北师大版数学选修2-1巩固提升：第一章 3.3 全称命题与特称命题的否定

[A 基础达标]
1．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是( )
A ．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆
B ．存在一个四边形，它的四个顶点共圆
C ．所有四边形的四个顶点共圆
D ．所有四边形的四个顶点都不共圆
解析：选A.根据全称命题的否定是特称命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形的四个顶点不共圆”，故选A.
2．下列四个命题中，真命题是( )
A ．对任意的x ∈R ，x ＋1x
≥2 B ．存在x ∈R ，x ＋1x
≥2 C ．存在x ∈R ，|x ＋1|<0
D ．对任意的x ∈R ，|x ＋1|>0
解析：选B.对于A ：当x ＝－1时，x ＋1x
＝－2<2，排除A ；对任意x ∈R ，|x ＋1|≥0，排除C 和D ，故选B.
3．命题“原函数与反函数的图像关于y ＝x 对称”的否定是( )
A ．原函数与反函数的图像关于y ＝－x 对称
B ．原函数不与反函数的图像关于y ＝x 对称
C ．存在一个函数，其原函数与反函数的图像不关于y ＝x 对称
D ．存在原函数与反函数的图像关于y ＝x 对称
解析：选C.命题“任意x ∈M ，p (x )”的否定是“存在x ∈M ，p (x )不成立”．
4．已知函数f (x )＝|2x －1|，若命题“存在x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1＜x 2，使得f (x 1)＞f (x 2)”为真命题，则下列结论一定正确的是( )
A ．a ≥0
B ．a ＜0
C ．b ≤0
D ．b ＞1
解析：选B.函数f (x )＝|2x －1|的图象如图所示．
由图可知f (x )在(－∞，0]上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，
所以要满足存在x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1＜x 2，
使得f (x 1)＞f (x 2)为真命题，则必有a ＜0，故选B.
5．已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a ＞0)，若对任意x 1∈[－1，2]，存在x 2∈[－1，2]，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围是( )
A. ⎝⎛⎦
⎤0，12 B. ⎣⎡⎦⎤12，3 C ．(0，3] D ．[3，＋∞)
解析：选D.由函数的性质可得函数f (x )＝x 2－2x 的值域为[－1，3]，g (x )＝ax ＋2的值域是[2－a ，2＋2a ]．因为对任意x 1∈[－1，2]，存在x 2∈[－1，2]，使得f (x 1)＝g (x 2)，
所以[－1，3]⊆[2－a ，2＋2a ]，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧2－a ≤－1，2＋2a ≥3，解得a ≥3. 6．命题“所有的长方体都是四棱柱”的否定是________．
解析：全称命题的否定是特称命题，命题“所有的长方体都是四棱柱”的否定应为“有些长方体不是四棱柱”．
答案：有些长方体不是四棱柱
7．命题“至少有一个正实数x 满足方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝0”的否定是________________________________________________________________________．
解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定． 答案：所有正实数x 都不满足方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝0
8．若命题：“存在x ∈R ，使得x 2＋(1－a )x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．
解析：由题意可知Δ＝(1－a )2－4>0，解得a <－1或a >3.
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
9．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p ：无论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；
(2)q ：存在一个实数x ，使得x 2＋x ＋1≤0；
(3)r ：等圆的面积相等，周长相等；
(4)s ：对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.
解：(1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0有实数根”，其
否定为：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”．当Δ＝1＋4m <0，即m <－14
时，一元二次方程没有实数根，所以p 的否定是真命题．
(2)这一命题的否定是：对所有实数x ，都有x 2＋x ＋1>0.利用配方法可以验证q 的否定是一个真命题．
(3)这一命题的否定是：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，由平面几何知识知r 的否定是一个假命题．
(4)这一命题的否定是存在α∈R ，使sin 2α＋cos 2α≠1.由于命题s 是真命题，所以s 的否定是假命题．
10．设命题p ：对任意的x ∈R ，x 2＋x >a ；命题q ：存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，如果命题p 真且命题q 假，求a 的取值范围．
解：因为命题p 为真命题，所以对任意的x ∈R ，x 2＋x >a 成立．因为(x 2＋x )min ＝－14
，所以a <－14
.因为命题q 为假命题，所以对任意的x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ≠0，所以4a 2－4×(2－a )<0⇒a 2＋a －2<0⇒－2<a <1.所以a 的取值范围是－2<a <－14
. [B 能力提升]
11．已知函数f (x )＝2x 2＋(4－m )x ＋4－m ，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( )
A ．[－4，4]
B ．(－4，4)
C ．(－∞，4)
D ．(－∞，－4)
解析：选C.显然f (x )>0恒成立，满足条件时(4－m )2－8(4－m )<0，解得－4<m <4.当m ＝4时，f (x )＝2x 2，g (x )＝4x ，对x ＝0时不满足条件，当m ＝－4时，f (x )＝2(x ＋2)2，g (x )＝ －4x ，由两个函数图像知满足条件，所以由排除法知选C.
12．定义在R 上的运算⊙：x ⊙y ＝x (1－y )，对任意x ∈R ，不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1恒成立，则a 的取值范围是________．
解析：由已知，(x －a )·[1－(x ＋a )]<1对任意的x ∈R 恒成立，即对任意x ∈R ，－x 2＋x ＋a 2－a －1<0恒成立时，求参数a 的范围．
由Δ＝1＋4(a 2－a －1)<0，解得－12<a <32
. 答案：⎝⎛⎭
⎫－12，32 13．已知两个命题：r (x )：sin x ＋cos x ＞m ，s (x )：x 2＋mx ＋1＞0，如果对任意x ∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围．
解：因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π4≥－2， 所以当r (x )是真命题时，m ＜－ 2.
又因为对任意x ∈R ，s (x )是真命题时，
即x 2＋mx ＋1＞0恒成立，
有Δ＝m 2－4＜0，所以－2＜m ＜2.
所以当r (x )为真命题，s (x )为假命题时，m ＜－2，同时m ≤－2或m ≥2，即m ≤－2； 当r (x )为假命题，s (x )为真命题时，m ≥－2，且－2＜m ＜2，即－2≤m ＜2.
综上，m 的取值范围是{m |m ≤－2或－2≤m ＜2}．
14．(选做题)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点(－1，0)，是否存在常数a 、b 、c ，使不
等式x ≤f (x )≤1＋x 22
对一切实数x 均成立？ 解：假设存在常数a 、b 、c ，使题设命题成立．
因为f (x )的图像过点(－1，0)，
所以a －b ＋c ＝0.
因为x ≤f (x )≤1＋x 22
对一切x ∈R 均成立， 所以当x ＝1时，也成立，即1≤a ＋b ＋c ≤1，故有a ＋b ＋c ＝1.
所以b ＝12，c ＝12
－a . 所以f (x )＝ax 2＋12x ＋12
－a . 故应x ≤ax 2＋12x ＋12－a ≤1＋x 22
对一切x ∈R 成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－12x ＋12－a ≥0，（1－2a ）x 2－x ＋2a ≥0
恒成立⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧Δ1≤0，Δ2≤0，a >0，1－2a >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧14
－4a ⎝⎛⎭⎫12－a ≤0，1－8a （1－2a ）≤0，a >0，1－2a >0. 所以a ＝14，所以c ＝12－a ＝14
. 所以存在一组常数：a ＝14，b ＝12，c ＝14，使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22
对一切实数x 均成立．
由Ruize收集整理。

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