圆的典型问题及策略方法

圆的典型问题及策略方法因罗尉
圆,是对称图形，也是几何中非常完美的图形。

圆的知识点较多，很多同学学习起来较为吃力。

下文将对与圆相关的典型题型进行归纳和总结，以期对同学们有一定的启迪。

一、求圆相关角的度数
例1（2019・滨州）如图为G>0的直径，C,D为O0上两点，若"CD=40。

,则ZABD的大小为______o
【分析】本题解法多样:①连接0D,借助ZBCD求出ZBOD的度数，再利用等腰△BOD求出AABD的度数;②连接4C,根据“直径对直角”可知AACB=90°,借助以仞求出"BD的度数。

解法_:连接0D。

Z_BCD=40°,
.•.zJ30Z>=80°,
V.-.BO=DO,
.•.zUBD=Z_ODB=50°。

解法二:连接4C。

•••4B为O0的直径，
.-.214^=900.
又-.^BCD=40°,
.•厶CD=50°,
.•.厶ABD=/ACD=50。

【点评】在圆中，见圆周角连半径，构造同弧所对的圆心角;见直径连弦,得“直径对直角”。

这些都是解决角度数问题的常见辅助线。

二、求圆相关线段的长度
例2（2018-孝感）已知O0的半径为10cm,佃、CD是O0的两条弦，AB//CD,AB=16cm,CD=12cm,则弦AB 和CD之间的距离是________cm。

【分析】求两弦之间的距离,必须先确定它们的位置:如图2,弦AB和CD在圆心同侧;如图3,弦4B和CD在圆心异侧。

因此本题需分情况考虑。

解:①当弦M和CD在圆心同侧时,如图2。

连接0A、OC,作OELAB并延长交CD于F。

OE1AB,AB//CD,.-.OF1CD O
•/AB=16cm,CD=12cm,
/.4E=8cm,CF=6cm,
:OA=OC=\Ocm,
E0=6cm,0F=8cm,
/.EF=0F-0E=2cm o
②当弦4B和CD在圆心异侧时，如图3,连接OA.OC,作0E14B并反向延长CD于几
•;OE1AB,AB〃CD,
.-.OF L CD o
AB=16cm,CD-12cm,
:.AE=Scm,CF=6cm,
•.•04=OC=10cm,
0E=6cm,0F=8cm,
EF=OF+OE=14cm。

.•MB与CD之间的距离为2cm或14cm o
故答案为：2或14。

【点评】在圆内，求相关线段长度时,常会连半径,过圆心作弦的垂线段,构造由“半弦、半径、弦心距”组成的直角三角形（简称“铁三角”），并借助勾股定理求解。

三、直线与圆特殊位置关系的判定
例3（2019-泰州改编）如图4,四边形ABCD内接于O0,"为<30的直径，D为弧4C的中点，过点D作DE// AC,交BC的延长线于点、E。

判断DE与
【分析】直线DE上已有一点D在圆上，连接0D,只需要判断半径0D是否垂直于直线DE,即可判断DE与的位置关系。

解:DE与（00相切,理由如下。

如图4,连接0D。

"C是直径,0为弧AC的中点，
:.AD=CD,
Z2XM=ZZ>OC=90。

，
•：DE//AC,
Z-ODE=Z-DOA=90°,
即O/LLDE,且垂足为D,
.•.DE与O0相切。

【点评】在证明直线是圆的切线问题中，如果直线与圆有公共点,那么可以连接圆心与公共点,证明这条半径垂直于该直线即可,可概括为：“见切点，连半径，证垂直。

”
四、与圆有关的弧长或面积问题
例4（2018・盐城）如图5,左图是由若干个相同的图形（右图）组成的美丽图案的一部分。

右图中，
图形的相关
数据：半径Q4=2cm,"OB=120。

则右【分析】比较左右图,可知：
OA=OB ，且 OA + OB = AB ,因而右
图中图形的周长等于AB 长的二倍。

解:右图的周长=2 AB =2x 〔go 。

x 说2= O
故答案为:罟e O
【点评】本题运用了转化思想。

求弧
长的问题,只要能确定对应的圆心角度 数和半径即可。

五、构造辅助圆
例5 如图6,在RtA/ifiC 中，Z_C=
90°,AC=6,BC=8,.^F 在边 AC 上，并且
CF=2,点、E 为边BC 上的动点、，将/\CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P
到边佔距离的最小值是_________。

P 的轨迹是以F 为圆心，以2为半径的圆 的部分。

解:如图7,以点F 为圆心、2为半径
作圆，过点F 作阳1AB 。

在 Rt AABC 中,AC=6, BC=8,AB= 10 9
VFH1AB,
.•.在 RtAAHF 中，
FH=sinA -AF=学,
.•.P H =爭-2=令。

故本题的答案为:月。

【点评】在最值问题中，经常需要确 定动点的轨迹，圆也是常见的轨迹之
一。

通常构造辅助圆的情况有:①动点 到定点的距离等于定长;②定线段所对 的角为定角等。

（作者单位:江苏省淮阴中学教育集 团清河开明中学）
【分析】求点P 到边佃距离的最小 值，那么需要清楚点P 的轨迹。

由翻折
得，点P 到点F 的距离是定长2，
可得点。