江苏省兴化市高三数学上学期练习7

江苏省兴化市板桥高级中学2013届高三上学期数学练习7
综合试卷
一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．已知集合[1,5)A =，(,)B a =-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ． 2．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且 总体的中位数为5.10. 若要使该总体的方差最小，则b a 、的取值分别是 3．已知流程图如图所示，为使输出的b 值为16，则判断框内①处应填 ． 4．函数log ()
a y x
b =+的图象如图所示，则a b +的值为 ．
5．复数z 满足
34i 1(i
z -+=是虚数单位)，则
z
最大值为 ．
6．已知向量(3,1)=-a ，(1,2)=-b ，若()k ⊥+a a b ，则实数k = ． 7．函数2cos y x x =+在区间
[]0,π上的最大值为
．
8．设βα,为两个不重合的平面，n m ,是两条不重合的直线，给出下列四个命题： ①若α⊂m ，α⊂n ，m βP ，n βP ，则αβP ； ②若,,βα⊂⊂m n βα与相交且不垂直，则m n 与不垂直； ③若n m m ⊥=⊥,,βαβαI ，则n ⊥β；
④若βαα//,,//⊥n n m ，则β⊥m ．其中所有真命题的序号是 ．
9．设m 为实数，若22
250(,)30{(,)|25}0x y x y x x y x y mx y ⎧
⎫
-+≥⎧⎪
⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎨⎬⎪
⎪⎪+≥⎩⎩
⎭
，则m 的范围是______．
10．投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，第一次出现向上的点数为a ，第二次出现向上的点数为b ，直线1l
的方程为ax －by －3＝0，直线2l
的方程为x －2y －2＝0，则直线1l 与直线2l
有
第3题图
x
y o
2
-2 第4题图
交点的概率为 ． 11．设θγ,为常数（
0,,,442
πππθγ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪
⎝
⎭
⎝
⎭），若sin()sin()αγγβ++-=sin (sin θα
sin )cos (cos cos )βθαβ-++对一切R ∈βα,恒成立，则
2
tan tan cos()
sin ()
4
θγθγπ
θ+-=
+
12．用大小一样的钢珠可以排成正三角形、正方形与 正五边形数组，其排列的规律如下图所示：已知m 个 钢珠恰好可以排成每边n 个钢珠的正三角形数组与 正方形数组各一个；且知若用这m 个钢珠去排成每边
n 个钢珠的正五边形数组时，就会多出9个钢珠，则 m ＝ ．
13．已知⊙A ：221x y +=，⊙B:
22(3)(4)4x y -+-=，P 是平面内一动点，过P 作⊙A 、⊙B 的切线，切点分别为D 、E ，若PE PD =，则P 到坐标原点距离的最小值为 ．
14．定义在某区间上的函数()f x 满足对该区间上的任意两个数1,2x x
总有不等式
1212()()()
22f x f x x x
f ++≤成立，则称函数()f x 为该区间上的上凸函数. 类比上述定义，对于数列{}n a ，如果对任意正整数n ，总有不等式：2
1
2n n n a a a +++≤成立，则称数列{}n a 为上
凸数列. 现有数列{}n a 满足如下两个条件：
（1）数列
{}n a 为上凸数列，且1101,28a a ==；
（2）对正整数,(110,)n n n N *
≤<∈，都有20n n a b -≤，其中2610n b n n =-+.
则数列
{}n a 中的第五项5a 的取值范围为 .
二、解答题：(本大题共6小题，共90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．已知函数
R
x x x x f ∈--+=,12cos 3)4
(
sin 2)(2π
（1）若函数)()(t x f x h +=的图像关于点
)
0,6
(π
-
对称，且),0(π∈t ，求t 的值；
（2）设,
3)(:,2,4:<-⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈m x f q x p ππ若q p 是的充分条件，求实数m 的取值范围
16.在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA ＝2AB ＝2．
（Ⅰ）求四棱锥P －ABCD 的体积V ；（Ⅱ）若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ；（Ⅲ）求证CE ∥平面PAB ．
17.如图， 已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的长轴为AB ，过点B 的直线l 与
x 轴垂直．直线
(2)(12)(12)0()k x k y k k R --+++=∈所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点,且椭圆的离
心率
e .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH x ⊥轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP PQ =，连结AQ 延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点．试判断直线QN 与以AB 为直径
的圆O 的位置关系．
18. 某生产旅游纪念品的工厂，拟在2010
纪念品的年销售量x 万件与年促销费用t 万元之间满足3x -与1t +成反比例．若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成
P
A B
C D
E F
本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等．(利润=收入－生产成本－促销费用)
（1）求出x 与t 所满足的关系式；
（2）请把该工厂2010年的年利润y 万元表示成促销费t 万元的函数； （3）试问：当2010年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？
19．设二次函数()2f x mx nx t
=++的图像过原点，
()33(0)
g x ax bx x =+->，(),()
f x
g x 的导函数为
()//,()f x g x ，且
()//00,(1)2
f f =-=-，()),1(1
g f =()//1(1).f g =
（1）求函数
()
f x ，
()
g x 的解析式；（2）求())()(x g x f x F -=的极小值；
（3）是否存在实常数k 和m ，使得()m kx x f +≥和()?m kx x g +≤若存在，求出k 和m 的值；若不存在，说明理由。

20.已知数列
{}
n a 的前n 项和为
n
S ，且满足
2
n n a S +=.
（1）求数列
{}
n a 的通项公式；
（2）求证数列
{}
n a 中不存在任意三项按原来顺序成等差数列；
（3）若从数列
{}
n a 中依次抽取一个无限多项的等比数列，使它的所有项和S 满足
416113S <<，这样的等比数列有多少个？
高三年级数学（7） 答 案
16. 解：（Ⅰ）在Rt △ABC 中，AB ＝1，∠BAC ＝60°，∴BC 3AC ＝2． 在Rt △ACD 中，AC ＝2，∠CAD ＝60°，∴CD ＝3AD ＝4．
∴SABCD ＝
11
22
AB BC AC CD ⋅+⋅[来
115
132233222=⨯⨯⨯=
则V ＝155323323 （Ⅱ）∵PA ＝CA ，F 为PC 的中点，
M
F E
D
C
B
A P
17.解：（1）将(2)(12)(12)0k x k y k --+++=整理得(22)210x y k x y --++-+=
解方程组220
210x y x y --+=⎧⎨
-+=⎩得直线所经过的定点（0，1）
，所以1b =．
由离心率
3
e 得2a =．
所以椭圆的标准方程为2
21
4x y +=．--------------------6分
（2）设()00,P x y ，则22
0014x y +=．
∵HP PQ =，∴
()
00,2Q x y ．∴
()220022
OQ x y =+=
∴Q 点在以O 为圆心，2为半径的的圆上．即Q 点在 以AB 为直径的圆O 上．
A
x
y
M
N
Q
P
H l
O
B
又
(
)
2,0A -，∴直线AQ 的方程为
()0
0222
y y x x =
++．
令2x =，得0082,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭．又()2,0B ，N 为MB 的中点，∴
0042,2y N x ⎛⎫ ⎪
+⎝⎭． 当且仅当
132
21t t +=+，即7t =时，取等号， 所以，当2010年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，
最大利润为42万元．…………14分 19．【解析】（1）由已知得()/0,2t f x mx n
==+，
则
()//00,(1)22
f n f m n ==-=-+=-，从而0,1n m ==，∴2
()f x x =
()x x f
2/
=，()b ax x g +=2/3。

20.解：（1）当1n =时，
11122
a S a +==，则
11
a =.
又
2
n n a S +=，
112
n n a S ++∴+=，两式相减得
11
2n n
a a +=
，
{}n a ∴是首项为1，公比为12的等比数列，
11
2n n a -∴=-----------4分 （2）反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为
111,,()
p q r a a a p q r +++<<
则111
2222q p r =+g ，2221r q r p --∴=+g （*）又p q r <<Q *,r q r p N ∴--∈
∴*式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立
∴假设不成立 原命题得证. -------------8分
（3）设抽取的等比数列首项为12m ，公比为12n
，项数为k ，。