【小升初专项训练】5 约数个数与约数和定理

第10讲约数个数与约数和定理第一关约数的个数
【知识点】
约数个数与约数和定理
设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×…×p k那么：
n的约数个数公式：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）
【例1】一个合数至少有3个约数．（判断对错）
【答案】√
【例2】若a=2×3×5，则a的因数有多少个，分别是什么？
【答案】8；1、2、3、5、6、10、15、30
【例3】60的不同约数（1除外）的个数是多少？
【答案】11
【例4】105可以分解成105=3×5×7，它的约数共有多少个？
【答案】8
【例5】已知360=2×2×2×3×3×5，那么360的约数共有多少个？
【答案】24
【例6】求2016的因数个数为36个？
【答案】36
【例7】2009的平方的约数有多少个？
【答案】15
【例8】已知a=22×32×52，那么a的因数有多少个？
【答案】27
【例9】数22×33×55有多少个不同的约数？
【答案】72
【例10】a=2×3×n2；b=3×5×n2，那么A×B一共有多少个因数？
【答案】144
【例11】用表示4的不同约数有1，2，4共3个，所以，求
【答案】1
【例12】若用G（a）表示自然数a的约数的个数，如：自然数6的约数有1、2、3、6，共4个，记作G（6）=4，求G（36）+G（42）。

【答案】17
【例13】已知自然数a有3个约数，那么4a有多少个约数？
【答案】5
【例14】m有8个约数，7m有多少个约数？
【答案】16
【例15】已知ab是一个质数，那么ababab有几个约数？
【答案】32
【例16】一个数约数的和是403，这个数约数的个数是多少？
【答案】15
【例17】如果一个自然数的约数的个数是奇数，我们称这个自然数为“希望数”，那么，1000以内最大的“希望数”是多少？
【答案】961
【例18】如果一个自然数的2004倍恰有2004个约数，这个自然数自己最少有多少个约数？
【答案】167
第二关
【知识点】
约数个数与约数和定理
设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×…×p k那么：
n的约数个数公式：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）
【例19】一个自然数有10个不同的约数，则这个自然数最小是多少？
【答案】48
【例20】恰好有12个不同因数的最小的自然数为多少？
【答案】60
【例21】已知一个自然数有14个不同的约数，这个数最小是多少？
【答案】192
【例22】恰有20个因数的最小自然数是多少？
【答案】240
【例23】把72的所有约数从小到大排列，第4个是多少？
【答案】4
【例24】把360的所有约数从小到大排列，第4个数是4，那么倒数第4个数是多少？
【答案】90
【例25】写出不大于100且恰有8个约数的所有自然数。

【答案】24、30、40、42、54、56、66、70、78、88
【例26】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数.
【答案】361，400，441，484，529，576和625
【例27】已知自然数N的个位数字是0，且有8个约数，则N最小是多少？
【答案】30
【例28】一个数恰好有8个因数，已知35和77是其中两个，则这个数是多少？
【答案】385
【例29】已知数A有12个约数，数B有10个约数，且A、B两数只含有质因数3和5，
A、B的最大公约数是75，求A、B。

【答案】A是675，B是1875
【例30】A、B两数都只含有质因数3和4，它们的最大公约数是36．已知A有12个约数，B有9个约数，那么A+B等于多少？
【答案】108或144
【例31】甲、乙两数只含2，3质因数，甲数有21个约数，乙数有10个约数，它们的最大公约数是18，求这两个数各是多少？
【答案】甲数是192，乙数是162
【例32】一个自然数N共有9个约数，而N-1恰有8个约数，满足条件的自然数中，最小的和第二小的分别是多少？
【答案】196；256
【例33】一个偶数恰有6个约数不是3的倍数，恰有8个约数不是5的倍数．请问：这个偶数是多少？
【答案】1350
【例34】一个正整数恰有8个约数，它的最小的3个约数的和为15，且这个四位数的一个质因数减去另一个质因数的5倍等于第三个质因数的2倍，这个数是多少？
【答案】1221或2013
【例35】A、B、C、D是一个等差数列，并且A有2个约数、B有3个约数、C有4个约数、D有5个约数．那么，这四个数和的最小值是多少？
【答案】1708
【例36】一个正整数，它的2倍的约数恰好比它自己的约数多2个，它的3倍的约数恰好比它自己的约数多3个．那么，这个正整数是多少？
【答案】12
第三关
【知识点】
约数个数与约数和定理
设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×…×p k那么：
n的约数个数公式：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）
【例37】因数个数是12的两位数有哪些？
【答案】60、72、84、90、96
【例38】含有6个约数的两位数有多少个？
【答案】16
【例39】不大于100的自然数中，有多少个数只有8个约数？
【答案】10
【例40】如果一个数有12个约数，那么称这样的数为’好数’”．则将所有的”好数”由小到大依次排列，第三个是多少？
【答案】84
【例41】在1～100中，所有的只有3个约数的自然数的和是多少？
【答案】87
【例42】不大于200的自然数中，有多少个数有8个因数？
【答案】87
【例43】1001的倍数中，共有多少个数恰有1001个约数？
【答案】6
【例44】能被2145整除且恰有2145个约数的数有多少个？
【答案】24
第四关约数和
【知识点】
约数个数与约数和定理
设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×…×p k那么：
n的所有约数和：f（n）=（p10+p11+p12+…+p1a1）（p20+p21+p22+…+p2a2）…（p k0+p k1+p k2+…
+p k ak）
【例45】42的约数有多少个？这些约数的和是多少？
【答案】8；272
【例46】81的所有因数之和为多少？
【答案】121
【例47】144的全部约数有多少个？这些约数的和是多少？
【答案】15；403
【例48】324有几个因数？所有因数的和是多少？
【答案】15；847
【例49】数360的约数有多少个？这些约数的和是多少？
【答案】24；1170
【例50】3960的约数有多少个？这些约数的和是多少？
【答案】48；14040。