12.1平方差公式(青岛版)
青岛版数学七年级下册《12.1 平方差公式》教学设计3
青岛版数学七年级下册《12.1 平方差公式》教学设计3一. 教材分析《12.1 平方差公式》是青岛版数学七年级下册的教学内容。
本节课主要介绍平方差公式的概念、推导过程以及应用。
平方差公式是代数学习中的一个重要公式，它在解决实际问题和其他数学领域中有着广泛的应用。
通过学习平方差公式，学生能够进一步理解代数的内涵，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在七年级上册已经学习了有理数的乘方、完全平方公式等知识，对代数的基本概念和运算法则有一定的了解。
但学生在应用平方差公式解决实际问题时，还需要进一步引导和培养。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的知识基础，引导学生主动参与，激发学生的学习兴趣。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握平方差公式的概念和推导过程，能够运用平方差公式解决实际问题。
2.过程与方法：通过小组合作、讨论交流等方法，培养学生主动探究、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的概念和推导过程。
2.难点：运用平方差公式解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入平方差公式，激发学生的学习兴趣。
2.小组合作学习：让学生在小组内讨论交流，培养学生的团队合作意识。
3.问题驱动法：教师提出问题，引导学生主动思考，提高学生的问题解决能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作平方差公式的PPT，包括教学内容、例题、练习等。
2.教学素材：准备一些与平方差公式相关的实际问题，用于巩固和拓展环节。
3.学生活动材料：为学生提供一些练习题，用于课堂练习和家庭作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活实例引入平方差公式，如计算矩形的面积等，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）教师展示平方差公式的PPT，讲解公式的历史背景、概念和推导过程。
同时，引导学生通过小组合作，共同探讨平方差公式的特点和应用。
3.操练（15分钟）教师提出一些练习题，让学生独立完成。
【教案】青岛版数学七年级下册12.1《平方差公式》教案
【教案】青岛版数学七年级下册12.1《平方差公式》教案一. 教材分析本节课的内容是平方差公式。
平方差公式是代数中的一个重要公式，它揭示了两个数的平方差与它们之间的关系。
青岛版数学七年级下册12.1节的内容主要包括平方差公式的定义、推导过程以及公式的应用。
通过本节课的学习，学生能够理解并掌握平方差公式，并能运用它解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘法、完全平方公式等基础知识。
他们对代数式有一定的认识，但对于平方差公式的理解和运用还需要进一步引导和培养。
学生的学习兴趣较为浓厚，但部分学生可能对于公式的推导和证明过程存在困难。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解平方差公式的定义，掌握公式的推导过程，并能够运用公式解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过小组合作、探究学习，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养他们积极思考、主动探索的精神。
四. 教学重难点1.教学重点：平方差公式的定义和推导过程。
2.教学难点：平方差公式的运用和解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实际例子，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.小组合作学习：学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
3.引导发现法：教师引导学生发现平方差公式的规律，培养学生的观察力和思维能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示平方差公式的定义、推导过程和应用实例。
2.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生对平方差公式的理解和运用。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个生活中的实际例子，引出平方差公式的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师展示平方差公式的定义和推导过程，引导学生理解并掌握公式。
3.操练（10分钟）教师提出一些练习题，学生独立完成，教师给予指导和反馈。
4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，共同解决一些实际问题，巩固学生对平方差公式的运用。
七年级数学下册12.1平方差公式教学设计（新版）青岛版-（新版）青岛版初中七年级下册数学教案
平方差公式项目内容课标要求能推导乘法公式：，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计22))((bababa-=-+算。
核心素养本节课需要达成的素养有：数学抽象、数学运算。
具体表现在：观察由多项式乘法得到的结果，前面两个因式和结果分别具有什么特点，抽象为一般形式，得到平方差公式，把握公式的结构特征。
会用公式计算，并能倒用公式简化计算。
整合理念将代数与几何相结合，从两方面推导平方差公式，为后面的因式分解做好铺垫。
教材分析《平方差公式》是青岛版七年级下册第12章《乘法公式与因式分解》第1节的内容。
平方差公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”的应用，也是后继知识如因式分解，分式等的基础，对整个教科书也起到了承上启下的作用，在初中阶段占有很重要的地位。
本节课主要研究的是平方差公式的推导和平方差公式在整式乘法中的应用。
它是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法基础上的拓展和再创造，一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，通过乘法公式的学习可以简化某些整式的运算、培养学生的求简意识。
学情分析学生的知识技能基础：在七年级上册，学生已经学过有理数的运算、用字母表示数等内容，具备类比数的运算得到式的运算的知识基础和基本方法。
第11章学过幂的运算、整式乘法等知识，为本节课的学生的活动经验基础：学生在七年级上学期，已经经历具体问题符号化的过程，积累自主探究、合作学习的经验，养成了一定的符号感和推理能力。
同时在整式运算等相关知识的学习过程中，学生经历了许多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识和从具体问题情境中抽象出数量关系和变化规律的能力。
学习奠定了基础，提供可供类比得到新知识的方法。
学习目标【预习目标】借助几何图形和多项式乘法，推导得出平方差公式，会简单应用。
【探究目标】借助几何图形和多项式乘法法则，探索平方差公式，说出公式的结构特征，会识别a 和b，并能用公式简化计算过程。
【教学设计】青岛版数学七年级下册12.1《平方差公式》教学设计
【教学设计】青岛版数学七年级下册12.1《平方差公式》教学设计一. 教材分析1.《平方差公式》是青岛版数学七年级下册第12.1节的内容，本节主要让学生掌握平方差公式的推导过程和应用。
2.平方差公式是基本的代数公式，它在解一元二次方程、因式分解等数学运算中有着广泛的应用。
3.本节内容通过具体的例子，引导学生发现并总结平方差公式，培养学生观察、思考、归纳的能力。
二. 学情分析1.七年级的学生已经学习了有理数的乘法、完全平方公式等基础知识，具备一定的代数运算能力。
2.学生对直观的图形和具体的例子感兴趣，善于观察和总结规律。
3.学生可能对代数公式的推导过程感到困惑，需要通过具体的例子和实践活动来加深理解。
三. 教学目标1.了解平方差公式的推导过程，掌握平方差公式的结构。
2.能够运用平方差公式进行解题和因式分解。
3.培养学生的观察能力、思考能力和归纳能力。
四. 教学重难点1.教学重点：平方差公式的推导过程和应用。
2.教学难点：平方差公式的理解和运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提问引导学生思考和探索。
2.利用图形和具体的例子，帮助学生直观地理解平方差公式。
3.采用分组讨论和合作交流的方式，让学生在实践中学习和巩固知识。
六. 教学准备1.准备相关的图形和例子，用于讲解和展示。
2.准备练习题和测试题，用于巩固和评估学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）–利用一个具体的例子，引出平方差公式的问题。
–提问学生：如何快速计算两个数的平方差？2.呈现（10分钟）–展示相关的图形和例子，引导学生观察和思考。
–通过具体的计算和解释，呈现平方差公式的推导过程。
3.操练（10分钟）–让学生分组讨论，尝试用自己的语言总结平方差公式的结构。
–每组选出一个代表，进行分享和讨论。
4.巩固（10分钟）–给出一些练习题，让学生运用平方差公式进行计算和因式分解。
–引导学生总结解题步骤和注意事项。
5.拓展（10分钟）–引导学生思考：平方差公式在实际生活中的应用。
七年级数学下册 12.1 平方差公式 平方差公式的学习指
平方差公式的学习指导平方差公式为22))((b a b a b a -=-+，应用广泛，应熟练掌握．下面导学其学习方法，希望能对同学们有所帮助．一、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+二、公式的结构特征：平方差公式是通过乘法法则直接计算得来的，即2222))((b a b ab ab a b a b a -=-+-=-+，弄清其来源，自然易记．当然，它的左边为两数和与这两数差的积的形式，一部分完全相同，如公式中的a ，另一部分绝对值相同而符号相反，如公式中的b 和b -；它的右边恰好是完全相同的项的平方，减去绝对值相同而符号相反的项的平方所得的差．这也是该公式被叫做平方差公式的原因．三、 明确公式中b a 、的含义公式中的字母b a 、，既可以表示数，也可以表示代数式．明确b a 、各代表什么数或式子，只要是符合公式结构特征的，都可以运用这一公式计算．例如：4422222294)32)(32()()(y x y x y x b a b a b a -=-+-=-+ββββββ 四、平方差公式的几何意义：如图1，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即22b a -；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成))((b a b a S S S S IV I III I -+=+=+．从而验证了平方差公式22))((b a b a b a -=-+．五、平方差公式的 重点重点1 平方差公式的运用在运用平方差公式时，要注意：（1）是否符合平方差公式的“模型”，即看一看是不是两数和与两数差相乘．如果是，才可以用公式：（2）要分清是哪两个数的和与差相乘，即公式中b a 、在该题中分别代表什么；（3）为了识别出b a 、，应注意公式变形．参看重点2；（4）应特别注意公式的逆用 ))((22b a b a b a -+=-重点2 公式的变化形式公式22))((b a b a b a -=-+有八种变化形式：（1）位置变化：22))((b a a b a b -=+-+（2）符号变化：22))((a b b a b a -=---（3）系数变化：22)3()21()35.0(321b a b a b a -=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （4）指数变化：22222222)()())((b a b a b a -=-+（5）增项变化；22)())((c b a c b a c b a --=+---； 22)())((c b a c b a c b a --=+--+（6）增因式变化：)()())()()((2222b a b a b a b a b a b a -⋅-=+----+（7）连用公式变化：884422))()()((b a b a b a b a b a -=+++-（8）逆用公式变化：)222(2)()(22d c b a d c b a d c b a -+-=+-+--+-以上8种变化离不开基本的公式，同学们不必死记各种变化形态，关键还是对公式结构的理解．六、平方差公式的易错点在平方差公式22))((b a b a b a -=-+中，字母b a 、可以表示具体的数，也可以表示代数式．应用时，要紧扣“相同项”与“互为相反数”这两点．例如22))(3(b a b a b a -≠-+，因为左边两个因式中的第一项a 3和a 不是相同项，不符合平方差公式条件．22)2)((b a b a b a -≠-+，因为左边两个因式中的第二项b 和b 2-不是互为相反项，也不符合平方差公式．总之利用平方差公式要注意：（1）必须符合平方差公式的结构特征；（2）有些式子虽然不能直接应用公式，但经过适当变形或变换符号后则可以运用公式进行化简、计算；（3）计算结果一定要注意字母的系数，指数的变化；（4）在运算过程中，有时可以反复应用公式．。
青岛版初中数学七年级下册课件12.1平方差公式
(1)简化某些多项式的乘法运算 (2)提供有理数乘法的速算方法
公式中的a，b可表示 (1)单项式 (2)具体数 (3)多项式
达标检测：
1、运用平方差公式快速计算： （1）、(m+n)(-n+m) = m2-n2 （2）、(-x-y) (x-y) = y2-x2 （3）、(2a+b)(2a-b) = 4a2-b2 （4）、(x2+y2)(x2-y2)= x4-y4 （5）、 51 × 49 = 2499
2、下列计算正确的是（ D ）
A、(x+3)(x+2)=x2-6 B、(x-3)(x-3)=x2-9
C、(a2+b)(a2-b)=a2-b2 D、(4x-1)(-4x-1)=1-16x2
3、计算： 20052-2004×2006的值为_____1____
4、计算：
(1)(x+y)(x-y)+(2x+y)(2x+y)
说明:
公式中的a,b可以表示一个单项式，也可以表 示一个数,或者是一个多项式。
填充下列表格：
算式
（2a+b)(2a-b)
(y+3)(y-3) (a+3b)(a-3b) ( -m-n) (-m+n)
(a+b-c)(a+b+c)
与平方差 公式中a 对应的项
与平方差公 式中b对应 的项
写成“a2-b2” 的形式
七年级数学下册青岛版 第12章 乘法公式与因式分解
12.1 平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
一、学习目标： 1、会推导平方差公式并掌握公式的结构特征， 能运用公式进行简单的计算； 2、了解平方差公式的几何背景，体会数形结合 的思想方法； 3、通过平方差公式的应用，培养观察、分析、 比较的能力 。
青岛版数学七年级下册《12.1 平方差公式》说课稿3
青岛版数学七年级下册《12.1 平方差公式》说课稿3一. 教材分析《平方差公式》是青岛版数学七年级下册第12.1节的内容。
这一节主要介绍平方差公式的概念、推导过程以及应用。
平方差公式是初中数学中的一个重要公式，它在解决二次方程、二次不等式以及几何问题等方面有着广泛的应用。
在本节课中，学生将通过探究、合作、交流的方式，理解和掌握平方差公式，并能够运用它解决实际问题。
二. 学情分析在进入七年级下册之前，学生已经学习了有理数的乘方、完全平方公式等基础知识。
对于这部分内容，大部分学生能够理解和掌握。
但是，由于学生的学习基础和接受能力存在差异，一部分学生在理解和应用平方差公式方面可能会遇到困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，采取适当的教学方法，帮助所有学生理解和掌握平方差公式。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解平方差公式的概念，掌握平方差公式的推导过程，能够运用平方差公式解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过探究、合作、交流的方式，培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和创新精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式的概念及其推导过程。
2.教学难点：理解并掌握平方差公式的应用。
五. 说教学方法与手段在本节课中，我将采用问题驱动法、合作学习法、案例分析法等教学方法，结合多媒体教学手段，引导学生主动探究、合作交流，从而理解和掌握平方差公式。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引发学生对平方差公式的思考，激发学生的学习兴趣。
2.自主学习：学生自主探究平方差公式的推导过程，理解平方差公式的概念。
3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的学习心得，共同解决疑问。
4.案例分析：教师展示几个典型的案例，引导学生运用平方差公式解决问题。
5.练习巩固：学生自主完成课后练习，检测对平方差公式的理解和掌握程度。
6.总结提升：教师引导学生总结平方差公式的应用范围和注意事项。
青岛版数学七年级下册《12.1 平方差公式》教学设计2
青岛版数学七年级下册《12.1 平方差公式》教学设计2一. 教材分析《12.1 平方差公式》是青岛版数学七年级下册的教学内容。
本节课的主要内容是让学生掌握平方差公式的推导过程和应用。
平方差公式是初中数学中的一个重要公式，它对于解决二次方程、二次函数等问题具有重要意义。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生理解和掌握平方差公式，并能够运用它解决实际问题。
二. 学情分析学生在七年级上学期已经学习了有理数的乘方、完全平方公式等基础知识，对于二次方程和二次函数有一定的了解。
但是，学生对于平方差公式的推导过程和应用可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解平方差公式的推导过程，掌握平方差公式的应用。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流等方法，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自信心和自主学习能力。
四. 教学重难点1.教学重点：平方差公式的推导过程和应用。
2.教学难点：平方差公式的灵活运用和解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入平方差公式，激发学生的学习兴趣。
2.小组合作学习：学生分组讨论，共同完成平方差公式的推导和练习题。
3.引导发现法：教师引导学生发现平方差公式的规律，培养学生的观察力和思维能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作平方差公式的教学PPT，包括导入、推导过程、例题和练习题等内容。
2.练习题：准备一些关于平方差公式的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
3.教学黑板：准备一块黑板，用于板书平方差公式和解答学生的疑问。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个生活实例，如一个正方形的面积比一个相同边长的长方形的面积大多少，引入平方差公式。
引导学生思考和讨论，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师展示平方差公式的推导过程，通过讲解和演示，让学生理解平方差公式的来源和意义。
青岛版七年级数学下册课件12.1 平方差公式
a2 -b2
a
(a + b)(a - b)
a
b
a-b
a-b a
b
b
a-b
边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形，
剩余面积是多少？ 把剩余的部分拼接成右图，你
能算出面积吗？
右边：
左边：
(a + b)(a - b) = a2 - b2
特征 结构
(1) 公式左边两个二项式必须是 相同两数的和与差相乘； 且左边两括号内的第一项相等、 第二项符号相反[互为相反数(式)];
(1)(x+2)(x－2)=x2－2； (2)(－3a－2)(3a－2)=9a2－4.
2.利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a - 3b)= (a)2－(3b)2 =a2－9b2 ； （2）(3+2a)(－3+2a)= (2a+3)(2a-3) =(2a)2－32 =4 a2－9； （3）(－2x2－y)(－2x2+y)= (-2x2 )2－y2 =4x4－y2.
结构：式子左边是m与1的和及m与1的差的乘积， 等式右边是这两个数的平方差
由多项式的乘法则可以得到：
(a + b)(a - b) = a2 + ab - ab + b2 = a2 - b2
从而有下面的平方差公式：
(a + b)(a - b) = a2 - b2
也就是说，两个数的和与这两个数的差的乘积，等 于这两个数的平方差。
解：（1）(3x＋2)(3x－2) =(3x)2－22 =9x2－4.
（2）(b+2a)(2a－b) =(2a+b)(2a－b) =(2a)2－b2 =4a2－b2.Fra bibliotek例2 计算
青岛版数学七年级下册《12.1平方差公式》说课稿1
青岛版数学七年级下册《12.1 平方差公式》说课稿1一. 教材分析《12.1 平方差公式》是青岛版数学七年级下册中的一章，本章主要介绍平方差公式的概念、性质及其应用。
平方差公式是初中数学中的一个重要公式，它对于学生理解代数运算、解决实际问题具有重要意义。
本章内容分为两部分，第一部分是平方差公式的推导和理解，第二部分是平方差公式的应用。
二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经掌握了有理数的混合运算、因式分解等知识，具备了一定的代数基础。
但学生对于平方差公式的理解和应用还需要进一步引导和培养。
因此，在教学过程中，我将以学生已有的知识为基础，通过引导学生主动探究、合作交流，提高学生对平方差公式的理解和应用能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握平方差公式的概念、性质，能够运用平方差公式进行计算和解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过引导学生主动探究、合作交流，培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习意识和团队合作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式的概念、性质及其应用。
2.教学难点：平方差公式的推导过程和理解，以及运用平方差公式解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作交流法、引导发现法等，引导学生主动探究、合作交流，提高学生对平方差公式的理解和应用能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学手段，结合学习任务单、小组讨论等新型教学手段，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入：通过复习有理数的混合运算、因式分解等知识，引出平方差公式，激发学生的学习兴趣。
2.探究：引导学生分组讨论，发现并推导平方差公式，理解平方差公式的性质。
3.应用：让学生运用平方差公式解决实际问题，巩固对平方差公式的理解和运用。
4.总结：对本节课的内容进行总结，强调平方差公式的概念和应用。
5.作业：布置相关的练习题，巩固所学知识。
青岛版七年级下册12.1 平方差公式
12.1平方差公式教学目标（一）教学知识点1.平方差公式及特征2.平方差公式的应用（二）能力训练要求1.会推导平方差公式，了解公式的几何背景，会说出公式的结构特征，并能运用公式进行简单计算.2.经历探索平方差公式的过程，发展符号意识，体会“特殊----一般----特殊”的认知规律.（三）情感与价值观要求1.为学生创设熟悉的生活环境，使其在轻松愉快中体会数学知识在实际生活中的应用；2.通过与学生的交流、探索，逐步培养学生的抽象概括能力及口头表达能力.教学重点：平方差公式的探索及应用教学难点：平方差公式的探索及应用教学方法：观察法、探究法、讨论法．教学过程：探索新知1.提出问题：（1）时代中学计划将一个边长为a米的正方形花坛，改造成长为()2+a米、宽为()2-a米的长方形花坛.你会计算改造后的花坛面积吗？（花坛的面积改变了吗？）()()44222222-=-+-=-+aaaaaa如果改造成长为()1+a米、宽为()1-a米的长方形花坛呢？()()111122-=-+-=-+aaaaaa（2）观察上面的两个乘式中的因式以及它们的乘积，你发现了什么？学生互相讨论，个别同学回答.如果用字母b代替上式中的数字，就有：()()22bababa-=-+（3）如图1，在长为()ba+，宽为()ba-的长方形中，剪去一个长为()ba-，宽为b()0>>ba的小长方形，然后把长方形①②拼成如图2所示的图形.分别计算它们的面积.由此，你得到一个怎样的等式？学生先猜测花坛改变形状后面积是否发生变化，然后列出引例中的两个算式，并按多项式乘法法则进行计算.学生思考后互相讨论交流，得到关于平方差公式的猜想.学生观察PPT展示的图1和图2，思考面积的表示，验证上述猜想该问题能激发学生的好奇心和探索的欲望，体会长方形各边长的变化引起的面积变化.通过观察乘积中的因式和它们的积，发现规律，再通过几何背景和一般情形下的数学推导，得到平方差公式.有助于学生体验利用图形可以描述和分析问题，预测结果，直观板书设计：。
七年级数学下册 12.1平方差公式教案1 (新版)青岛版
《平方差公式》一、教材分析《平方差公式》是在学习了整式的乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，起到了承上启下的作用。
二、学情分析：经过上一章《整式的乘除》的学习，学生的数学思维得到了锻炼和培养，数学知识掌握得也较好。
大部分的学生在数学的计算能力、阅读理解能力、实践探究能力得到了发展与培养，逻辑思维与逻辑推理能力得到了发展与培养。
学生能够从形象思维逐步过渡到抽象思维，使抽象思维得到了较好的发展，为下一步的学习打好了坚实的基础。
特别是一些乐于助人的优秀学生，课堂反应快，表达能力强，可以充分发挥这些学生的领头作用。
有一部分学生欠缺自主学习的动力，部分“待优生”的智力和知识发展较缓慢，这些学生课堂上参与度不甚理想，有时还需要教师提醒，而且有一部分学生没有达到应该达到的发展水平，同时学生课外自主拓展知识的能力有待发展，学生不能自行拓展与加深自己的知识面，班级已经开始出现两极分化的苗头。
因此如何培养“优等生”与“待优生”、及时落实学生课前预习、指导学生及时总结、课堂上专心听讲、及时纠正作业中的错误等问题急需解决，使学生能够更好的开展学习。
鉴于以上我对教材、学情的分析，确定了本节课的教学目标和教学重难点：三、教学目标1、经历平方差公式的探索过程，发展学生的符号感和推理能力、归纳能力；2、掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行灵活运算；3、结合图形了解公式的几何意义，体会数形结合的思想方法.四、教材的重难点和突破措施。
1、重点：平方差公式的应用是本节课的重点2、难点：正确认识平方差公式特征3、突破措施（1）充分发挥多媒体的优越性，利用课件的动画演示，让学生清晰明了地利用几何图形验证公式的正确性，既直观又严谨，特别是课件的演示拼图过程，会让学生兴趣浓厚，注意力会高度集中。
12.1平方差公式(青岛版)
当“第 一(二)数”是一分数 或是数与字母的乘积 时, 要用括号把这个数 整个括起来，再平方;
注意
最后的结果 又要去掉括号。
练习1 口答： 下列各题的计算有没有错误？错的如何改正？ ⑴（ x－6 ）·（x＋6）＝ x2－6 （ x－6 ）·（x＋6）＝ x2－36 ⑵（x2＋5）·（x2－5）＝ x2－25 （x2＋5）·（x2－5）＝ x4－25 （× ） （ ×）
特征 结构
学一学
例1 利用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5−6x)；(2) (x+2y)(x−2y); (3) (−m+n)(−m−n).
第一数a 第二数b 平方 平方
5 6x 5 6x 解: (1) (5+6x)(5−6x)= 52 − ( 6x)2
=25 − 36x2 ; (2) (x+2y) (x−2y) x 2y x 2y = x2− ( 2y )2 = x2 −4y2 ; −m n −m n (3) (−m+n)(−m−n ) = ( −m )2 − n2 = m2 −n2 .
用平方差公式计算
(m-n+p)(m-n-p)
解：(m-n+p)(m-n-p) 2 - p2 =（m-n）
= (m-n)( m-n) 2-mn-mn+n2 - p2 =m 2-2mn+n2 - p2 =m
2 p
过五关之第五关(三项用) • 1.（a+b+c）(a+b-c) • 2. (a+b-3)(a-b+3) • 3.（x-y+z)(x+y-z)
过五关之第三关(连续用) • 2+4) • 2、 (a+2)(a-2)(a • 3、 (x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)
青岛版七年级下册12.1平方差公式
青岛版七年级下册12.1平方差公式教学目标：1、会推导平方差公式（a+b）(a-b)= a2－b2，了解公式的几何解释。
2、能运用公式进行计算。
新知探究：活动一：【算一算】有一位狡猾的地主, 把一块边长为a米正方形的土地.租给李老汉种植.今年,他对李老汉说:“我把你这块地一边增加4米,另一边减少4米,继续租给你,你也没有吃亏,你看如何?”李老汉一听,觉得好象没有吃亏,就答应了.同学们,你们觉得李老汉有没有吃亏?请说出你的理由。
活动二：【剪一剪拼一拼】如图：在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b 的小正方形,把余下的部分切割后拼接成一个矩形。
请从图形面积的角度尝试说明公式：(a+b)(a－b)=a2－b活动三：【公式运用】例1.利用平方差公式计算：1、（3x+2y) (3x-2y)2、(-7+2m 2) (-7-2m 2)3、(x-1)(x+1)(x 2+1)活动四：【选一选】下列各式计算正确的是 ( )A B C D活动五：【比一比】看谁做的又快又好！1、( 3a + 2b )( 3a - 2b ) 2、(- x + 1 )( -x –1 )3、 ( 0.2x - 0.3 )( 0.2x + 0.3 ) 4、（3a+2b ）(2a-3b)活动六：【辨一辨】 6)6)(6(2-=+-x x x 13)13)(13(2-=+-x x x 1)1)(1(2-=--+-x x x 125)15)(15(22-=-+b a ab ab想一想，下列各式中，哪些能利用平方差公式计算？哪些不能利用平方差公式计算？为什么？(1) (x+y)(x-y)； (2) (x-y)(y+x)；（3）(-x+y)(-x+y)； (4) (-x-y)(x-y)；(5) (-x+y)(-x-y)； (6) (x-y)(y-x)．活动七：【公式的实际应用】例2.城市广场是人们休闲旅游的好地方，我市某广场呈长方形，长为803米，宽为797米，你能运用平方差公式计算出它的面积吗？活动八：【牛刀小试】1、运用平方差公计算（2+1)(22+1)(24+1)回顾总结：1）试用语言表述平方差公式 (a+b)(a −b)=a 2−b 2？)161)(141)(121(1你能根据上题计算2=+++、2）应用平方差公式时应注意什么问题？（写在空白处）课堂检测：1、下列多项式乘法中能用平方差公式计算的是（）.(A)(x+1)(1+x) (B)(2x+y)(-y-2x)(C)(-m+n)(-m-n) (D)(x2-y)(x+y2)2、利用平方差公式计算：(1)（-2x+3y）(-2x-3y) (2) (a-2)(a+2)(a2+4)(3) 398×402课后拓展1、运用平方差公式计算：1）(x-y) (x+y) (x2+y2) (x4+y4) 2）计算：19992-1998× 2002 2、作业布置：A组课本111页练习1；B组课本112页拓展与延伸4、5。
七年级数学下册 12.1《平方差公式》课件 (新版)青岛版
=（3x）2-（2y）2
=9x2-4y2
第十一页，共18页。
(2) (-7+2m2)(-7-2m2)
=(-7)2-(2m2)2
=49-4m4
(3) (X-1)(X+1)(X2+1)
=(X2-1)(X2+1)
=x4-1
第十二页，共18页。
例2、计算(jìsuàn)： 1、102 ×98 2、 ( y+2)( y-2 ) - ( y-1 )( y+5)
= y2 – 4 – y2 -4y+5
注:合并(héb=ì-n4gy)+同1 类项,化到最
简。
第十四页，共18页。
随堂练习 (liànxí)
1、a 3ba 3b
2、3 2a 3 2a
3、51 49
4、3x 43x 4 2x 33x 2
第十五页，共18页。
拓展(t项式的乘法法 则吗?
a bm n am an bm bn
第二页，共18页。
算一算，比一比，看谁算得又快又准
(a+b)(a-b)= a2-b2 =x2 － 22
① （x ＋ 2)( x－2） =x2 － 4
②（1 ＋ 3a)( 1－3a）
=1 －9a =12－(3a)2
(4)(a-b)(-a-b)= ____b2_-_a_2 __
第八页，共18页。
2、利用(lìyòng)平方差公式填 表。
(a-b)(a+b)
(1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
ab
a2-b2
1x
12-x2
-3 a (-3)2-a2
《12.1平方差公式》作业设计方案-初中数学青岛版12七年级下册
《平方差公式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 巩固平方差公式的理解和运用能力。
2. 提高学生的逻辑思维和解决问题的能力。
3. 加深对平方差公式的本质及其与其他数学知识关联的理解。
二、作业内容本次作业主要围绕平方差公式的理解与运用展开，具体内容如下：1. 基础知识回顾：要求学生回顾平方差公式的定义、形式及推导过程，并熟练掌握公式的正用和逆用。
2. 公式运用练习：设计一系列练习题，包括填空题、选择题和计算题，让学生运用平方差公式解决实际问题。
3. 公式拓展探究：引导学生探究平方差公式的变形和应用，如与完全平方公式的结合运用等。
4. 实际问题分析：选取几个与日常生活相关的实际问题，要求学生运用平方差公式进行分析和解决。
三、作业要求1. 学生需认真审题，理解题目要求，明确解题思路。
2. 学生在运用平方差公式时，要确保公式的正用和逆用都熟练准确。
3. 对于拓展探究部分，学生需积极思考，尝试多种解题方法，并记录下自己的思考过程。
4. 在解决实际问题时，学生应注重将数学知识与实际生活相结合，提高解决问题的能力。
5. 作业需独立完成，不得抄袭他人答案。
四、作业评价1. 教师将对作业的完成情况进行检查和评价，重点关注学生是否理解并掌握了平方差公式的运用。
2. 对学生的解题思路、计算过程及答案的准确性进行评分。
3. 对于表现优秀的学生，教师将给予表扬和鼓励；对于存在问题的学生，教师将给予指导和帮助。
五、作业反馈1. 教师将根据学生的作业情况，对教学进度和教学方法进行反思和调整。
2. 对于共性问题，教师将在课堂上进行讲解和指导；对于个别问题，教师将与学生进行个别辅导。
3. 通过作业反馈，帮助学生查漏补缺，提高学习效果。
4. 教师将根据学生的反馈，不断完善作业设计方案，以提高教学质量。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标本课时作业设计旨在巩固学生对平方差公式的理解与运用，能够熟练运用平方差公式进行计算，并能够解决与平方差相关的实际问题，提高学生的数学思维能力和解题技巧。
八年级数学上册 12.1平方差公式数学教案 青岛版
课题：12、1 平方差公式一、教与学目标：1、会推导平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2 了解公式的几何解释，理解公式数学表达式与文字表达式在应用上的差异。
并能运用公式进行计算。
2、经历探索平方差公式的推导过程，体会“特殊——一般——特殊”的认识规律。
二、教与学重点和难点：公式的应用及推广三、教与学方法：自主探究，合作交流四、教学过程（一）复习旧知、引入新课1、回顾整式乘法中多项式与多项式相乘的法则。
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.符号表示：（m+b)(n+a)= mn+ma+bn+ba2：时代中学计划将一个边长为m米的正方形花坛改造成长为（a+2）米、宽为（a-2）米的长方形的花坛。
你会计算改造后的花坛面积吗？如果改造成长为（a+1）米、宽为（a-1）米的长方形花坛呢？（a+2）×（a-2）=a2+2a-2a-4=a2-4（a+1）×（a-1）=a2+a-a-1=a2-13观察思考：上面乘式中两个因式以及它们的乘积有什么特征？4、猜想：（a+b）（a-b）=________从而有下面的平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2（二）自主学习探究新知1、动手操作，了解公式的几何意义(1)用较简单的代数式表示下图纸片的面积．(2)沿直线裁一刀，将不规则的右图重新拼接成一个矩形，并用代数式表示出你新拼图形的面积．比较这两个结果，你能验证平方差公式吗？2、合作交流（1）、叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式；（2）、试比较公式的两种表达式在应用上的差异．依照公式的文字表达式可写出下面两个正确的式子：（3）．判断正误：(4x+3b)(4x-3b)＝4x2-3b2；( ) (4x+3b)(4x-3b)＝16x2-9；( ) (4x+3b)(4x-3b)＝4x2+9b2( ) (4x+3b)(4x-3b)＝4x2-9b2； ( )3、典型例题分析例1 利用平方差公式计算：（1）(3x+2y)(3x-2y) （2） (-7+2m2)(-7-2m2)（3）（x-1）（x+1）（x2 +1）温新提示：平方差公式中的a、b可以表示任意的代数式例2、．运用平方差公式计算：803x797（三）、学以致用1、运用平方差公式计算：(1)102×98； (2)(y+2)(y-2)(y2+4)．2．运用平方差公式计算：(1)103×97； (2)(x+3)(x-3)(x2+9)；(3)59.8×60.2；3、填空：1）、(1)a2-4＝(a+2)( )；(2)25-x2＝(5-x)( )；(3)m2-n2＝( )( )；2）、x2-25＝( )( )；3）、4m2-49＝(2m-7)( )；4）、a4-m4＝(a2+m2)( )＝(a2+m2)( )( )；4、计算：(1)(a+b-3)(a+b+3)； (2)(m2+n-7)(m2-n-7)．（四）拓展延伸迁移升华1．运用平方差公式计算：(1)(a2+b)(a2-b)； (2)(-4m2+5n)(4m2+5n)；(3)(x2-y2)(x2+y2)；(4)(9a2+7b2)(7b2-9a2)．2．运用平方差公式计算：五课堂小结：1．什么是平方差公式？一般两个二项式相乘的积应是几项式？2．平方差公式中字母a、b可以是那些形式？3．怎样判断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式？六、作业1、必做题习题12.1 1 2 32、挑战自我A BM NC E FPQ B C G A BC DG E FA B D E CF) 3 菏泽市2010年初中学业水平考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．2010年元月19日，山东省气象局预报我市元月20日的最高气温是4℃，最低气温是－6℃，那么我市元月20日的最大温差是（ ）A ．10℃B ．6℃C ．4℃D ．2℃ 2．负实数a 的倒数是（ ）A ．－aB ． 1 aC ．－ 1aD ．a3．下列运算正确的是（ ）A ．(a ＋b )(b －a )＝a 2－b 2B ．(a －2)2＝a 2－4C ．a 3＋a 3＝2a 6D ．(－3a 2)2＝9a 44．如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小5．如图，直线PQ ∥MN ，C 是MN 上一点，CE 交PQ 于 A ，CF交PQ 于B ，且∠ECF ＝90º．若∠FBQ ＝50º， 则∠ECM ＝（ ）A ．60ºB ．50ºC ．40ºD ．30º 6．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3．折叠纸片使 AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，点A 落在点A 1处，则△A 1BG 的面积与矩形ABCD 的面积的比为（ ）A ． 1 12B ． 1 9C ． 1 8D ． 167．如图，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少．用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥．若圆的半径为r ，扇形的半径为R ，则（ ） A ．R ＝2r B ．R ＝r C ．R ＝3r D ．R ＝4r8．如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60º，AB ＝2cm ，E 、F 分别是BC 、 CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ）A ．23cmB ．33cmC ．43cmD ．3cm9．某种气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内气体的气压P (kPa )是气体体积V (m 3)的反比例函数，其图象 如图所示．当气球内气体的气压大于120kPa 时，气球将爆炸．为了安全，气体的体积应该（ ）A ．不大于 5 4m 3B ．小于 54m 3 C ．不小于 4 5m 3 D ．小于 45m 310．某医院决定抽调甲、乙、丙、丁4名医护人员参加抗震救灾，先随机地从这4人中抽取A ．B ．C ．D ．A B CD OB C D E F G C 1B 1A 1A B CD 2人作为第一批救灾医护人员，那么丁被抽到作为第一批救灾医护人员的概率是（ ） A ． 1 2 B ． 1 3 C ． 1 4 D ． 34二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）11．分解因式：a 3－6a 2b ＋9ab 2＝ ．12．月球距离地球地面为384000000m ，将这个距离用科学记数法表示(保留两个有效数字)应为 m ．13．若关于x 的不等式3m －2x ＜5的解集是x ＞2，则实数m 的值为 ．14．已知2是关于x 的方程x 2＋4x －p ＝0的一个根，则该方程的另一个根是 ． 15．已知点P 的坐标为(m ，n )，O 为坐标原点．连接OP ，将线段OP 饶O 点顺时针旋转90º得OP 1，则点P 1的坐标为 ．16．刘谦的魔术表演风靡全国．小明也学起刘谦，发明了一个魔术盒，当任意实数对(a ，b )进入其中时，会得到一个新的实数：a 2＋b －1，例如把(3，－2)放入其中，就会得到32＋(－2)－1＝6．现将实数对(－2，－3)放入其中，得到的实数是 ．17．如图，在正方形ABCD 中，O 是CD 上的一点，以O 为圆心、OD 为半径的半圆恰好与以B 为圆心、BC 为半径的扇形的弧外 切，则∠OBC 的正弦值为 ．18．如图，三角板ABC 的直角边AC 、BC 的长分别为40cm 和30cm ， 点G 在斜边AB 上，且BG ＝30cm ．将这个三角板以G 为中心按逆时针旋转90º至△A 1B 1C 1的位置，那么旋转前后两个三角板重 叠部分(四边形DEFG )的面积为 ．三、解答题（本大题共6小题，满分66分） 19．（每小题4分，满分12分）(1)计算：)4(60sin 4120π-+-ο．(2)解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-≤+<+，3128)2(3x x x x (3)解分式方程：x x x -=+--21221．20．(8分)如图，在△ABC 中，∠C ＝90º，∠A ＝30º，BD 是∠ABC 的平分线，CD ＝5cm ，求AB 的长．21．(10分)某中学初三(1)班、(2)班各选5名同学参加“爱我中华”演讲比赛，其预赛成绩(满分100分)如图所示：A EO CD(1(2)根据两班的平均数和中位数，分析哪班成绩较好？(3)如果每班各选2名同学参加决赛，你认为哪个班实力更强些？说明理由．22．(12分)如图，在△AOB 中，OA ＝OB ，∠A ＝30º，⊙O 经过AB 的中点E 分别交OA 、OB 于C 、D 两点，连接CD ．(1)求证：AB 是⊙O 的切线． (2)求证：AB ∥CD ．(3)若CD ＝43，求扇形OCED 的面积．23．(12分)我市为绿化城区，计划购买甲、乙两种树苗共计500棵，甲种树苗每棵50元，乙种树苗每棵80元，调查统计得：甲、乙两种树苗的成活率分别为90%、95%． (1)如果购买两种树苗共用28000元，那么甲、乙两种树苗各买了多少棵？(2)市绿化部门研究决定，购买树苗的钱数不得超过34000元，应如何选购树苗？(3)要使这批树苗的成活率不低于92%，且使购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？最低费用是多少？24．(12分)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过原点O ，与x 轴交于另一点N ，直线y ＝kx ＋4与两坐标轴分别交于A 、D 两点，与抛物线交于点B (1，m )(1)求直线与抛物线的解析式．(2)若抛物线在x 轴上方的部分有一动点P (x ，y )，设 ∠PON ＝α，求当△PON 的面积最大时tan α的值． (3)若动点P 保持(2)中的运动线路，问是否存在点P ，使得△POA 的面积等于△PON 的面积的 815？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。
12.1平方差公式 (青岛组合版)
)
4、（a－b）（－a－b）
三、简便计算：1、 998×1002
2.化简
( x y )( x y )( x y )
2 2
(x4+y4 )
解原式
x y )( x y ) (x4+y4 ) （
2 2 2 2
x y ） 4+y4) (x （
=640000-9=639991
计算:
102×98; 解:102×98 =（100＋2）(100－2) = 1002-22 =10000 – 4 =9996
试用语言表述平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2。 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 应用平方差公式 时要注意一些什么？ 1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2 运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公 式；
原来
5米
现在
(a+5)米
a米
2 a
5米
(a-5)
(a+5)(a-5)
相等吗？
算一算，比一比，看谁算得又快又准
计算下列各题 ①（x ＋ 4)( x－4） ②（1 ＋ 2a)( 1－2a）
③（m＋ 6n)( m－6n）
④（5y ＋ z)(5y－z）
①（x ＋ 4)( x－4）=x2 － 16
x2 － 42
指出下列计算中的错误： (1) (1+2x)(1−2x)=1−2x2 第二数被平方时，未添括号。 (3) (3m+2n)(3m−2n)=3m2−2n2
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a a-b a
a
b
(a+b)(a-b)
b
b
a-b
(a+b)(a-b)=a2-b2
平方差公式特点
相同数（项）为a
2 2 (a+b)(a-b)=(a) -(b)
相反数（项）为b
（相同项）2 -（相反项）2
★字母a、b的代表性： a、b可以表示数，还可以表示单项式或多项式。
相同项的平方减去相反项的平方
平方差公式： (a+b)(a−b)=
这两数的平方差.
2 2 a −b
两数和与这两数差的积,等于
2、判断下列式子是否可用平方差公式。 （1)（-a+b)(a+b) (2) (-2a+b)(-2a-b) (3) (-a+b)(a-b) (4) (a+b)(a-c)
(是 ) (是 ) (否 ) (否 ) (否 )
① （x ＋ 2)( x－2）=x2 － 4 =x2 － 22
②（1 ＋ 3a)( 1－3a）=1 －9a2 =12－(3a)2
③（m＋ 5n)( m－5n） =m2 － 25n2 =m2 － (5n)2
1、利用多项式的乘法法则验证：
(a+b)(a-b) 2 2 =a -ab+ab-b = a2-b2
小结：
通过本节课的学习你有什么收获？
1、 课本112页习题12.1第1题
(5) (3x+2y)(3x−2y)=3x2−2y2
自主合作 • 自学教材P111的例1、2，时间 5分钟. • 注意： • 1.例1（3）题的计算步骤； • 2.体会例2中利用平方差公式进 行简便计算的方法.
当堂练习
• 1.口答P111页练习第1题的 （1）、（2）、（3）、（4）. • 2.侧黑板板演P112页 第1题（2）、（4）， 第2题（2）， 第3题（1）.
从前，有一个狡猾的地主，把一块边 长为a的正方形土地租给张老汉种植.第二年， 地主对张老汉说：“我把这块地的一边增加 5米，另一边减少5米，继续租给你种植， 租金不变，这样你也不吃亏，你看怎么样？” 张老汉一听觉得没有吃亏，就答应了.回到 村上，张老汉把这件事对邻居们说了，邻居 一听都说：“你吃大亏了！”同学们，你知 道张老汉为什么吃亏了吗？
1、参照平方差公式“(a+b)(a-b)=a2-b2” 填空。
2-a2 b _________
(l)(-a+b)(a+b)= 2-b2 a (2)(a-b)(b+a)= __________ 2-b2 2 2 a -b =____ (3)(-a-b)(-a+b)=(-a) ____ 2-a2 2 2 b -a =___ (4)(a-b)(-a-b)= (-b) ____
1、会推导平方差公式：(a+b)(a-b)=a² -b² ， 了解公式的几何解释，并能运用公式进行计算。 2、经历探索平方差公式的过程，发展符号意 识，体会特殊→一般→特殊的认识规律和数形 结合思想。 3、通过自主探究，合作交流活动，体验合作 学
(a+b)(a-b)= a2-b2