炙手可热的平面向量
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直线 ｌ 与 椭 圆 有 两 个 不 同 的 交 点 Ｐ和 Ｑ 等 价 于
考虑 函数ｇ ｔ ｘ ） ＝ ３ ｘ ２ ｘ ， 由于ｇ ） 的图象是 对称 轴为 ， 开口向上的抛物线 ，故要使ｆ ３ ｘ 一 ２ （ 一 １ ， １ ）上恒成立
， ｇ （ － Ｄ ， 即ｔ ≥５
，
数量积、 夹角等公式等， 通过数形转化 ， 实现与三角的有机整 合， 来考查三角方面的知识和方法及综合解题能力。 例 ３ 设二 ＝ （ 口 ｌ ， 口 ２ ） ， ； ＝ ｏ ） 。 ， ｂ ２ ） ， 定 义 一种 向量 积 ： 二 ； ＝ （ ａ ｂ ，
即 ： 一 终 ） 一 鲁 ＋ ＝ ｏ ．
二 ∥ ， 上 等， 去掉向量这层外衣， 得到一个表达式． （ ２ ） 根
据表达式 的特点 ， 进行有效地转化 、 变形 、 化简． ３ ． 平面向量与解析几何 的交汇创新题
平面向量与解析几何的交汇题是最近几年高考的热点， 堪称交 汇题类 中的“ 黄金搭档 ” ， 该 类问题 主要 以数形转化 为 主线 ， 来考查平 面向量相关知识 ， 曲线 的方 程和性质 及综 合解 题能力． 例５ ． 在平面直角坐标系 ｘ Ｏ ｙ 中， 经过点 （ ０ ， 、 『 主 ） 且斜率 为 ｋ
若． ， （ ） 在（ 一 １ ， １ ） 上是增函数， 则在（ 一 １ ， １ ） 上恒有， ） ≥
Ｏ
。
代 入 椭 圆方 程 得 等＋ （ ｋ ｘ＋ ） ： ＝ １ ， 整 理 得
．
．
厂 ） ≥ ｏ §， ３ ｘ 一 ２ ｘ 在（ 一 １ ， １ ） 上恒成立
＋ ｋ ２ ） ＋ ２ 、 ｆ ｘ ＋ ｌ ＝ ０ ． ①
解得 ． ｋ ＝ 一 ， 与（ １ ） 中的 ｋ ｚ ＞ 相矛 盾 ， 所 以不存 在常数 ｋ 使 ＋ 与面垂直． ａ ２ １ ） ２ ） ． 已知点 Ｐ （ ｅ ， ｓ ｉ ｎ Ｏ ） ， （ ２ ， ， ； ＝ ， ０ ） 点 Ｑ在 ｙ － ｆ ｉ （ ｘ ） 的图象上 点评 ： 在讨论直线和 圆锥曲线的位置关系时 ， 先联立 方程 运动， 满足 ＝ ＋ ； ， （ 其 中 ０为坐标原 点） ， 则ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 的最 大 组 ， 再消去 ｘ （ 或ｙ ） ， 得到关于 ｙ （ 或ｘ ） 的方程 ， 如果 是直线与 圆 值 Ａ及最小正周期 Ｔ 分别为Ｏ 或椭圆， 则所得方程一定为一元二次方程； 如果是直线与双曲 Ａ． ２ ， 竹 Ｂ ． ２ ， ４ 竹 ｃ ， ４ 霄 Ｄ ， 订 线或抛物线 ，则需讨论二次项系数等 于零 和不等 于零两种情 分析： 首先进 行坐标运算 ， 再利用 数量积运算 列 出 ｆ （ ｘ ） 的 况 ， 只有二次方程才有判别式 ， 另外还应注意斜率不存在 的情 形． 解析式 。 平面 向量 与函数 、 三角 、 解 析几 何等多学科 有机 的融合 ， 解： 设面＝ （ ｘ ， ｙ ） ， 则有 ｘ ， ｙ ） ＝ （ ２ ０ ， 知 ｉ ｎ ｅ ） ＋ （ ； ， ｏ ） ＝ （ ２ ０ ＋ 雪 ， 注重了学科的内在联系和知识的综合， 全方位、 多角度、 多层 次考查基础知识 、 基本技能和基本思想方法及数学思维品质， 今后的试题将聚焦于多学科知识网络交汇点、 新颖灵活、 突出 ． ． ＝ 专 一 参 对数学能力的考查。 因此， 在复习中应有意识地把向量与其它 内容进行整合． 如向量与三角函数、 函数、 解析几何等 ， 特别是 ２ ｒ ｔ 平面向量与三角知识的融合交汇问题，在以后的高考中一定 ｙ 的 最 大 值 为 ｛ ， 最 小 ｉ Ｅ ｌ ￣Ｔ ＝ ＝ ４ １ Ｔ ． 会有所体现． 答案 ： Ｃ 点评： 解答向量与三角函数相结合问题的一般步骤： （ １ ） 利 用向量的各种运算法则， 常见的有
知单调性利用导数逆求参数 ｔ 的范围。
２ ． 平 面向量与 三角 的交汇创新题 平面 向量 与三角的交汇创新 题主要依 托平面 向量的模 、
ｘ ｌ ＋ ｘ ＝ — 肇ｌ ｙ ｌ ＋ ｙ ２ ＝ ｋ （ ｘ 。 ＋ ＝ 一 ＋ ．
．
’ ＋ Ｉ） 上
．
． （ ｘ ｌ ＋ ｘ ２ ） ・ （ － ） ＋ ｙ ｌ ＋ ｙ ２ ＝ Ｏ ，
Ａ ＝ ８ １ ｄ 一 ４ （ ｛ ＋ ） ＝ ４ 一 ２ ＞ ０ ， 解 得 ｋ ＜ 一 ｋ ．
而当ｔ ≥５ 时， 厂ｒ （ ） 在（ 一 ｌ ， １ ） 上满足，ｒ （ ） ＞ ０ ， 即． ， （ ） 在（ 一
ｌ ， １ ） 上是增 函数 故ｔ 的取值范围是 ｔ ≥５ 点评 ： 通过 向量数量积 的定义转化为三次 函数 ， 化归为 已
即 ｋ 的 取 值 范 围 为 【 一 一 ， 一 Ｊ ｕ 【 ， ＋ 。 。 】 ＿
（ ２ ） 由题意知 Ａ ， ｏ ） ， Ｂ （ Ｏ ， １ ） ， 则 ＝ （ ， １ ） ． Ｐ （ ｘ ｌ ， Ｙ １ ） ， Ｑ （ ｘ ２ ， ｙ ２ ） ， 贝 ４ ＋ ＝ （ ｘ １ ＋ ｘ ２ ， Ｙ Ｉ ＋ ｙ ２ ） ． 由方程①得 ，
的直线 ｌ 与椭圆ｘ ， ｙ ２ ＿ 一 １ 有两个不同的交点 Ｐ和 Ｑ ．
（ １ ） 求 ｋ的取值范围 ； （ ２ ） 设椭 圆与 Ｘ 轴正半 轴 、 Ｙ轴正半轴的交点分别 为 Ａ、 Ｂ， 是否存在常数 ｋ ， 使得向量 ＋ 面与否垂直？ 如果存在 ， 求ｋ 值； 如果不存在 ， 请说明理由． 分析 ： 解决 Ａ Ｏ 上Ｂ Ｏ ， 可以利用 向量 上的充要条件即 ． ＝ Ｏ ． 解： （ １ ） 由已知条件 ， 直线 ｌ 的方程为 ｙ ＝ ｋ ｘ ＋ ｑ ￣ ２ ，
理化 空间
对州
０ ６ ３ ０ ２ １
炙手可热的平 面向量
李 刚
河北省唐ห้องสมุดไป่ตู้市开平区第二十三 中学
平面向量是高中新课标 的重要 内容 ，具有代 数形 式和几 何形式的双重身份 ， 是 中学数学知识的一个重要交汇点 ， 常与 函数 、 三角 、 解析几何 等 内容交叉渗透 ， 使数 学问题 的情境 新 颖 别致 ， 自然流畅． ， 因此以平面 向量知识为载体 ， 以数形转 化 思想方法为主线 的交 汇创新题 已成 为试题命制 的热 点。以下 就以近年高考和模 拟题 中以向量为背景 的交 汇创新题 的类型 予 以归纳和剖析 ． １ ． 平面向量与函数的交汇创新题 平 面 向量与 函数 的交汇创新题 主要 以函数 知识为 背景 ， 以平 面向量 知识 为依托 ， 沟通与函数 的有机联 系 ， 着重考查 函 数 的性质及综合运用知识和方法解决问题的能力 。 例 １已知 向量 ａ ＝ （ ｘ ２ ， ｘ ＋ １ ） ， ｂ ＝ （ １ － ｘ ， ０ ， 若 函数 ． ） ： ａ ・ ｂ 在 区间（ 一 １ ， １ ） 上是 增函数 ， 求ｔ 的 取值范 围。 解： 依 定义ｆ （ ｘ ） ＝ （ １ － ） ＋ｆ （ ＋１ ） ：一 ｘ ’ ＋ ＋ｔ Ｘ ＋， ・ 则， ） ＝－ ３ ｘ 。 ＋ ２ ＋ ， ，
考虑 函数ｇ ｔ ｘ ） ＝ ３ ｘ ２ ｘ ， 由于ｇ ） 的图象是 对称 轴为 ， 开口向上的抛物线 ，故要使ｆ ３ ｘ 一 ２ （ 一 １ ， １ ）上恒成立
， ｇ （ － Ｄ ， 即ｔ ≥５
，
数量积、 夹角等公式等， 通过数形转化 ， 实现与三角的有机整 合， 来考查三角方面的知识和方法及综合解题能力。 例 ３ 设二 ＝ （ 口 ｌ ， 口 ２ ） ， ； ＝ ｏ ） 。 ， ｂ ２ ） ， 定 义 一种 向量 积 ： 二 ； ＝ （ ａ ｂ ，
即 ： 一 终 ） 一 鲁 ＋ ＝ ｏ ．
二 ∥ ， 上 等， 去掉向量这层外衣， 得到一个表达式． （ ２ ） 根
据表达式 的特点 ， 进行有效地转化 、 变形 、 化简． ３ ． 平面向量与解析几何 的交汇创新题
平面向量与解析几何的交汇题是最近几年高考的热点， 堪称交 汇题类 中的“ 黄金搭档 ” ， 该 类问题 主要 以数形转化 为 主线 ， 来考查平 面向量相关知识 ， 曲线 的方 程和性质 及综 合解 题能力． 例５ ． 在平面直角坐标系 ｘ Ｏ ｙ 中， 经过点 （ ０ ， 、 『 主 ） 且斜率 为 ｋ
若． ， （ ） 在（ 一 １ ， １ ） 上是增函数， 则在（ 一 １ ， １ ） 上恒有， ） ≥
Ｏ
。
代 入 椭 圆方 程 得 等＋ （ ｋ ｘ＋ ） ： ＝ １ ， 整 理 得
．
．
厂 ） ≥ ｏ §， ３ ｘ 一 ２ ｘ 在（ 一 １ ， １ ） 上恒成立
＋ ｋ ２ ） ＋ ２ 、 ｆ ｘ ＋ ｌ ＝ ０ ． ①
解得 ． ｋ ＝ 一 ， 与（ １ ） 中的 ｋ ｚ ＞ 相矛 盾 ， 所 以不存 在常数 ｋ 使 ＋ 与面垂直． ａ ２ １ ） ２ ） ． 已知点 Ｐ （ ｅ ， ｓ ｉ ｎ Ｏ ） ， （ ２ ， ， ； ＝ ， ０ ） 点 Ｑ在 ｙ － ｆ ｉ （ ｘ ） 的图象上 点评 ： 在讨论直线和 圆锥曲线的位置关系时 ， 先联立 方程 运动， 满足 ＝ ＋ ； ， （ 其 中 ０为坐标原 点） ， 则ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 的最 大 组 ， 再消去 ｘ （ 或ｙ ） ， 得到关于 ｙ （ 或ｘ ） 的方程 ， 如果 是直线与 圆 值 Ａ及最小正周期 Ｔ 分别为Ｏ 或椭圆， 则所得方程一定为一元二次方程； 如果是直线与双曲 Ａ． ２ ， 竹 Ｂ ． ２ ， ４ 竹 ｃ ， ４ 霄 Ｄ ， 订 线或抛物线 ，则需讨论二次项系数等 于零 和不等 于零两种情 分析： 首先进 行坐标运算 ， 再利用 数量积运算 列 出 ｆ （ ｘ ） 的 况 ， 只有二次方程才有判别式 ， 另外还应注意斜率不存在 的情 形． 解析式 。 平面 向量 与函数 、 三角 、 解 析几 何等多学科 有机 的融合 ， 解： 设面＝ （ ｘ ， ｙ ） ， 则有 ｘ ， ｙ ） ＝ （ ２ ０ ， 知 ｉ ｎ ｅ ） ＋ （ ； ， ｏ ） ＝ （ ２ ０ ＋ 雪 ， 注重了学科的内在联系和知识的综合， 全方位、 多角度、 多层 次考查基础知识 、 基本技能和基本思想方法及数学思维品质， 今后的试题将聚焦于多学科知识网络交汇点、 新颖灵活、 突出 ． ． ＝ 专 一 参 对数学能力的考查。 因此， 在复习中应有意识地把向量与其它 内容进行整合． 如向量与三角函数、 函数、 解析几何等 ， 特别是 ２ ｒ ｔ 平面向量与三角知识的融合交汇问题，在以后的高考中一定 ｙ 的 最 大 值 为 ｛ ， 最 小 ｉ Ｅ ｌ ￣Ｔ ＝ ＝ ４ １ Ｔ ． 会有所体现． 答案 ： Ｃ 点评： 解答向量与三角函数相结合问题的一般步骤： （ １ ） 利 用向量的各种运算法则， 常见的有
知单调性利用导数逆求参数 ｔ 的范围。
２ ． 平 面向量与 三角 的交汇创新题 平面 向量 与三角的交汇创新 题主要依 托平面 向量的模 、
ｘ ｌ ＋ ｘ ＝ — 肇ｌ ｙ ｌ ＋ ｙ ２ ＝ ｋ （ ｘ 。 ＋ ＝ 一 ＋ ．
．
’ ＋ Ｉ） 上
．
． （ ｘ ｌ ＋ ｘ ２ ） ・ （ － ） ＋ ｙ ｌ ＋ ｙ ２ ＝ Ｏ ，
Ａ ＝ ８ １ ｄ 一 ４ （ ｛ ＋ ） ＝ ４ 一 ２ ＞ ０ ， 解 得 ｋ ＜ 一 ｋ ．
而当ｔ ≥５ 时， 厂ｒ （ ） 在（ 一 ｌ ， １ ） 上满足，ｒ （ ） ＞ ０ ， 即． ， （ ） 在（ 一
ｌ ， １ ） 上是增 函数 故ｔ 的取值范围是 ｔ ≥５ 点评 ： 通过 向量数量积 的定义转化为三次 函数 ， 化归为 已
即 ｋ 的 取 值 范 围 为 【 一 一 ， 一 Ｊ ｕ 【 ， ＋ 。 。 】 ＿
（ ２ ） 由题意知 Ａ ， ｏ ） ， Ｂ （ Ｏ ， １ ） ， 则 ＝ （ ， １ ） ． Ｐ （ ｘ ｌ ， Ｙ １ ） ， Ｑ （ ｘ ２ ， ｙ ２ ） ， 贝 ４ ＋ ＝ （ ｘ １ ＋ ｘ ２ ， Ｙ Ｉ ＋ ｙ ２ ） ． 由方程①得 ，
的直线 ｌ 与椭圆ｘ ， ｙ ２ ＿ 一 １ 有两个不同的交点 Ｐ和 Ｑ ．
（ １ ） 求 ｋ的取值范围 ； （ ２ ） 设椭 圆与 Ｘ 轴正半 轴 、 Ｙ轴正半轴的交点分别 为 Ａ、 Ｂ， 是否存在常数 ｋ ， 使得向量 ＋ 面与否垂直？ 如果存在 ， 求ｋ 值； 如果不存在 ， 请说明理由． 分析 ： 解决 Ａ Ｏ 上Ｂ Ｏ ， 可以利用 向量 上的充要条件即 ． ＝ Ｏ ． 解： （ １ ） 由已知条件 ， 直线 ｌ 的方程为 ｙ ＝ ｋ ｘ ＋ ｑ ￣ ２ ，
理化 空间
对州
０ ６ ３ ０ ２ １
炙手可热的平 面向量
李 刚
河北省唐ห้องสมุดไป่ตู้市开平区第二十三 中学
平面向量是高中新课标 的重要 内容 ，具有代 数形 式和几 何形式的双重身份 ， 是 中学数学知识的一个重要交汇点 ， 常与 函数 、 三角 、 解析几何 等 内容交叉渗透 ， 使数 学问题 的情境 新 颖 别致 ， 自然流畅． ， 因此以平面 向量知识为载体 ， 以数形转 化 思想方法为主线 的交 汇创新题 已成 为试题命制 的热 点。以下 就以近年高考和模 拟题 中以向量为背景 的交 汇创新题 的类型 予 以归纳和剖析 ． １ ． 平面向量与函数的交汇创新题 平 面 向量与 函数 的交汇创新题 主要 以函数 知识为 背景 ， 以平 面向量 知识 为依托 ， 沟通与函数 的有机联 系 ， 着重考查 函 数 的性质及综合运用知识和方法解决问题的能力 。 例 １已知 向量 ａ ＝ （ ｘ ２ ， ｘ ＋ １ ） ， ｂ ＝ （ １ － ｘ ， ０ ， 若 函数 ． ） ： ａ ・ ｂ 在 区间（ 一 １ ， １ ） 上是 增函数 ， 求ｔ 的 取值范 围。 解： 依 定义ｆ （ ｘ ） ＝ （ １ － ） ＋ｆ （ ＋１ ） ：一 ｘ ’ ＋ ＋ｔ Ｘ ＋， ・ 则， ） ＝－ ３ ｘ 。 ＋ ２ ＋ ， ，