特别提醒： 在使用配方法解方程之源自先把方程化为x2+px+q=0的形式.
【回顾总结】
1.同桌之间相互交流本课学习收获。 2.老师引导学生总结归纳本课学习知识点，并 总结交流本课学习心得
课后作业
01 完成课后练习题 02 课时练习题（选取）