高考数学一轮复习第3章第5讲简单的三角恒等变换第2课时讲义理含解析

第2课时 简单的三角恒等变换
题型 一 三角函数式的化简与证明
1．化简：
＋sin θ＋cos θ
⎝
⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ
(0<θ<π)．
解 由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ
2
>0， ∴2＋2cos θ＝
4cos
2
θ2＝2cos θ2
. 又(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ
2－cos θ2
＝⎝
⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2
＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫
sin 2θ2－cos 2θ2＝－2cos θ2cos θ，
故原式＝－2cos θ
2
cos θ
2cos
θ2
＝－cos θ.
2．证明：cos θ－cos φ＝－2sin θ＋φ2sin θ－φ
2.
证明 因为θ＝θ＋φ2＋θ－φ2，φ＝θ＋φ2－θ－φ
2，
所以cos θ－cos φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋φ2＋θ－φ2－cos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋φ2－θ－φ2
＝cos
θ＋φ2cos θ－φ2－sin θ＋φ2sin θ－φ2－cos θ＋φ2cos θ－φ
2
－sin θ＋φ2·sin θ－φ2＝－2sin θ＋φ2sin θ－φ
2
.
1．三角函数式的化简遵循的三个原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．
(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．
(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．
2．三角恒等式的证明方法
(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目． (2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．
(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立.
1.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果为________． 答案 －2sin4
解析 原式＝4cos 2
4＋2
－
2
＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|，因为5π4<4<3π
2，
所以cos4<0，且sin4<cos4，
所以原式＝－2cos4－2(sin4－cos4)＝－2sin4. 2.证明：sin α－sin β＝2sin α－β2cos α＋β
2
.
证明 因为α＝α＋β2＋α－β2，β＝α＋β2－α－β
2，
所以sin α－sin β＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋β2＋α－β2－sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋β2－α－β2
＝sin α＋β2cos α－β2＋cos α＋β2sin α－β
2
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin
α＋β2cos α－β2－cos α＋β2sin α－β2
＝2sin α－β2cos α＋β
2.
题型 二 三角函数式的求值
1.(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos2α＝2
3
，则|a －b |＝( )
A.15
B.55
C.255 D ．1 答案 B
解析 根据题设条件，可知O ，A ，B 三点共线，从而得到b ＝2a ，因为cos2α＝2cos 2
α－1＝2·⎝
⎛⎭
⎪⎫1a 2
＋12－1＝23，解得a 2
＝15，即|a |＝55，所以|a －b |＝|a －2a |＝55.故选B.
2.若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β
的值是( )
A.7π4
B.9π
4 C.5π4或7π4
D.
5π4或9π4
答案 A
解析 ∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，2π，
∵sin2α＝55，∴2α∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π. ∴α∈⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤π4，π2且cos2α＝－255， 又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，
∴β－α∈⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤π2，5π4，cos(β－α)＝－31010，
∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－255－1010×55＝22， 又α＋β∈⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4.
3.(2018·太原质检)[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin 2
80°＝________.
答案
6
解析 因为2sin 2
80°＝2sin80°＝2cos10°，
所以原式＝2[2sin(60°－10°)cos10°＋sin10°(cos10°＋3sin10°)] ＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫32cos10°－12sin10°cos10°＋sin10°cos10°＋3sin 2
10°
＝2(3cos 2
10°＋3sin 2
10°) ＝2×3＝ 6.
1.三角函数给角求值问题的解题策略
一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题，另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．
2．三角函数给值求角问题的解题策略
对于给值求角问题，通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数．
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．
若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正弦或余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较
好；若角的范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，选正弦函数较好.
1.已知方程x 2
＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >2)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________. 答案 －3π
4
解析 由根与系数的关系且a >2得，tan α＋tan β＝－3a <0，tan αtan β＝3a ＋1>0.所以tan α<0，tan β<0.
又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，0，于是α＋β∈(－π，0)， tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝
－3a
1－a ＋
＝1，
又α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－3π
4.
2.计算：cos20°cos40°cos60°cos80°＝________. 答案
116
解析 原式＝1
2cos20°cos40°cos80°
＝sin40°cos40°cos80°4sin20°＝sin80°cos80°8sin20°
＝sin160°16sin20°＝1
16
. 题型 三 三角恒等变换的综合应用
角度1 研究三角函数的图象变换问题
1.(2019·湖南四校联考)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移的单位长度是( )
A.
π2 B.2π3 C.π3 D.π4
答案 B
解析 因为y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3
＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3－2π3，
y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x ＋π3
，
所以函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移2π
3个单位长度才能得到函数y ＝sin x
－3cos x 的图象.
角度2 研究三角函数的性质问题
2.(2018·北京高考)已知函数f (x )＝sin 2
x ＋3sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值． 解 (1)f (x )＝1－cos2x 2＋3
2sin2x
＝
32sin2x －12cos2x ＋1
2
＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，
所以f (x )的最小正周期为T ＝2π
2＝π.
(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，m ，
所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π
6
，2m －π6.
要使f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，
即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1，
只需2m －π6≥π2，即m ≥π
3，
所以m 的最小值为π
3.
角度3 解决实际问题
3．如图，在矩形OABC 中，AB ＝1，OA ＝2，以B 为圆心，BA 为半径在矩形内部作弧，点P 是弧上一动点，PM ⊥OA ，垂足为M ，PN ⊥OC ，垂足为N ，求四边形OMPN 的周长的最小值．
解 连接BP ，设∠CBP ＝α，其中0≤α＜π
2
，
则PM ＝1－sin α，PN ＝2－cos α， 则周长C ＝6－2(sin α＋cos α) ＝6－22sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4， 因为0≤α<π2，所以π4≤α＋π4<3π
4
，
故当α＋π4＝π2，即α＝π
4
时，周长C 有最小值6－2 2.
1.三角恒等变换在研究三角函数性质中的两个注意点
(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式再求解．要注意在进行此步骤之前，如果函数解析式中出现α及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据变换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式．
(2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调区间、最值与周期．
2．三角函数应用题的处理方法
(1)结合具体图形引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行化简，解决最优化问题． (2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的范围，最后得出结论并回答问题.
1.(2018·静海区模拟)为了得到函数y ＝3sin x cos x ＋1
2
cos2x 的图象，只需将函数y
＝sin2x 的图象( )
A.向左平移π
12个长度单位
B.向右平移π
12个长度单位
C.向左平移π
6个长度单位
D.向右平移π
6个长度单位
答案 A
解析 函数y ＝3sin x cos x ＋12cos2x ＝32sin2x ＋12cos2x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝sin2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π12.
只需将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π
12个长度单位，即可得到函数y ＝3sin x cos x
＋1
2
cos2x 的图象. 2．如图是半径为1的半圆，且四边形PQRS 是半圆的内接矩形，设∠SOP ＝α，求α为何值时矩形的面积最大，并求出最大值．
解 因为∠SOP ＝α，所以PS ＝sin α，SR ＝2cos α，故S 矩形PQRS ＝SR ·PS ＝2cos αsin α＝sin2α，故当α＝π
4
时，矩形的面积有最大值1.
3.(2018·合肥模拟)已知函数f (x )＝3sin x ·cos x －12cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π3.
(1)求函数f (x )图象的对称轴方程；
(2)将函数f (x )的图象向右平移π4个单位，所得图象对应的函数为g (x )．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数g (x )的值域．
解 (1)f (x )＝3sin x cos x －12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝34sin2x －14cos2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.
令2x －π6＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π3＋k π
2
.
∴函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝π3＋k π
2，k ∈Z .
(2)易知g (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，
∴2x －2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－2π3，π3，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－1，32，
∴g (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，34，即当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，函数g (x )的值域为
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－1
2，34.。