2017-2018学年高一数学人教A版必修4课件：3-1-1 两角

2 5 5 10 5 2 5 5
.
∴cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β
×
10 10
10
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二已知三角函数式(值)求值
【例 2】 已知 sin α= ,α 是第二象限角,cos β= ,β 是第四象限 角,求 cos(α-β)的值. 分析:分别求出cos α,sin β的值,利用C(α-β)求得
3 5
4 5
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:∵sin α= ,α 是第二象限的角 ,
2 1
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1 化简sin (x+y)sin (x-y)+cos (x+y)· cos (x-y)的结果是 ( ) A.sin 2x B.cos 2y C.-cos 2x D.-cos 2y
解析:由两角差的余弦公式得,原式=cos [(x+y)-(x-y)]=cos 2y.
π 4
= ,且 <α< ,
5 4 4
4
π
3π
∴ 2 <α+ 4 <π. ∴cos ������ + 4 =- 1∴cos α=cos
=cos ������ + =- ×
5 3 2 2 π 4 4 5 π 4 2 5 π 4
π
π
=- .
5
3
������ +
π 4
-
π 4 π 4
cos +sin ������ +
5
3
∴cos α=- 14 5
3 2 5
=- .
5
4
又 cos β= ,β 是第四象限的角 ,
∴sin β=- 1-
4 2 5
=- .
5
3
∴cos(α-β)= cos αcos β+sin αsin β
=- × + × 5 5 5 4 4 3 3 5
=- =-1.
25
25
探究一
探究二
探究三
思维辨析
答案:(1)× (2)× (3)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一利用两角差的余弦公式求值 【例1】 求值:(1)cos 13������; 12 (2)sin 460°sin(-160°)+cos 560°cos(-280°). 分析:解答本题可利用诱导公式转化为两角差的余弦的形式求解.
探究一
第三章
三角恒等变换
3.1
两角和与差的正弦、余弦和正切 公式
3.1.1
两角差的余弦公式
学 习 目 标 1.理解利用向量的数量积推 导出两角差的余弦公式,进一 步体会向量方法的作用. 2.掌握两角差的余弦公式及 其应用. 3.体会公式运用中的一般与 特殊的关系与转化 .
思 维 脉 络
两角差的余弦公式 (1)cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β. (2)此公式简记作C(α-β). (3)使用条件:α,β都是任意角.
π 4
= ,且 <α< ,求 cos α 的值.
5 4 4
4
π
3π
分析:先根据 sin ������ + α= ������ +
π 4 π 4
π 4
= 求出 cos ������ +
5
4
π 4
的值,再根据
− 构造两角差的余弦 ,求出 cos α 的值.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:∵sin ������ +
10 10
,∴sin β=
3 10 10
.
∴cos (α- β)=cos αcos β+sin αsin β
=
2 5 5
×
10 10 π
+
5 5
×
3 10 10
=
2 2
.
∴α-β= 4 .
答案:
π 4
探究一
探究二
探究三
思维辨析
错因分析:错解的原因是忽略了角的范围,误认为 α-β 是 锐角. 正解:∵α 为锐角,sin α= 5 ,∴cos α= 又 β 为锐角,cos β= =
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)cos =-cos
13π 12
=cos π + =-cos
π 6 π 4 π 4
π 12
=-cos
π 12
3π 2π 12 π 4
-
12
-
π 6 π 6
=- cos cos + sin sin =2 2
×
3 2
+
2 2
×
1 2
=-
6+ 2 4
.
(2)原式 =-sin 100°sin 160°+ cos 200° cos 280° =-sin 100°sin 20°- cos 20° cos 80° =-(cos 80° cos 20°+sin 80° sin 20°) =-cos 60°=- .
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 2 已知 cos α= ,α∈ 0,
5
4
π 2
,sin β= ,β∈
13
5
π 2
,π ,则 cos
(α-β)等于(
A.
33 65
)
B.33 65
C.
63 65
D.-
63 65
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:由 cos α= ,α∈ 0,
5
4
π 2
,得 sin α= ,
5 12 13 4
3
又由 sin β= ,β∈
13
5
π 2
,π ,得 cos β=- .
12 3 5 33
∴cos (α- β)=cos αcos β+sin αsin β= 5 × - 13 + 5 × 13=-65.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究三应用角的变换求值
【例 3】已知 sin ������ +
2 2
sin
π 4
+ ×
=
2 10
.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
已知三角函数值求角时,忽略角的范围致误
典例已知α,β均为锐角,且sin α = ,cos β=
5 5 10 10
,则 α- β=
.
错解:∵α 为锐角,sin α= ,∴ cos α=
5
5
2 5 5
.
又 β 为锐角 ,cos β=
做一做1 cos 15°= Nhomakorabea.
解析:cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°· sin
30°= 答案:
6+ 2 4
2 2
×
3 2
+
2 2
× =
2
1
6+ 2 4
.
做一做2 cos 50°cos 20°+sin 50°sin 20°的值为(
)
3
A.
1 2
B.
1 3
C.
3 2
D.
3
解析:由两角差的余弦公式得,原式=cos(50°-20°)=cos 30°
= .
2
3
答案:C
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打“×”. (1)cos(α-β)=cos α-cos β.( ) (2)cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β.( ) (3)若α,β为两个锐角,则cos(α-β)<cos αcos β.( )