2018年第二十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组）

2018年第二十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
（小高组）
2018年第二十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组）
一、选择题（共6小题，每小题10分，满分60分）
1．（10分）两袋面粉同样重，第一袋用去13，第二袋用去13 千克，剩下的面粉( ) A ．第一袋重
B ．第二袋重
C ．两袋同样重
D ．无法确定哪袋重
2．（10分）如图，一个33?的正方形网格，如果小正方形边长是1，那么阴影部分的面积
是( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
3．（10分）在66?的方格表中，摆放写有的长方形，每个长方形恰好盖住2个方
格，如果任意两个长方形之间没有公共边（可以有公共顶点），那么棋盘中摆放的长方形的方格内所有数之和最大是( )
A ．266
B ．304
C ．342
D ．380
4．（10分）在如图的三角形ABC 中，EB ED =，
FC FD =，72EDF ∠=?，则(A E D A F D ∠+∠= )
A ．200?
B ．216?
C ．224?
D ．240?
5．（10分）从120-这20个整数中任意取11个数，其中必有两个数的和等于( )
A ．19
B ．20
C ．21
D ．22
6．（10分）小王将一些同样大小的正三角形纸片摆放在桌上．第一次放1张纸片；第二次
在这个小正三角形纸片四周再放三张纸片；第三次在第二次摆好的图形四周再摆放纸片；
摆放要求是：每次摆放的每张纸片必须和上一次摆放的纸片至少有一条边重合，且纸片之间除边之外，无重合（见图）．第20次摆放后，该图形共用了正三角形纸片()张．
A．571B．572C．573D．574
二、填空题（共4小题，每小题10分，满分40分）
7．（10分）磊磊买了一本新书，非常喜欢．第一天读了这本书
的1
5
还多12页，第二天读了
剩余的1
4
还多15页，第三天读了剩余的
1
3
还多18页，这时还剩42页未读．那么这本书
的页数是．
8．（10分）某五号码牌由英文字母和数字组成，前四位有且只有两位为英文字母（字母I、O不可用），最后一位必须为数字．小李喜欢18这个数，希望自己的号码牌中存在相邻两位为1和8，且1在8的前面，那么小李的号码牌有种不同的选择方式．（英文共有26个字母）
9．（10分）在一个自然数的所有因数中，能被3整除的因数比奇因数多5个，那么这个自然数最小是．
10．（10分）一只蚂蚁从正方体某个面的中心出发，每次都走到相邻面的中心，每个中心恰好经过一次，最终回到出发点．所有经过的中心排出的序列共有种．（两条序列不同指沿着行走方向经过的中心点顺序不一样）
2018年第二十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛
试卷（小高组）
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题10分，满分60分）
1．（10分）两袋面粉同样重，第一袋用去1
3
，第二袋用去
1
3
千克，剩下的面粉()
A．第一袋重B．第二袋重
C．两袋同样重D．无法确定哪袋重
【分析】要看实际情况，与原来的重有关．分类讨论，大于1千克；等于1千克；小于1千克，即可得出结论．
【解答】解：要看实际情况，与原来的重有关．
大于1千克时，第一袋用去的1
3
大于
1
3
千克，所以第二袋剩下的重，
等于1千克时，剩下的一样重，
小于1千克时，第一袋用去的1
3
小于
1
3
千克，所以第一袋剩下的重，
故选：D．
【点评】此题重在区分分数在具体的题目中的区别：有些表示是某些量的几分之几，有些就表示具体的数，做到正确区分，选择合适的解题方法．在具体的题目中，带单位是一个具体的数，不带单位是把某一个数量看单位“1”，是它的几分之几．
2．（10分）如图，一个33
的正方形网格，如果小正方形边长是1，那么阴影部分的面积是()
A．5B．4C．3D．2
【分析】通过观察可知，阴影部分的面积=长是3宽是1的长方形的面积-中间边长是1的正方形的面积．
【解答】通过观察可知，阴影部分的面积=长是3宽是1的长方形的面积-中间边长是1的正方形的面积．
31112?-?=
故选：D ．
【点评】本题考查基本图形的面积计算，比较简单．
3．（10分）在66?的方格表中，摆放写有的长方形，每个长方形恰好盖住2个方
格，如果任意两个长方形之间没有公共边（可以有公共顶点），那么棋盘中摆放的长方形的方格内所有数之和最大是( )
A ．266
B ．304
C ．342
D ．380
【分析】本题考察最大与最小．
【解答】解：因为任意两个长方形之间没有公共边，所以每个长方形盖住的数字都是20和
18，平均数为19，
则所有数字之和是36219342÷?=，．
故选：C ．
【点评】本题实际为染色问题，只需明白盖住的方格20和18的数量一样多即可．
4．（10分）在如图的三角形ABC 中，EB ED =，FC FD =，72EDF ∠=?，则(A E D A F D ∠+∠=
)
A ．200?
B ．216?
C ．224?
D ．240?
【分析】由题意，B EDB ∠=∠，C FDC ∠=∠，再利用内角和，即可得出结论．
【解答】解：由题意，B EDB ∠=∠，C FDC ∠=∠，
360()360()AED AFD A EDF A EDF ∴∠+∠=?-∠+∠=?-∠+∠
360(180)B C EDF =?-?-∠-∠+∠
180B C EDF =?+∠+∠-∠
180EDB FDC EDF =?+∠+∠-∠
180180EDF EDF =?+?-∠-∠
360272=?-??
216=?，
【点评】本题考查角度的计算，考查等腰三角形的性质，正确转化是关键．
5．（10分）从120
-这20个整数中任意取11个数，其中必有两个数的和等于() A．19B．20C．21D．22
【分析】构造抽屉，把这20个数分组，看成10个抽屉：{1，20}，{2，19}，?，{10，11}．从这10个数组的20个数中任取11个数，根据抽屉原理可得结论．
【解答】解：构造抽屉，把这20个数分组，看成10个抽屉：{1，20}，{2，19}，?，{10，11}．
从这10个数组的20个数中任取11个数，根据抽屉原理可得，其中必有两个数的和等于21，故选：C．
【点评】本题考查数字和问题，考查抽屉原理，属于中档题．
6．（10分）小王将一些同样大小的正三角形纸片摆放在桌上．第一次放1张纸片；第二次在这个小正三角形纸片四周再放三张纸片；第三次在第二次摆好的图形四周再摆放纸片；
摆放要求是：每次摆放的每张纸片必须和上一次摆放的纸片至少有一条边重合，且纸片之间除边之外，无重合（见图）．第20次摆放后，该图形共用了正三角形纸片()张．
A．571B．572C．573D．574
【分析】先找规律，第一次放1张纸片；后面每一次增加3(1)
n-个三角形，所以第二次放13
+张纸片；第三次放136
+++张纸片；据此规律解答即可．
++张纸片；第四次放1369
【解答】解：根据分析可得，
第20次摆放后，该图形共用：
++++?+?-
13693(201)
=++++?+
136957
=+?-÷+
(357)(201)21
=+
5701
答：第20次摆放后，该图形共用了正三角形纸片571张．
故选：A．
【点评】本题考查了图形的计算，要几何图形的排列规律，得出后面每一次增加3(1)
n-个三角形．
二、填空题（共4小题，每小题10分，满分40分）
7．（10分）磊磊买了一本新书，非常喜欢．第一天读了这本书的1
5
还多12页，第二天读了
剩余的1
4
还多15页，第三天读了剩余的
1
3
还多18页，这时还剩42页未读．那么这本书
的页数是190．
【分析】利用倒推法，即可得出结论．
【解答】解：第二天剩余
2
(4218)90
3
+÷=（页)，
第一天剩余
3
(9015)140
4
+÷=（页)，
这本书的页数
4
(14012)190
5
+÷=（页)，
故答案为190．
【点评】本题考查分数应用题，考查倒推方法的运用，正确倒推是关键．
8．（10分）某五号码牌由英文字母和数字组成，前四位有且只有两位为英文字母（字母I、O不可用），最后一位必须为数字．小李喜欢18这个数，希望自己的号码牌中存在相邻两位为1和8，且1在8的前面，那么小李的号码牌有34560种不同的选择方式．（英文共有26个字母）
【分析】本题考察排列组合．
【解答】解：除掉18剩余的三个位置有1024245760
=（种)，
所以18在一二位有5760种；
18在二三位有5760种；
18在三四位有5760种；
18在四五位有5760317280
=种；
综上，共有5760634560
=（种)，
故填34560．
【点评】本题关键在于根据18在哪相邻的两位进行分类计数．
9．（10分）在一个自然数的所有因数中，能被3整除的因数比奇因数多5个，那么这个自然数最小是72．
【分析】考虑对这个自然数做质因数分解，分析其质因数及其个数，进而计算出这个自然数．【解答】解，既然存在被3整除的因数，那么这个自然数里一定有3作为质因数，
然后尝试枚举能被3整除的因数，考虑有质数2，从小到大依次是236
=，339
=，
=，223336
=，至此已满足条件，??=，23318
=，222324
22312
由此得到的自然数是2223372
=，
如果考虑到72也是其自己的因数，那么1也是72的因数，仍然满足能被3整除的因数比奇因数多5个的条件，问题得解．故答案为72．
【点评】本题考查因数与倍数，考查自然数做质因数分解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
10．（10分）一只蚂蚁从正方体某个面的中心出发，每次都走到相邻面的中心，每个中心恰好经过一次，最终回到出发点．所有经过的中心排出的序列共有32种．（两条序列不同指沿着行走方向经过的中心点顺序不一样）
【分析】本题考察排列组合．
【解答】解：从一个面出发，第一次有4个不同的方向选择，这四个方向的情况数目是相同的，所以考虑一种即可，
我们考虑从正面出发的情况，
正→上→背→右→下→左→正
正→上→背→左→下→右→正
正→上→左→下→背→右→正
正→上→左→背→右→下→正
正→上→左→背→下→右→正
正→上→右→下→背→左→正
正→上→右→背→左→下→正
正→上→右→背→下→左→正
所以总共有4832
=（种)
故填：32．
【点评】本题关键在于考虑一种情况后利用乘法原理进行计数．。