海南中学九年级数学上册第四单元《圆》测试题(答案解析)

一、选择题
1．在ABC 中，90,4,3C AC BC ∠=︒==，把它绕AC 旋转一周得一几何体，该几何体的表面积为（ ）
A ．24π
B ．21π
C ．16.8π
D ．36π
2．下列说法不正确的是（ ）
A ．不在同一直线上的三点确定一个圆
B ．90°的圆周角所对的弦是直径
C ．平分弦的直径垂直于这条弦
D ．等弧所对的圆周角相等
3．下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）圆内接四边形的对角互补．其中正确的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB ＝54°，则∠ABO 的度数是（ ）
A ．54°
B ．30°
C ．36°
D ．60° 5．在平面直角坐标系中，以点()3,4-为圆心，半径为5作圆，则原点一定（ ） A ．与圆相切 B ．在圆外 C ．在圆上 D ．在圆内 6．已知△ABC 的外心为O ，连结BO ，若∠OBA=18°，则∠C 的度数为（ ）
A ．60°
B ．68°
C ．70°
D ．72°
7．给出下列说法：①圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径；②三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；③经过三个点一定可以画一个圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．正确的有（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
8．下列说法正确的有（ ）
①垂直平分弦的直线经过圆心；②平分弦的直径一定垂直于弦；③相等的圆周角所对的弧相等；④等弧所对的弦相等；⑤等弦所对的弧相等
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒ ，3AB = ，A ，B 的半径分别为2和1，
P ，E ，F 分别是CD 边、A 和B 上的动点，则PE PF +的最小值是（ ）
A ．333-
B ．2
C ．3
D ．33
10．如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN=30°，点B 为劣弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．2
D ．22 11．如图，在△ABC 中，
（1）作AB 和BC 的垂直平分线交于点O ；
（2）以点O 为圆心，OA 长为半径作圆；
（3）⊙O 分别与AB 和BC 的垂直平分线交于点M ，N ；
（4）连接AM ，AN ，CM ，其中AN 与CM 交于点P ．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论：
①BC ＝2NC ；②AB ＝2AM ；③点P 是△ABC 的内心；④∠MON ＋2∠MPN ＝360°． 其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 12．在扇形中，∠AOB =90°，面积为4πcm 2，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的
底面半径为 ( )
A ．1cm
B ．2cm
C ．3n
D ．4cm 二、填空题
13．如图，矩形ABCD 和正方形BEFG 中2AB =，3AD =，1BE =，正方形BEFG 绕点B 旋转过程中，线段DF 的最小值为______．
14．在直径为10cm 的⊙O 中，弦AB=5cm ，则∠AOB 的度数为_______．
15．边长为2的正方形ABCD 的外接圆半径是____________．
16．如图，已知BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，58AOB ∠=，B 是弧AC 的中点，则BDC ∠的度数为___________．
17．如图，已知点,,A B C 在O 上，若50ACB ∠=，则
AOB ∠=_____________________度．
18．在平面直角坐标系xOy 中，A （5，6），B （5，2），C （3，0），△ABC 的外接圆的圆心坐标为____．
19．如图，四边形ABCD 内接于O ，若76A ∠=︒，则C ∠=_______ °．
20．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1cm的的圆心P在射线OA上，且与点O的距离为6cm，以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 _____．
三、解答题
21．如图，在⊙O中，C是AB的中点，∠ACB=∠AOB．求证：四边形OACB是菱形．
22．如图所示，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于点D．若AB ＝10，AC＝6，求BC、BD的长．
23．已知，AB是O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把AOP沿OP对折，点A的对应点C怡好落在O上．
（1）当P 、C 都在AB 上方时（如图1），判断PO 与BC 的位置关系是______； （2）当P 在AB 上方而C 在AB 下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论：
（3）当P 、C 都在AB 上方时（如图3），过C 点作CD ⊥直线AP 于D ，且CD 是O 的切线，证明：4AB PD =．
24．在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题．
尺规作图：过圆外一点作圆的切线．
已知：P 为O 外一点．
求作：经过点P 的O 的切线． 小敏的作法如下：
①连接OP ，作线段OP 的垂直平分线MN 交OP 于点C ；
②以点C 为圆心，CO 的长为半径作圆，交O 于,A B 两点； ③作直线,PA PB ．所以直线,PA PB 就是所求作的切线．
根据小敏设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：由作图可知点,A B 在以C 为圆心，CO 为半径的圆上， OAP OBP ∴∠=∠= ︒．（ ）（填推理的依据）
,PA OA PB OB ∴⊥⊥
,OA OB 为O 的半径
∴直线,PA PB 是O 的切线，（ ）（填推理的依据）
25．如图，长方形ABCD 的长是a ，宽是b ，分别以A 、C 为圆心作扇形，用代数式表示阴影部分的周长L 和面积S （结果中保留π）．
26．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，分别交AC 、AB 的延长线于点E ，F ．
（1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）若AC ＝6，CE ＝2，求CB 的长．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
以直线AC 为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是圆锥的侧面积加底面积，根据圆锥的侧面积公式计算即可．
【详解】
解：根据题意得：圆锥的底面周长6π=， 所以圆锥的侧面积165152
ππ=⨯⨯=， 圆锥的底面积239ππ=⨯=，
所以以直线AC 为轴旋转一周所得到的几何体的表面积15924πππ=+=．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式．
2．C
解析：C
【分析】
根据确定圆的条件对A进行判断；根据垂径定理的推论对C进行判断；根据圆周角定理及其推论对B、D进行判断．
【详解】
解：A.不在同一直线上的三点确定一个圆，说法正确；
B. 90°的圆周角所对的弦是直径，说法正确；
C. 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；
D. 等弧所对的圆周角相等，说法正确；
故选：C
【点睛】
此题主要考查了圆的相关知识的掌握．解答此题的关键是要熟悉课本中的性质定理．3．B
解析：B
【分析】
根据确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质一一判断即可．
【详解】
解：（1）任意三点确定一个圆；错误，应该是不在同一直线上的三点可以确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；正确；
（3）平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，直径与直径互相平分，但不一定互相垂直；
（4）相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；
（5）圆内接四边形对角互补；正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．C
解析：C
【分析】
根据圆周角定理求出∠AOB，根据等腰三角形的性质求出∠ABO=∠BAO，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】
解：∵∠ACB＝54°，
∴圆心角∠AOB＝2∠ACB＝108°，
∵OB＝OA，
∴∠ABO＝∠BAO＝1
（180°﹣∠AOB）＝36°，
2
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，能求出圆心角∠AOB的度数是解此题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
设点（-3，4）为点P，原点为点O，先计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法求解．
【详解】
解：∵设点（-3，4）为点P，原点为点O，
∴OP＝22
＝5，
34
而⊙P的半径为5，
∴OP等于圆的半径，
∴点O在⊙P上．
故选：C．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
6．D
解析：D
【分析】
连接OA，则OA=OB，可得∠OBA=∠OAB，再结合∠OBA=18°即可求得∠AOB=144°，再根据圆周角的性质即可求得∠C=72°．
【详解】
解：如图，连接OA，
∵点O为ABC的外心，
∴OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB，
又∵∠OBA=18°，
∴∠OAB=∠OBA=18°，
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=144°，
∠AOB=72°，
∴∠C=1
2
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的外心，圆周角定理，熟练掌握相关定义及性质是解决本题的关键．7．C
解析：C
【分析】
根据对称轴是一条直线，即可判断①；根据外心的性质即可判断②；利用确定圆的条件即可判断③；根据弦不是直径时，平分弦的直径才垂直于弦，即可判断④；根据垂径定理的推论，即可判断⑤．
【详解】
∵圆是轴对称图形，直径所在直线是它的对称轴，∴①错误；
∵三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，∴②正确；
∵经过不在同一直线上的三点确定一个圆，∴③错误；
∵平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，∴④错误；
∵垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，∴⑤正确；
综上，正确的是②⑤，共2个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂径定理及其推论，三角形的外接圆与外心等知识点的应用，正确把握相关定义是解题关键．
8．B
解析：B
【分析】
根据垂径定理及其推论即可判定①正确，②错误；根据弧、弦、圆周角之间的关系可知③⑤错误，④正确．
【详解】
解：①根据垂径定理的推论可知，垂直平分弦的直线经过圆心；故本选项正确；
②直径是最长的弦，任意两条直径互相平分，但不一定互相垂直，故被平分弦不能是直径；故本选项错误；
③在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故本选项错误；
④相等的弧所对的弦一定相等，故本选项正确；
⑤∵在一个圆中一条弦所对的弧有两条，∴等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是垂径定理及其推论、圆周角、弧、弦的关系，解题的关键是正确理解各知识点．
9．C
解析：C
【分析】
的最小值，进而求解即可．利用菱形的性质及相切两圆的性质得出P与D重合时PE PF
【详解】
解：作点A关于直线CD的对称点A´，连接BD，DA´，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，
∵∠BDC=∠ADB=60°，
∴∠ADN =60°，
∴∠A´DN=60°，
∴∠ADB+∠ADA´=180°，
∴A´，D，B在一条直线上，
+最小，
由此可得：当点P和点D重合，E点在AD上，F点在BD上，此时PE PF
∵在菱形ABCD中，∠A=60°，
∴AB=AD，
则△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=AD=3，
∵⊙A，⊙B的半径分别为2和1，
∴PE=1，DF=2，
+的最小值为3．
∴PE PF
故选C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，点与圆的位置关系等知识．根据题意得出点P位置是解题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
过B作关于直线MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，如图，由轴对称的性质可知AB′即为PA+PB的最小值，由同弧所对的圆心角和圆周角的性质可知∠AON＝2∠AMN＝
2×30°＝60°，由对称的性质可知∠B′ON＝∠BON＝30°，即可求出∠AOB′的度数，再由等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】
解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，如图，
则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点P，且PA+PB的最小值＝AB′，∵∠AMN＝30°，OA=OM，
∴∠AON＝2∠AMN＝2×30°＝60°，
∵点B为劣弧AN的中点，
∴∠BON＝1
2∠AON＝1
2
×60°＝30°，
由对称性可得∠B′ON＝∠BON＝30°，
∴∠AOB′＝∠AON+∠B′ON＝60°+30°＝90°，
∴△AOB′是等腰直角三角形，
∴AB′＝2OA＝2×1＝2，
即PA+PB的最小值＝2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，解答此题的关键是根据题意作出辅助线、构造出直角三角形，利用勾股定理求解．
11．C
解析：C
【分析】
利用垂径定理可对①②进行判断；利用圆周角定理可得到CM、AN为角平分线，则利用
三角形内心的定义可对③进行判断；根据P是△ABC的内心得出∠APC=90°+1
2
∠B，进而
得出∠MON+∠B=180°，再代入求解即可．
【详解】
解：作BC的垂直平分线，则ON平分BC，则BC＝2NC，所以①正确；
作AB的垂直平分线，则OM平分AB，则AB＝2AM，2AM＞AB，所以②错误；∵M点为AB的中点，∴∠ACM=∠BCM，
∵点N为BC的中点，∴∠BAN=∠CAN，
故P点为△ABC的内心，所以③正确；
∵∠APC=180°-∠PAC-∠PCA=180°-1
2∠BAC-1
2
∠BCA=180°-1
2
(∠BAC+∠BCA)=180°-
12(180°-∠B)=90°+12
∠B ， ∴2∠MPN=2∠APC=180°+∠B ，
又OM ⊥AB ，ON ⊥BC ，∴∠MON+∠B=180°，
∴∠MON+2∠MPN=∠MON+180°+∠B=180°+180°=360°，故④正确，
∴正确的结论有3个，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了垂径定理、圆周角定理、三角形内心及外心的性质、线段的垂直平分线的尺规作图等，熟练掌握各图形的性质及尺规作图步骤是解决本题的关键．
12．A
解析：A
【分析】
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而要先求扇形的弧长，根据扇形的面积公式2
360
n R S π=，可以求出扇形的半径，就可以求出弧长． 【详解】 解：根据扇形的面积公式2360n R S π=得到：2
904360
R ππ=； ∴R=4，则弧长9042180
cm ππ⋅=
=， 设圆锥的底面半径为r ，则2π=2πr ；
∴r=1cm ．
故选：A ．
【点睛】 本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：
（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；
（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
二、填空题
13．【分析】由勾股定理可求BD=BF=由题意可得点F 在以点B 为圆心BF 为半径的圆上则当点F 在线段DB 上时DF 的值最小即可求解【详解】解：连接BDBF ∵矩形∴∠C=90°∴∵正方形∴∴点F 在以点B 为圆心B
【分析】
由勾股定理可求，由题意可得点F 在以点B 为圆心，BF 为半径的圆
上，则当点F 在线段DB 上时，DF 的值最小，即可求解．
【详解】
解：连接BD 、BF
∵矩形ABCD ，2AB =，3AD =，
∴∠C=90° ∴222313BD =+=
∵正方形BEFG ，1BE =
∴22112=+=BF
∴点F 在以点B 为圆心，BF 为半径的圆上，
∴当点F 在线段DB 上时，DF 的值最小，
∴DF 的最小值132【点睛】
此题主要考查了旋转的性质以及勾股定理的运用，正确的判断出DF 最小时F 点的位置是解答此题的关键．
14．60°【分析】如图连接OAOB 根据等边三角形的性质求出∠AOB 的度数【详解】解：如图在⊙O 中直径为10cm 弦
AB=5cm ∴OA=OB=5cm ∴OA=OB=AB ∴△OAB 是等边三角形∴∠AOB=60° 解析：60°
【分析】
如图，连接OA 、OB ，根据等边三角形的性质，求出∠AOB 的度数.
【详解】
解：如图，在⊙O 中，直径为10cm ，弦AB=5cm ，
∴OA=OB=5cm ，，
∴OA=OB=AB
∴△OAB 是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
故答案为：60°．
【点睛】
考查了圆的性质以及等边三角形的性质，熟练掌握运算性质定理是解题的关键. 15．【分析】如图：连接ACBD交于点O即为正方形ABCD外接圆的圆心根据正方形的性质可得OA=OC∠AOC＝90°根据勾股定理可得OA和OC的值即为为正方形ABCD外接圆的半径【详解】解：如图：连接AC
解析：2
【分析】
如图：连接AC、BD交于点O，即为正方形ABCD外接圆的圆心，根据正方形的性质可得OA=OC，∠AOC＝90°，根据勾股定理可得OA和OC的值，即为为正方形ABCD外接圆的半径．
【详解】
解：如图：连接AC、BD交于点O，即为正方形ABCD外接圆的圆心，
∴OA、OB、OC、OD为正方形ABCD外接圆的半径
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，∠AOC＝90°
在Rt△AOC中，AC2＝OA2＋OC2，
∵AC＝2，OA=OC，
∴4＝2 OA2，
∴OA＝2
即正方形ABCD外接圆的半径为2
故答案为2
【点睛】
本题考查正方形外接圆的有关知识，利用到正方形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学知识．
16．29°【分析】先由是弧的中点可得再根据圆周角定理可得结果【详解】解：连接OC∵是弧的中点∴∴∠BOC=∠AOB=58°∴∠BDC==29°故答案为29°【点睛】本题考查了圆周角定理掌握圆周角定理是解
解析：29°
【分析】
先由B是弧AC的中点，可得AB BC
=，再根据圆周角定理可得结果．
【详解】
解：连接OC，
∵B是弧AC的中点，
∴AB BC
=．
∴∠BOC=∠AOB=58°
∴∠BDC=158
⨯︒=29°．
2
故答案为29°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
17．【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论【详解】解：∵∠ACB与
∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角∠ACB=50°∴∠AOB=100°故答案是：100°【点睛】本题考查的是圆周角定理熟知在同圆或等圆中
解析：100
【分析】
直接根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】
解：∵∠ACB与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，∠ACB=50°，
∴∠AOB=100°．
故答案是：100°．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
18．(14)【分析】如图作AB和BC的垂直平分线它们的交点为△ABC的外接圆的圆心然后直接读出△ABC的外接圆的圆心坐标【详解】解：如图所示：点P 即为所求；所以点P的坐标为（14）故答案为（14）【点睛
解析：(1，4)
【分析】
如图，作AB和BC的垂直平分线，它们的交点为△ABC的外接圆的圆心，然后直接读出
△ABC的外接圆的圆心坐标．
【详解】
解：如图所示：点P即为所求；
所以点P的坐标为（1,4）．
故答案为（1,4）．
【点睛】
本题主要考查了三角形的外接圆与外心，掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点是解答本题的关键．
19．104【分析】根据圆内接四边形的对角互补列式计算即可【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠A+∠C＝180°∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣76°＝104°故答案为：104【点睛】本题考查的是
解析：104
【分析】
根据圆内接四边形的对角互补列式计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠A
＝180°﹣76°
＝104°，
故答案为：104．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．20．4秒或8秒【分析】⊙P与CD相切应有两种情况一种是在射线OA上另一种在射线OB上设对应的圆的圆心分别在MN两点当P在M点时根据切线的性质在直角△OME中根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半即可求
解析：4秒或8秒
【分析】
⊙P与CD相切应有两种情况，一种是在射线OA上，另一种在射线OB上，设对应的圆的
圆心分别在M，N两点．当P在M点时，根据切线的性质，在直角△OME中，根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得OM的长，进而求得PM的长，从而求得由P到M移动的时间；根据ON=OM，即可求得PN，也可以求得求得由P到M移动的时间．【详解】
①当⊙P在射线OA上，设⊙P于CD相切于点E，P移动到M时，连接ME．
∵⊙P与直线CD相切，
∴∠OEM=90°，
∵在直角△OPM中，ME=1cm，∠AOC=30°，
∴OM=2ME=2cm，
则PM=OP-OM=6-2=4cm，
∵⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，
∴⊙P移动4秒时与直线CD相切；
②当⊙P的圆移动到直线CD的右侧，同理可求ON=2
则PN=6+2=8cm．
∴⊙P移动8秒时与直线CD相切．
故答案为：4秒或8秒．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质，注意已知圆的切线时，常用的辅助线是连接圆心与切点，本题中注意到分两种情况讨论是解题的关键．
三、解答题
21．见解析
【分析】
如图，连接OC ．欲证明四边形OACB 是菱形，只需推知====AC BC OC OA OB 即可．
【详解】
证明：如图，连接OC ． C 是AB 的中点，
∴AC BC =，
AC BC ∴=，
在AOC ∆和BOC ∆中，
AC BC OA OB OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
()AOC BOC SSS ∴∆≅∆．
12
ACO BCO ACB ∴∠=∠=∠，12
AOC BOC AOB ∠=∠=∠． 又ACB AOB ∠=∠．
ACO BCO AOC BOC ∴∠=∠=∠=∠．
AC BC OC OA OB ∴====，
∴四边形OACB 是菱形．
【点睛】
此题考查了圆周角定理，菱形的判定，以及圆心角、弧、弦间的关系，难度不大． 22．BC ＝8，BD ＝52
【详解】
解：连接BD ，如图，
∵AB 是直径，
∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝6，
∴BC8，即BC＝8；
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠DCA＝∠BCD，
∴AD BD
=，
∴AD＝BD，
∴在Rt△ABD中，AD＝BD
AB×10＝，即BD＝．
【点睛】
本题考查了勾股定理，圆周角定理，解题的关键是求出∠ACB=∠ADB=90°．
23．（1）平行；（2）PO∥BC，理由见详解；（3）见详解．
【分析】
（1）由折叠的性质可得∠AOP=∠POC，则有∠AOC=2∠B，进而可得∠AOP=∠B，则问题可得；
（2）由题意及折叠的性质可得∠APO=∠CPO，∠A=∠APO，则有∠A=∠PCB=∠CPO，进而问题可证；
（3）由题意易得AD∥OC，则有∠APO=∠POC，由∠AOP=∠POC可得∠APO=∠AOP，进而可得△AOP是等边三角形，然后可得四边形AOCP是菱形，∠A=∠DPC=60°，最后根据含30°角的直角三角形的性质可求证．
【详解】
解：（1）由折叠的性质可得∠AOP=∠POC，
∵OC=OB，
∴∠B=∠OCB，
∴∠AOC=2∠B，
∴∠AOP=∠B，
∴PO∥BC，
故答案为平行；
（2）PO∥BC，理由如下：
由折叠的性质可得∠APO=∠CPO，
∵OA=OP，
∴∠A=∠APO，
∴∠A=∠CPO，
∵∠A=∠PCB，
∴∠PCB=∠CPO，
∴PO∥BC；
（3）证明：∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵CD⊥AP，
∴AP ∥OC ，
∴∠APO=∠POC ，
∵∠AOP=∠POC ，
∴∠APO=∠AOP ，
∴AP=AO=OP ，
∴△AOP 是等边三角形，
∴∠A=60°，AP=AO=OC=PC ，
∴四边形AOCP 是菱形，
∴∠DPC=∠A=60°，
∴∠DCP=30°，
∴2PC PD =，即2AO PD =，
∵AB=2AO ，
∴4AB PD =．
【点睛】
本题主要考查切线的性质定理及含30°角的直角三角形的性质、菱形的性质与判定，熟练掌握切线的性质定理及含30°角的直角三角形的性质、菱形的性质与判定是解题的关键． 24．（1）见解析；（2）90；直径所对的圆周角是直角；经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线.
【分析】
（1）根据题意画图即可；
（2）分别利用圆周角定理以及切线的判定方法得出答案.
【详解】
（1）如图
（2）如图，连接OA ，OB 后，
由作图可知点,A B 在以C 为圆心，CO 为半径的圆上，
OAP OBP ∴∠=∠=90︒．（直径所对的圆周角是直角）
,PA OA PB OB ∴⊥⊥
,OA OB 为O 的半径
∴直线,PA PB 是O 的切线，（经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线）
【点睛】
此题主要考查了切线的判定以及圆周角定理，正确把握切线的判定方法是解题关键.
25．22L b a b π=+-；212S ab b π=-.
【分析】 由已知图知，阴影部分的周长是
()12πb 22
a b ⨯+-； 阴影部分的面积为，长方形的面积减去两个14
圆的面积(半圆的面积)． 【详解】 阴影部分的周长()122222
L b a b b a b ππ=⨯+-=+-； 阴影部分的面积221=1242S ab b ab b ππ=-⨯
-. 【点睛】
此题考查的是列代数式，用到的知识点是半圆的周长和面积的计算方法．
26．（1）见解析；（2）8
【分析】
（1）连接OD 交BC 于H ，证出OD ∥AE ，得出OD ⊥EF ，即可得出结论；
（2）证四边形CEDH 是矩形，得HD ＝CE ＝2，由三角形中位线定理得OH ＝
12
AC ＝3，则OB ＝OD ＝OH ＋HD ＝5，得AB ＝2OB ＝10，由勾股定理即可得出答案．
【详解】
（1）证明：连接OD 交BC 于H ，如图所示：
∵OA ＝OD ，
∴∠OAD ＝∠ODA ，
∵AD 平分∠BAC ，
∴∠OAD ＝∠DAC ，
∴∠ODA ＝∠DAC ，
∴OD ∥AE ，
∵DE ⊥AC ，
∴OD ⊥EF ，
∵OD 是⊙O 的半径，
∴EF 是⊙O 的切线；
（2）解：∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠HCE＝90°，
又∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
由（1）得：OD⊥EF，
∴∠HDE＝90°，
∴四边形CEDH是矩形，
∴HD＝CE＝2，
∴∠CHD＝90°，
∴∠OHB＝90°，
∴OD⊥BC，
∴OH平分BC，
∴OH是△ABC的中位线，
∴OH＝1
AC＝3，
2
∴OB＝OD＝OH+HD＝5，
∴AB＝2OB＝10，
∴CB
2
-＝8．
AC
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、垂径定理、三角形中位线定理、矩形的判定与性质、勾股定理等知识；解题的关键是掌握切线的判定与性质和圆周角定理．。