由概念切入作自觉分析 成概念解法

由概念切入 作自觉分析 成概念解法---对2009年全国高考数学广东卷（理科）第21题的解题分析广东省佛山市顺德区北滘中学 远勋平2009年广东省数学高考是贯彻新课标、强化新理念的深化，在回归课本中突出数学概念的考查，尤其聚焦于21题. 1. 题目已知曲线,...)2,1(02:22==+-n y nx x C n ．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．（1）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；（2）证明：13521n n nxx x x x y -⋅⋅⋅⋅<<.(略) 这是一道带有明显几何背景的数列与不等式的综合问题，内含多个数学概念、考查多种数学方法.2.对（1）的解题分析---解题思路的探求由概念切入联想、数形结合指导化归学生拿着题目一筹莫展，找不到解题的突破口，这在很大程度上是学生不会做解题分析、不知道数学解题思维“要从何处开始、该如何发展、应奔向何处”，学生的分析问题的思维指向性不强.数学解题的思维的起点是审题，这一过程包括数学信息的“有用捕捉、有关提取、有效组合”，捕捉问题中显化的数学概念、通过联想提取记忆中的有关信息、利用数形结合的方法进行有效的组合。

重视基础、夯实基础知识和基本方法成为共识，数学概念就是基础的“基底”，数学概念本身就反映数学方法.本题涌现出的数学概念：曲线的方程、曲线的切线、直线的斜率等，无不揭示“数形结合”这一数学方法.从每一个概念出发，联想与之接近的基础知识，辅助于数形结合的方法指导化归，就能解决问题. 2.1选择曲线的切线作为切入点求曲线的切线是一类基础题，采用“模式识别”法联想到：圆锥曲线的切线常用判别式法、函数图像的切线常用导数法. （1）判别式法解法1：由题意可知，切线n l ：)1(+=x k y n ，故⎩⎨⎧=+-+=02)1(22y nx x x k y n 得0)22()1(2222=+-++n n n k x n k x k ，（1） 则0)1(4)22(2222=+--=∆nnnk k n k ，∴1222+=n n k n即 12+=n n k n （12+-n n舍去），代入（1）得22222)1(1+=+=n n k k x n n n， 1+=∴n nx n ，112)1(++=+=n n n x k y n n n这是求圆锥曲线的切线的常用方法法.即便如此，稍作分析，易看得出根本没有必要把12+=n n k n （12+-n n 舍去）求出.另外在判别式0=∆的前提下，求一元二次方程的根用求根公式更方便：()()1122222+=+--=n nk n k x nn n . （2）导数法解法2：曲线:n C 222)(n y n x =+-表示以)0,(n 为圆心，以n 为半径的圆，切线n l 过()0,1-且斜率0>n k ，故直线与曲线必相切于x 轴上方部分（如图）：将曲线n C 的上半部分看作是函数nx x x f 2)(2+-=，则()nn n n n nx x x n x f k 22/+--==切线()n nn n n n x x nx x x n y y l -+--=-2:2，又过()0,1-，得()n nn nn x nx x x n y --+--=-122（*）0222=+-n n n y nx x()()222221nn n n n x nx x x n y -+-=代入上式得：()()[]()()[]0121222=-+---++-n n n n n n n nx n x nx x x n x nx x即()()0122=-++-n n n n x n x nx x （a ）()()0122=-+--n n n n x n x nx x (b)解（a ）得：1+=∴n nx n . 2.2选择曲线的方程作为切入点既然知道曲线的方程，就应判断曲线的形状，从具体的图形入手解题.解法3：注意到曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==可化为222)(n y n x =+-，所以，它表示以)0,(n C n 为圆心，以n 为半径的圆，切线n l 的方程为0=+-n n k y x k .从直线与圆相切的角度出发，易得到：()n k k n k d n n n =-++⋅=221||，化简得22)12(n n k n =+，故1222+=n n k n，同理可得 1+=n nx n ． 利用圆心到直线的距离等于半径是求圆的切线的简单方法.2.3选择直线的斜率作为切入点 解法4：∵n n n P C l ⊥，∴1nn n y k x n⋅=--. ∵直线n l 与圆n C 相切于点(,)n n n P x y，∴d n ==，解得2221nn k n =+，注意到(1)n y k x =+，从而解得2211n n n n k nx k n -==++．． 利用过切点的半径与切线垂直转化为“线线垂直”. 2.4由平面几何中圆的切线切入以上两种解法其实质上是以数形结合为指导，将问题转化为“圆的切线”问题.而“圆的切线”这一概念又引发我们的数学联想---平面几何中“圆的切线”的有关问题.于是便有如下的解法：解法5：曲线222:()n C x n y n -+=是圆心为(,0)n ，半径为n 的圆，如图，在n n Rt PP C ∆中，(,)n n n P x y ，由射影定理得：22()(1)()(1)n n n n n n x n y n x x ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，解得1nn x n =+． 解法6：同上，由切割线定理可得：2||||||21n PP PO PA n ==+，又11||||||22n n n n n PC y PP P C ⋅=⋅，即(1)21n n y n +⋅+⋅，∴1n y n =+． 又222||(1)21n n n PP x y n =++=+，注意到0n x >，∴1n nx n =+．2.5由向量垂直切入这或许就是本题的“初等背景、本质和原形”.在发现“背景、本质和原形”的过程中，我们把“垂直”关系具体化了，而“垂直”又是一个基本概念，这又会引发我们的联想---向量也有垂直啊！ 解法7：向量法如图，()()n n n n n n n y n x P C y x PP ,,,1-=+=，则0=⋅⇔⊥n n n n n n P C PP P C PP ， 即()()012=+-+n n n y n x x ⑴又切线方程：()1+=x k y n ，将()n n n y x P ,代入得()1+=n n n x k y ⑵ 将⑵平方代入⑴的：()01222=++--+n n n n n x k n nx x x ⑶ 即()()02112222=+-+-++n n n n n k n x k n x k ⑷ 再将1222+=n n k n代入上式得： 01212211212222=++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n x n n n x n n n n 化简得 ()012=-++n x x n n n 易得1n nx n =+，或1-=n x （舍去） 在⑷中代入n k 要多次代入，能否使得代入简单些呢？该在何处代入n k 呢？i.若将1222+=n n k n代入⑶得()0112222=+++--+n n n n x n n n nx x x 整理得()012=-++n x x n n n ，比上面方法要简洁些.ii.若将⑴先变形为：()()()01122=++-+n n n n x k n x x 即()()[]011=++-+n n n n x k n x x()01=++-n n n x k n x 或01=+n x （舍去）若将1222+=n n k n代入得1n n x n =+ 通过解题分析，优化了解题过程.从问题中出现的每一个数学概念（曲线的方程、曲线的切线、直线的斜率）出发，联想与之接近的基础知识，辅助于数形结合的方法指导化归，就能解决问题.若再由解题过程中出现的数学概念（直线垂直）联想、自觉的进行数学分析，可在溯本求源中发现问题的本质. 3.对教学的引领作用（1）将数学概念设计在网络知识的交汇点是考查基础知识的鉴别和思维的灵活性，多背景的问题本身就提供多渠道切入，降低了解决问题的起点难度，解题教学中要有意识、有必要的多培养---捕捉概念入手解题的意识.（2）在高考数学命题指导思想坚持“注重数学本质、深化能力考查”的思路下，“豪华包装”的诸多创新题，一旦浮华散去，高考数学只剩下数学概念和方法。

因此在数学解题教学中，我们应有意识的培养学生的数学分析问题的能力---尤其是培养学生解开“虚伪的、豪华包装的”的问题的能力，而指导学生“捕捉问题中的数学概念、从概念切入探究，联想该概念的有关知识网络，结合模式识别法作自觉分析，借助于数形结合的方法进行有效组合、形成数学概念解题的方法”。

（3）现在的数学解题教学普遍流行“题目+解法”的题型教学模式，注重选题的典型性、解题教学的通法性、解题教学的一题多解，而忽视解题分析的切入（概念切入法），即“重结果而轻过程”、“重解而轻析”，导致解题教学的思维的起点高、与学生的认知水平断层，后果是“会这一题而不会这一类题”。

所以数学日常教学中应突出强化概念，在问题分析中应引导学生学会捕捉概念、在思路探求中应联想概念、在问题化归中多角度多形式（文字、符号、图形等）的运用概念、在问题解决中深化概念，在解题分析中形成概念解题的方法。

经年累月，让“概念解题”成为数学学习的一种理念、一种习惯、贯注于行动，培养概念解题的意识、形成概念解题的方法、养成概念解题的习惯，这样不仅仅是在教学中注重数学本质（数学概念和数学方法），要重要的是指导学生学会“数学的思维”解决数学问题！参考文献罗增儒中学数学解题的理论与实践广西教育出版社 2008.9彭海燕 2009普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）试题评析与教学启示。