2018年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件 文

专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．理解命题的概念
2．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系
3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义
热点题型一四种命题及其真假判断
例1、 (1)已知命题α：如果x＜3，那么x＜5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3。

关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( )
①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题。

②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题。

③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题。

A．①③ B．②
C．②③ D．①②③
(2)以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)。

①“若log2a＞0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；
②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；
③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题。

【答案】(1)A (2)②
【解析】(1)逆命题是互换原命题的条件与结论，否命题是把原命题的条件和结论都否定，逆否
【提分秘籍】
在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系。

要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命
题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可。

对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手。

【举一反三】
已知：命题“若函数f (x )＝e x
－mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是( ) A ．否命题是“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数，则m ＞1”，是真命题 B ．逆命题是“若m ≤1，则函数f (x )＝e x
－mx 在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题 C ．逆否命题是“若m ＞1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题 D ．逆否命题是“若m ＞1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题 【答案】D
热点题型二 充分条件、必要条件的判断
例2、【2017天津，文2】设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】20x -≥，则2x ≤，11x -≤，则111,02x x -≤-≤≤≤，{}{}
022x x x x ≤≤⊂≤ ，据此可知：“20x -≥”是“11x -≤”的的必要的必要不充分条件，本题选择B 选项.
【提分秘籍】 充要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断。

(2)集合法：根据p ，q 成立的对应的集合之间的包含关系进行判断。

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断。

这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的何种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的何种条件。

【举一反三】
设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
3
【答案】A
【解析】当x ＝2且y ＝－1时，满足方程x ＋y －1＝0，但方程x ＋y －1＝0有无数多个解，不能确定x ＝2且y ＝－1，∴“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l 上”的充分而不必要条件。

热点题型三 充分条件、必要条件的应用
例3．已知集合M ＝{x |x ＜－3或x ＞5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}。

(1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的充要条件；
(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分但不必要条件； (3)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个必要但不充分条件。

【提分秘籍】
与充要条件有关的参数问题的求解方法
解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系，并由此列出关于参数的不等式(组)求解。

【举一反三】
原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的
判断依次如下，正确的是( )
A ．真，真，真
B ．假，假，真
C ．真，真，假
D ．假，假，假 【答案】A
【解析】从原命题的真假入手，由于
a n ＋a n ＋1
2
＜a n ⇔a n ＋1＜a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题和否命题均为
真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A 。

1.【2017天津，文2】设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B
1.【2016高考天津文数】设0>x ，R y ∈，则“y x >”是“||y x >”的（ ） （A ）充要条件
（B ）充分而不必要条件
（C ）必要而不充分条件
（D ）既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】34,3|4|>-<-,所以充分性不成立；||x y y x y >≥⇒>，必要性成立，故选C 2.【2016高考上海文科】设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】A
【解析】2211,111a a a a a >⇒>>⇒><-或，所以“1>a ”是“12>a ”的充分非必要条件，选A. 1.【2015高考山东，文5】设m R ∈,命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是( ) （A ）若方程20x x m +-=有实根，则0m > (B) 若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤ (C) 若方程20x x m +-=没有实根，则0m > (D) 若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤ 【答案】D
【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D. 2.【2015高考湖北，文3】命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-
【答案】C.
【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为(0,)
∀∈+∞，ln1
x
≠-，故应选C.
x x 1．（2014·安徽卷）命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否．定是( )
A．∀x∈R，|x|＋x2<0
B．∀x∈R，|x|＋x2≤0
C．∃x0∈R，|x0|＋x20<0
D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥0
【答案】C
【解析】易知该命题的否定为“∃x0∈R，|x0|＋x20<0”．
2．（2014·福建卷）命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )
A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0
D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0
【答案】C
【解析】“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”是含有全称量词的命题，其否定是“∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0”，故选C.
3．（2014·湖北卷）命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是( )
A．∀x∈/R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝x
C．∃x0∈/R，x20≠x0 D．∃x0∈R，x20＝x0
【答案】D
4．（2014·湖南卷）设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则綈p为( )
A．∃x0∈R，x20＋1＞0 B．∃x0∈R，x20＋1≤0
C．∃x0∈R，x20＋1＜0 D．∀x∈R，x2＋1≤0
【答案】B
【解析】由全称命题的否定形式可得綈p：∃x0∈R，x20＋1≤0.
5．（2014·天津卷）已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则綈p为( )
A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1
B. ∃x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1
C. ∀x＞0，总有(x＋1)e x≤1
D. ∀x≤0，总有(x＋1)e x≤1
5
【答案】B
【解析】含量词的命题的否定，先改变量词的形式，再对命题的结论进行否定．
1．若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的( ) A．必要不充分条件
B．充要条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】f(x)在R上为奇函数⇒f(0)＝0；f(0)＝0⇒/f(x)在R上为奇函数，如f(x)＝x2，故选A.
2．下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( )
A．a>b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2 D．a3>b3
【答案】A
【解析】由a>b＋1，得a>b＋1>b，即a>b，而由a>b不能得出a>b＋1，因此，使a>b成立的充分不必要条件是a>b＋1，选A.
3．给定下列三个命题：
p1：函数y＝a x＋x(a>0，且a≠1)在R上为增函数；
p2：∃a，b∈R，a2－ab＋b2<0；
p3：cosα＝cosβ成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k∈Z)．
则下列命题中的真命题为( )
A．p1∨p2B．p2∨綈p3
C．p1∨綈p3D．綈p2∧p3
【答案】D
4．“(m－1)(a－1)>0”是“log a m>0”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
7
5．若集合A ＝{x |x 2
－5x ＋4<0}，B ＝{x ||x －a |<1}，则“a ∈(2,3)”是“B ⊆A ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】由题意知A ＝{x |1<x <4}，B ＝{x |－1＋a <x <1＋a }，若B ⊆A ，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
1＋a ≤4，
－1＋a ≥1，解得2≤a ≤3，
所以必要性不成立．反之，若2<a <3，则必有B ⊆A 成立，所以充分性成立，故选A.
6．设函数f (x )＝log 2x ，则“a >b ”是“f (a )>f (b )”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】因为f (x )＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )；反之，当f (a )>f (b )时，a >b .故选B.
7．已知p ：x ≥k ，q ：3
x ＋1
<1，若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，－1]
【答案】B 【解析】∵q ：
3x ＋1<1，∴3x ＋1－1<0，∴2－x
x ＋1
<0. ∴(x －2)·(x ＋1)>0，∴x <－1或x >2.
因为p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，故选B.
8．已知a ，b 为非零向量，则“函数f (x )＝(ax ＋b )2
为偶函数”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】∵f (x )＝(ax ＋b )2
＝a 2x 2
＋2a ·bx ＋b 2
，且f (x )＝(ax ＋b )2
为偶函数，∴2a ·b ＝0，即a ·b ＝0，所以a ⊥b ；若a ⊥b ，则有a ·b ＝0，∴f (x )＝(ax ＋b )2
＝a 2x 2
＋2a ·bx ＋b 2
＝a 2x 2
＋b 2
为偶函数，∴“函数f (x )＝(ax ＋b )2
为偶函数”是“a ⊥b ”的充要条件，故选C.
9．“若a ，b ∈R ＋，a 2＋b 2
<1”是“ab ＋1>a ＋b ”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】C
10．在△ABC 中，设p ：a sin B ＝b sin C ＝c
sin A ；q ：△ABC 是正三角形，那么p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】若p 成立，即a sin B ＝b sin C ＝c
sin A ，由正弦定理，
可得a b ＝b c ＝c a
＝k .
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝k
b ，b ＝k
c ，c ＝ka ，
∴a ＝b ＝c .
则q ：△ABC 是正三角形，成立．
反之，若a ＝b ＝c ，则∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°， 则
a sin B ＝
b sin C ＝c
sin A
. 因此p ⇒q 且q ⇒p ，即p 是q 的充要条件．故选C. 11．以下四个命题中，真命题的个数是( )
①“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题． ②存在正实数a ，b ，使得lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b .
③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”． ④在△ABC 中，∠A <∠B 是sin A <sin B 的充分不必要条件． A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
【答案】C
【解析】对于①，原命题的逆命题为：若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2，而a ＝2，b ＝－2满足a ，b 中至少有一个不小于1，但此时a ＋b ＝0，故①是假命题；对于②，根据对数的运算性质，知当a ＝b ＝2时，lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ，故②是真命题；对于③，易知“所有奇数都是素数”的否定就是“至少
9
有一个奇数不是素数”，③是真命题；对于④，根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知∠A <∠
B ⇔a <b (a ，b 为角A ，B 所对的边)⇔2R sin A <2R sin B (R 为△AB
C 外接圆的半径)⇔sin A <sin B ，故∠A <∠B 是
sin A <sin B 的充要条件，故④是假命题．选C.
12．设p ：|4x －3|≤1，q ：x 2
－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )
A ．[0，1
2]
B ．(0，1
2
)
C ．(－∞，0]∪[1
2，＋∞)
D ．(－∞，0)∪(1
2，＋∞)
【答案】
A
13．如果对于任意实数x ，〈x 〉表示不小于x 的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的________条件．
【答案】必要不充分
【解析】可举例子，比如x ＝－0.5，y ＝－1.4，可得〈x 〉＝0，〈y 〉＝－1；比如x ＝1.1，y ＝1.5，〈x 〉＝〈y 〉＝2，|x －y |<1成立．因此“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的必要不充分条件．
14．集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪
⎪
x －1x ＋1
<0，B ＝{x ||x －b |<a }．若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是________．
【答案】(－2,2)
【解析】A ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪
⎪
x －1
x ＋1<0＝{x |－1<x <1}，B ＝{x ||x －b |<a }＝{x |b －a <x <b ＋a }， 因为“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件， 所以－1≤b －1<1或－1<b ＋1≤1，即－2<b <2. 15．已知A 为xOy 平面内的一个区域．
命题甲：点(a ，b )∈{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≤0，x ≥0，
3x ＋y －6≤0
}；
命题乙：点(a ，b )∈A .
如果甲是乙的充分条件，那么区域A 的面积的最小值是________．
【答案】2
16．已知命题p ：实数m 满足m 2
＋12a 2
<7am (a >0)，命题q ：实数m 满足方程x 2
m －1＋
y 2
2－m
＝1表示的焦点
在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．
【答案】[13，3
8
]
【解析】由a >0，m 2
－7am ＋12a 2<0，得3a <m <4a ， 即命题p ：3a <m <4a ，a >0. 由
x 2
m －1＋
y 2
2－m
＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得2－m >m －1>0，
解得1<m <32，即命题q ：1<m <3
2.
因为p 是q 的充分不必要条件，所以
11 ⎩⎪⎨⎪⎧ 3a >1，4a ≤32或⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥1，4a <32，
解得13≤a ≤38
， 所以实数a 的取值范围是[13，38
]．。