西区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

西区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 等比数列{a n }满足a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，则a 2a 6=（ ） A ．6 B ．9 C ．36 D ．72 2． 已知x ∈R ，命题“若x 2＞0，则x ＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3． 已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若+
，则x 、y 的值分
别为（ ）
A ．x=1，y=1
B ．x=1，y=
C ．x=，y=
D ．x=，y=1
4． 若f （x ）=x 2﹣2x ﹣4lnx ，则f ′（x ）＞0的解集为（ ） A ．（0，+∞） B ．（﹣1，0）∪（2，+∞）
C ．（2，+∞）
D ．（﹣1，0）
5． 已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0且a ≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=（ ）
A ．﹣
B ．﹣
C ．﹣
D ．﹣或﹣
6． 已知函数y=x 3+ax 2+（a+6）x ﹣1有极大值和极小值，则a 的取值范围是（ ）
A ．﹣1＜a ＜2
B ．﹣3＜a ＜6
C ．a ＜﹣3或a ＞6
D ．a ＜﹣1或a ＞2
7． 函数sin()y A x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（ ） A ．2sin(2)3
y x π
=+
B ．22sin(2)3y x π=+
C ．2sin()23x y π=-
D ．2sin(2)3
y x π
=-
8． 已知双曲线C 的一个焦点与抛物线y 2=8x 的焦点相同，且双曲线C 过点P （﹣2，0），则双曲线C 的
渐近线方程是（ ）
A ．y=±x
B ．y=±
C ．xy=±2
x
D ．y=±x
9． 某公园有P ，Q ，R 三只小船，P 船最多可乘3人，Q 船最多可乘2人，R 船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为（ ） A ．36种 B ．18种 C ．27种 D ．24种 10．设集合M={（x ，y ）|x 2+y 2=1，x ∈R ，y ∈R}，N={（x ，y ）|x 2﹣y=0，x ∈R ，y ∈R}，则集合M ∩N 中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
11．复数i i
i
z (21+=
是虚数单位）的虚部为（ ） A ．1- B ．i - C ．i 2 D ．2
【命题意图】本题考查复数的运算和概念等基础知识，意在考查基本运算能力．
12．已知命题p ：2≤2，命题q ：∃x 0∈R ，使得x 02+2x 0+2=0，则下列命题是真命题的是（ ） A ．￢p B ．￢p ∨q
C ．p ∧q
D ．p ∨q
二、填空题
13．若函数f （x ）=﹣m 在x=1处取得极值，则实数m 的值是 ．
14．设实数x ，y 满足
，向量=（2x ﹣y ，m ），=（﹣1，1）．若∥，则实数m 的最大值
为 ．
15．一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
16．（文科）与直线10x -=垂直的直线的倾斜角为___________．
17．i 是虚数单位，若复数（1﹣2i ）（a+i ）是纯虚数，则实数a 的值为 ．
18．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若1cos 2c B a b ⋅=+，ABC ∆的面积S =，
则边c的最小值为_______．
【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，意在考查基本运算能力．
三、解答题
19．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽100
（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，
（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；
（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．
20．已知数列{a n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，且a3=3，S3=9
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log2，且{b n}为递增数列，若c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜1．
21．已知函数．
（Ⅰ）若函数f （x ）在区间[1，+∞）内单调递增，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求函数f （x ）在区间[1，e]上的最小值．
22．（本题12分）如图，D 是Rt BAC ∆斜边BC 上一点，AC . （1）若22BD DC ==，求AD ； （2）若AB AD =，求角B .
23．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并
按分数段，，，，，进行分组，假设同一组中的每个数据可用
该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．
（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；
（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在的概率；
（Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，且分别在，，三组中，其中
．当数据的方差最大时，写出的值．（结论不要求证明）
（注：，其中为数据的平均数）
24．已知函数f（x）=
（Ⅰ）求函数f（x）单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．
西区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，
∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴3（1+q2+q4）=21，解得q2=2．
则a2a6=9×q6=72．
故选：D．
2．【答案】C
【解析】解：命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题是“若x＞0，则x2＞0”，是真命题；
否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；
逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题；
综上，以上3个命题中真命题的个数是2．
故选：C
3．【答案】C
【解析】解：如图，
++（）．
故选C．
4．【答案】C
【解析】解：由题，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣2﹣，
令2x﹣2﹣＞0，整理得x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，
结合函数的定义域知，f′（x）＞0的解集为（2，+∞）．
故选：C．
5．【答案】B
【解析】解：当a＞1时，f（x）单调递增，有f（﹣1）=+b=﹣1，f（0）=1+b=0，无解；
当0＜a ＜1时，f （x ）单调递减，有f （﹣1）==0，f （0）=1+b=﹣1，
解得a=，b=﹣2；
所以a+b=
=﹣；
故选：B
6． 【答案】C
【解析】解：由于f （x ）=x 3+ax 2
+（a+6）x ﹣1，
有f ′（x ）=3x 2
+2ax+（a+6）．
若f （x ）有极大值和极小值，
则△=4a 2
﹣12（a+6）＞0，
从而有a ＞6或a ＜﹣3， 故选：C ．
【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件．属基础题．
7． 【答案】B 【解析】
考点：三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质． 8． 【答案】A
【解析】解：抛物线y 2
=8
x 的焦点（2，0），
双曲线C 的一个焦点与抛物线y 2
=8
x 的焦点相同，c=2
，
双曲线C 过点P （﹣2，0），可得a=2，所以b=2．
双曲线C 的渐近线方程是y=±x ．
故选：A ．
【点评】本题考查双曲线方程的应用，抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．
9． 【答案】 C
【解析】
排列、组合及简单计数问题．
【专题】计算题；分类讨论．
【分析】根据题意，分4种情况讨论，①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，③，P 船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q 船乘2个大人，分别求出每种情况下的乘船方法，进而由分类计数原理计算可得答案．
【解答】解：分4种情况讨论，
①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，有A33=6种情况，
②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，有A33×A22=12种情况，
③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，有C32×2=6种情况，
④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，有C31=3种情况，
则共有6+12+6+3=27种乘船方法，
故选C．
【点评】本题考查排列、组合公式与分类计数原理的应用，关键是分析得出全部的可能情况与正确运用排列、组合公式．
10．【答案】B
【解析】解：根据题意，M∩N={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}∩{（x，y）|x2﹣y=0，x∈R，y∈R}═{（x，y）
|}
将x2﹣y=0代入x2+y2=1，
得y2+y﹣1=0，△=5＞0，
所以方程组有两组解，
因此集合M∩N中元素的个数为2个，
故选B．
【点评】本题既是交集运算，又是函数图形求交点个数问题
11．【答案】A
【解析】
()
12(i)
12
2
(i)
i
i
z i
i i
+-
+
===-
-
，所以虚部为-1，故选A.
12．【答案】D
【解析】解：命题p：2≤2是真命题，
方程x2+2x+2=0无实根，
故命题q：∃x0∈R，使得x02+2x0+2=0是假命题，
故命题￢p，￢p∨q，p∧q是假命题，
命题p∨q是真命题，
故选：D
二、填空题
13．【答案】
﹣2
【解析】解：函数f（x）=﹣m的导数为f′（x）=mx2+2x，
由函数f（x）=﹣m在x=1处取得极值，
即有f′（1）=0，
即m+2=0，解得m=﹣2，
即有f′（x）=﹣2x2+2x=﹣2（x﹣1）x，
可得x=1处附近导数左正右负，为极大值点．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查导数的运用：求极值，主要考查由极值点求参数的方法，属于基础题．14．【答案】6．
【解析】解：∵=（2x﹣y，m），=（﹣1，1）．
若∥，
∴2x﹣y+m=0，
即y=2x+m，
作出不等式组对应的平面区域如图：
平移直线y=2x+m，
由图象可知当直线y=2x+m经过点C时，y=2x+m的截距最大，此时z最大．
由，
解得，代入2x﹣y+m=0得m=6．
即m的最大值为6．
故答案为：6
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用m 的几何意义结合数形结合，即可求出m 的最大值．根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键．
15．【答案】
【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图 【试题解析】正方体中，BC 中点为E ，CD 中点为F ，
则截面为
即截去一个三棱锥其体积为：
所以该几何体的体积为：
故答案为：
16．【答案】3
π 【解析】
3
π. 考点：直线方程与倾斜角．
17．【答案】 ﹣2 ．
【解析】解：由（1﹣2i ）（a+i ）=（a+2）+（1﹣2a ）i 为纯虚数，
得
，解得：a=﹣2．
故答案为：﹣2．
18．【答案】1
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）元件A为正品的概率约为．
元件B为正品的概率约为．
（Ⅱ）（ⅰ）∵生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A 次B次．
∴随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15．
∵P（X=90）==；P（X=45）==；P（X=30）==；
P（X=﹣15）==．
∴随机变量X的分布列为：
EX=．
（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5﹣n件．
依题意得50n﹣10（5﹣n）≥140，解得．
所以n=4或n=5．
设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A，
则P（A）==．
20．【答案】已知数列{a n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，且a3=3，S3=9
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log2，且{b n}为递增数列，若c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜1．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【专题】计算题；证明题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，从而可得3（1++）=9，从而解得；
（Ⅱ）讨论可知a2n+3=3•（﹣）2n=3•（）2n，从而可得b n=log2=2n，利用裂项求和法求和．【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，
则3（1++）=9，
解得，q=1或q=﹣；
故a n=3，或a n=3•（﹣）n﹣3；
（Ⅱ）证明：若a n=3，则b n=0，与题意不符；
故a2n+3=3•（﹣）2n=3•（）2n，
故b n=log2=2n，
故c n==﹣，
故c1+c2+c3+…+c n=1﹣+﹣+…+﹣
=1﹣＜1．
【点评】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了方程的思想应用及裂项求和法的应用．21．【答案】
【解析】解：（1）由已知得：f′（x）=．
要使函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，只需≥0在[1，+∞）上恒成立．
结合a＞0可知，只需a，x∈[1，+∞）即可．
易知，此时=1，所以只需a≥1即可．
（2）结合（1），令f′（x）==0得．
当a≥1时，由（1）知，函数f（x）在[1，e]上递增，所以f（x）min=f（1）=0；
当时，，此时在[1，）上f′（x）＜0，在上f′（x）＞0，
所以此时f （x ）在上递减，在上递增，所以f （x ）min =f （）=1﹣lna ﹣；
当
时，
，故此时f ′（x ）＜0在[1，e]上恒成立，所以f （x ）在[1，e]上递减，
所以f （x ）min =f （e ）=
．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，以及已知函数单调性求参数范围时转化为导函数在指定区间上大于零或小于零恒成立的问题的思想方法．
22．【答案】（1）2=AD ；（2）3
π
=
B .
【
解
析
】
考点：正余弦定理的综合应用，二次方程，三角方程.
【方法点晴】本题主要考查三角形中的解三角形问题，解题的关键是合理选择正、余弦定理..当有三边或两边及其夹角时适合选择余弦定理，当有一角及其对边时适合选择正弦定理求解，解此类题要特别注意，在没有明确的边角等量关系时，要研究三角形的已知条件，组建等量关系，再就是根据角的正弦值确定角时要结合边长关系进行取舍，这是学生们尤其要关注的地方.
23．【答案】
【解析】【知识点】样本的数据特征古典概型
【试题解析】（Ⅰ）由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有人，
所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有
人．
（Ⅱ）设“至少有1人体育成绩在”为事件
，
记体育成绩在的数据为，，体育成绩在的数据为，，，
则从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种，它们是：，，
，，，，，，，．
而事件的结果有7种，它们是：，，，，，，，
因此事件的概率．
（Ⅲ）a，b，c的值分别是为，，．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin cos+cos2
=sin（+），
∴由2k≤+≤2kπ，k∈Z可解得：4kπ﹣≤x≤4kπ，k∈Z，
∴函数f（x）单调递增区间是：[4kπ﹣，4kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）∵f（A）=sin（+），
∵由条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB=2sinAcosB﹣sinCcosB，
∴则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0，
∴cosB=，又0＜B＜π，
∴B=．
∴可得0＜A＜，
∴＜+＜，
∴sin（+）＜1，
故函数f（A）的取值范围是（1，）．
【点评】本题考查三角函数性质及简单的三角变换，要求学生能正确运用三角函数的概念和公式对已知的三角函数进行化简求值，属于中档题．。