2008山东北中期中考试高三数学试题

山东省北镇中学2008届高三第三次月考 理科数学 2007.10.31
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1
（ ） A ．2sin15cos15 B ．22cos 15sin 15- C ．22sin 151-
D ．22sin 15cos 15+
2．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪
⎨⎪+-⎩
≤，
≥，≤，则y x 的取值范围是 （ ）
A ．9[6]5
，
B ．[)965⎛
⎤-∞+∞ ⎥
⎝
⎦，，
C ．(][)36-∞+∞，，
D ．[36]，
3．在等比数列}{n a 中，如果2a 和6a 是一元二次方程0452
=++x x 的两个根，
那么642a a a 的值为
（ ）
A ．8±
B ．8
C ．8-
D ．16±
4．已知不等式,9)1)((≥++y
a
x y x 对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小
值是（ ）
A ．
16
81 B ．6 C ．4 D ．1
5. 客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是（ ）
1
2
3
6080100120140160t(h)
s(km)
1
2
3
6080100120140160t(h)
s(km)
1
2
3
6080100120140160t(h)
s(km)
s(km)t(h)
1601401201008060
3
2
1
A. B. C. D.
6. 设c b a ,,均为正数，且a a 2
1log 2=，b b
21log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛，c c
2log 21=⎪⎭⎫
⎝⎛.则（ ）
A.c b a <<
B. a b c <<
C. b a c <<
D. c a b << 7．已知xy y x y x 则,log log )(log 222+=+的取值范围是
（ ） A ．),4[+∞ B ．),2[+∞ C ．),2[]0,(+∞-∞ D ．[0，2]
8．在等差数列}{n a 中，,0,01312><a a 且1213a a >，若}{n a 的前n 项和0<n S ，
则n 的最大值为 （ ）
A ．17
B ．18
C ．20
D ．23
9.已知平面向量i ，j 为互相垂直的两个单位向量，= －2i +j ，=λi －j ，
若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是 （ ）
A 、(21
-
，+∞) B 、(2，+∞) C 、),2()2,21(+∞⋃- D 、(－∞，2
1-)
10．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如下图所示，
则搭成该几何体需要的小正方体的块数是 （ ） A ．7 B ．8 C ．5 D ．6
11．已知⎰-⎩⎨
⎧≤<≤≤-=112)(,1
0,
10
1,
)(dx x f x x x x f 则的值为（ ）
A ．
2
3
B ．
3
4 C ．
3
2 D ．－
3
2 12.设O 为坐标原点，点M （2，1），点(,)N x y 满足4335251x y x y x -≤-⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则||c o s O N M O N
∠的 最大值为
A
．
5
B ．
12
5
C
．5
D
．
12
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在下一页横线上
13. △ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量
),
,(),,(a c a b q b c a p --=+=∥，则角C 的大小为 .
14. 在4和67之间插入一个n 项的等差数列后，仍是一个等差数列，且新等差数列的所有项之和等于781，则n 的值为_______________
15．若对任意∈x R,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是________________． 16．给出下列四个命题：
①若sin2A=sin2B ，则△ABC 是等腰三角形；
②若b
b a a b a 11,0->-
>>则 ③若函数2()lg()f x x ax a =+-的值域是R ，则4a ≤-或0a ≥ ④过原点且与曲线x e y =相切的切线方程为y=x 。

其中正确．．
命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上） 二、填空题：13. 14. 15. 16.
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分12分）已知0αβπ<<
4，为()cos 2f x x π⎛
⎫=+ ⎪8⎝
⎭的最小正周期，
1tan 14αβ⎛⎫
⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，
a (cos 2)α=，
b ，且b a ∙m =．求22
c o s s i n2()c o s s i n ααβαα++-的值．
18．（本小题满分12分）已知数列是}{n a 等比数列,其中6547,1,,1a a a a +=且成等差
数列.
(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式;(Ⅱ)数列}{n a 的前n 项和为,n S 证明: n
S ＜
128,3,2,1(=n …).
19. （本题满分12分）已知函数)0(,1
1
lg
)(>∈--=k R k x kx x f 且. (1)求函数)(x f 的定义域；
(2)若函数)(x f 在[10，+∞）上单调递增，求k 的取值范围.
20．（本小题满分12分）用长为16米的篱笆，借助墙角围成一个矩形ABCD(如图)，在P 处有一棵树与两墙的距离分别为a 米（0<a<12 ）和4米。

若此树不圈在矩形外，求矩形ABCD 面积的最大值M.
21．已知
).,2()()(2R x a e a ax x x f x ∈≤++=-（Ⅰ）当1=a 时，求)(x f 的单调
区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使)(x f 的极大值为3？若存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.
22.（本题满分14分）已知函数
4)(2-=x x f ，设曲线)(x f y =在点（n x ，(f ))n x
处的切线与x 轴的交点为（1+n x ,0）（n ∈*
N ），其中1x 为正实数. （Ⅰ）用n x 表示 1+n x ； （Ⅱ）若1x =4，记n a =lg 2
2
n n x x +-，证明数列｛n a ｝成等比数列，并求｛n x ｝的通项公式； （Ⅲ）若1x ＝4，2-=n n
x b ，n T 是数列｛b n ｝的前n 项和，证明3<n T .
a
4
C D
P A
B
山东省北镇中学2008届高三第三次月考理科数学答案 2007.10.31
一、BACCB AADCD BA 二、13.
3
π
14.20 15. 11≤≤-a 16. ②⑤ 三、17. （本小题满分12分）已知0αβπ<<4，为()cos 2f x x π⎛⎫
=+ ⎪8⎝
⎭的最小正周期，
1tan 14αβ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，
a (cos 2)α=，
b ，且b a ∙m =．求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值． 解：因为β为π()cos 28f x x ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的最小正周期，故πβ=． 因m =·a b ，又1cos tan 24ααβ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭a b ··．故1cos tan 24m α
αβ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭·． 由于π
04
α<<，所以222cos sin 2()2cos sin(22π)cos sin cos sin ααβαααααα++++=--
22cos sin 22cos (cos sin )
cos sin cos sin ααααααααα
++==
--1tan π2cos 2cos tan 2(2)1tan 4m αα
ααα+⎛
⎫==+=+ ⎪-⎝
⎭·
18．（本小题满分12分）已知实数列是}{n a 等比数列,其中6547,1,,1a a a a +=且成等差
数列. (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式;(Ⅱ)数列}{n a 的前n 项和记为,n S 证明: n S ＜
128,3,2,1(=n …).
解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为()q q ∈R ，
由6711a a q ==，得6
1a q -=，从而3341a a q q -==，4251a a q q -==，5161a a q q -==．
因为4561a a a +，，成等差数列，所以4652(1)a a a +=+， 即3
122(1)q
q q ---+=+，122(1)2(1)q q q ---+=+．
所以12q =
．故 1161
1)2
1(64----=⋅==n n n n q q q
a a （Ⅱ）116412(1)11281128
11212
n n n n a q S q ⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥
⎪⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦===-<⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦-．
19. （本题满分12分）已知函数)0(,1
1
lg
)(>∈--=k R k x kx x f 且. (1)求函数)(x f 的定义域；
(2)若函数)(x f 在[10，+∞)上单调递增，求k 的取值范围.
解：（Ⅰ）由
.01
1
:0011>--
>>--x k x k x kx 得及
（1）当0<k <1时，得,11k x x >
<或 （2）当k =1时，得;1,01
1
R x x x x ∈≠∴>--且
（3）当k >1时，得,11><x k
x 或 综上， 当0<k <1时，函数的定义域为
),1
()1,(+∞-∞k
；
当1≥k 时，函数的定义域为).1()1,(∞+-∞ k
（Ⅱ）由
),10[)(+∞在x f 上是增函数 10
1
0110110>>--∴
k k 得
又)11lg(11lg )(--+=--=x k k x kx x f ，故对任意的1x 、2x ，当2110x x <≤时，
有),1
1
lg()11lg(),()(2121--+<--+
<x k k x k k x f x f 即 得： ,0)1
1
11)(1(11112121<----⇔--<--x x k x k x k 又.1,01,11
1121<∴<-∴->-k k x x
综上可知k 的取值是（1,10
1） 20．（本小题满分12分）用长为16米的篱笆，借助墙角围成一个矩形ABCD(如图)，在P 处有一棵树与两墙的距离分别为a 米（0<a<12 ）和4米。

若此树不圈在矩形外，求矩形ABCD 面积的最大值M.
解：设AB=x,则AD=16-x ,依题意得⎩
⎨⎧≥-≥a x x 164 即()21a 0 164<<-≤≤a x
()()
2
86416--=-=x x x S ABCD
()时即当 8a 0 8,a -16 1<<>()()648max ==f x f
()()[]a x f -<≤≤16,4, 12a 8 , 8a -16 2在时即当 上是增函数，
所以 ()()a a a f x f 16162
max +-=-=故 ()()
⎩⎨
⎧<≤+<<=12a 8 16a -8a 0
642
a M 21．已知).,2()()(2R x a e a ax x x f x ∈≤++=-（Ⅰ）当a =1时，求)(x f 的单调区
间；
（Ⅱ）是否存在实数a ，使)(x f 的极大值为3？若存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.
解：（Ⅰ）当a=1时，)()(;)1()(2'2x x e x f e x x x f x x +-=++=--
当
010)(.10,0)(''<><<<>x x x f x x f 或时当时
∴f （x ）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（－∞，0）（1，+∞）
（Ⅱ）])2([)()2()(22'x a x e a ax x e e
a x x f x x x
-+-=++-+=---
令
a x x x f -===20,0)('或得列表如下：
由表可知
2)4()2()(--=-=a e a a f x f 极大 设0)3()(,)4()(2'2>-=-=--a a e a a g e a a g
3)4(32)2()(,)2,()(2≠-∴<=≤∴-∞∴-a e a g a g a g 上是增函数在
∴不存在实数a 使f （x ）最大值为3。

22. （本题满分14分）已知函数f （x ）=x 2－4，设曲线y ＝f （x ）在点（x n ，f （x n ））处的切线与x 轴的交点为（x n +1,0）（n ∈*
N ），其中1x 为正实数. （Ⅰ）用n x 表示x n +1；
（Ⅱ）若a 1=4，记a n =lg 22
n n x x +-，证明数列｛n a ｝成等比数列，并求数列｛x n ｝的通项公
式；
（Ⅲ）若x 1＝4，b n ＝x n －2，T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，证明T n <3. 解：（Ⅰ）由题可得'()2f x x =．
所以曲线()y f x =在点(,())n n x f x 处的切线方程是：()'()()n n n y f x f x x x -=-．
即2
(4)2()n n n y x x x x --=-．令0y =，得21(4)2()n n n n x x x x +--=-．
即2
142n n n x x x ++=．显然0n x ≠，∴122n n n
x x x +=
+． （Ⅱ）由12
2n n n x x x +=
+，知21(2)22222n n n n n x x x x x +++=++=，同理21(2)22n n n
x x x +--=． 故
2
1122()22
n n n n x x x x ++++=--．从而1
122lg 2lg 22n n n n x x x x ++++=--，即12n n a a +=． 所以，数列{}n a 成等比数列． 故1
1
1111222
lg 2lg 32n n n n x a a x ---+===-．
即12l g 2l g 32n n n x x -+=-．从而12232n n n x x -+=-所以1
1
2
22(31)31
n n n x --+=-
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知1
1
222(31)3
1
n n n x --+=
-，∴1
24203
1
n n n b x -=-=
>-
∴1
11112
12222
3111113313133n n n n n n b b ----+-==<≤=-+ 当1n =时，显然1123T b ==<． 当1n >时，2112111
1
()()333
n n n n b b b b ---<
<<< ∴12n n T b b b =++
+11111
1()3
3n b b b -<++
+11
[1()]31
13
n b -=-1
33()33n =-⋅<． 综上，3n T <(*)n N ∈．。