例谈感应电动势的计算

例谈感应电动势的计算
电路中感应电动势的大小跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比：t
E ∆∆Φ
= ，若电路有n 匝线圈，则t
n E ∆∆Φ
=。

此为法拉第电磁感应定律。

有关感应电动势的计算依上面的定律可分为以下几种类型。

一、磁通变化问题
t
E ∆∆Φ
=
表示的是在时间t ∆内的平均感应电动势，而瞬时感应电动势要取t ∆趋近于0时的极限值。

由于BS =Φ，因此t n E ∆∆Φ=可变形为t B nS E ∆∆=和t
S
nB E ∆∆=。

前者表示感应电动势与
磁场的变化率成正比，后者表示感应电动势与导体磁通面积的变化率成正比。

例1、如图1所示，长L=10 cm 的金属棒ab 在磁感应强度B=2T 的匀强磁场中以a 端为轴，在垂直于磁场方向的平面内以角速度ω= 10 rad ／s 顺时针方向做匀速转动，则ab 两端的电势差是＿V 。

解析：
用定义式t
E ∆∆Φ
=
求解。

解法一：在Δt 时间内，棒ab 转过的角度t ∆=∆ωθ，扫过的面积：
t L S ∆=
∆2
2
1ω 相应的磁通量变化量为t B L S B ∆=
∆=∆Φ2
2
1ω则 ： )(1.02
21.0102122V B L t E =⨯⨯==∆∆Φ=ω。

解法二：本题中金属棒ab 转动时棒上各点速度不同，因此其感应电动势也可用表达式V BL E =求解。

导体ab 以a 端为轴做切割磁感线运动时，b 端速度L v b ω=，a 端速度0=a v 。

其它各点的速度与该点到a 点的距离成正比。

a 、b 两点速度的平均值： L L v v v b a ωω2
1
202=+=+=
所以导体ab 的感应电动势为： )(1.0101.022
1
2122V BL V BL E =⨯⨯⨯==
=ω [点评] 平均感应电动势是由磁通量的变化率决定，当磁通量的变化率为恒量时它的结果才等于
瞬时感应电动势。

因此平均感应电动势的计算一般要用“平均量”表示。

例2、如图2，空间中存在垂直于纸面的匀强磁场，在半径为a 的圆形区域内外磁场方向相反，磁感应强度的大小都为B ，一半径b ，电阻为R 的圆形其圆心与圆形区域的中心重合，当内外磁场同时由B 均匀减小到零的过程中，通过导线截面的电荷量是多少？
解析：
在电磁感应现象中，只要穿过闭合电路的磁通量发生变化，闭合电路中就一定会产生感应电流，
图1
设在时间t ∆内，通过导线截面的电量为q ，则根据电流定义t
q
I =
及法拉第地磁感应定律: t
B
nS
t n
E ∆∆=∆∆Φ=得 R B
nS
t t R n t R E T I q ∆=∆⋅∆∆Φ=∆=∆⋅= (n 为线圈匝数，∆Φ为磁通量的变化量，R 为闭合电路的总电阻) 。

则由题意知，)2(221a b B -=Φπ，)0(,02==ΦB
22122a b B -=Φ-Φ=∆Φ∴π
又由R n q ∆Φ
=
得：R
a b B q 2
22-=π。

[点评]解这类问题的关键是找出磁通量的变化量∆Φ（∆Φ应取绝对值，大小由B ∆影响）。

本结果R
n q ∆Φ
=
可作为计算电荷量的重要结论在相关问题中直接使用。

二、导体旋转切割问题
1）、孤立的导体棒在匀强磁场中旋转而切割磁感线时由例1的解析我们得到了一个重要结论：
B L t E 2
2
1ω=∆∆Φ=。

用它我们可以方便的处理类似于如例1的许多问题，但是实际上大多数问题我们还必须根据具体情况用法拉第电磁感应定律的定义式求解。

2）、平面线圈在匀强磁场中旋转切割磁感线而产生电动势θωcos nBS E =。

0=θ时
ωnBS E =max 。

例3、如图3，矩形线圈由n=50匝导线组成，ab 边长I 1=0.4m,bc 边长I 2=0.2m,整个线圈R=2Ω，在B=0.1T 的匀强磁场中，以两短边中点的连线为轴转动，ω=50rad/s ，求： （1）、线圈从图(a)位置转过180○的过程中的平均电动势。

（2）、线圈从图(b)位置转过180○的过程中的平均电动势。

（3）、线圈从图(b)位置起转过30○的过程中的瞬时电动势。

解析： （1）、（a ）图，线圈转过180○的过程中，穿过线圈的磁通量的方向发生了变化。

若初态的磁通
(a)
v
(c)
图
3
(b)
图2
量为01>=ΦBS ，则末态的磁通量02<-=ΦBS 。

故：
V n t
n
E 7.1250
2)2.04.0(1.05012-=⨯⨯⨯⨯-=Φ-Φ=∆∆Φ=πωπ
（2）、（b ）图，初态磁通量01=Φ，转过180○后，末态磁通量02=Φ，所以
01
2=∆Φ-Φ=∆∆Φ=t
n t n
E （3）、（b ）图，线圈转过30○时，ab 边和cd 边的切线速度与B 的夹角为30○（150○）,计算时要将其分解为沿磁场方向的分量x E 和垂直于磁场方向的分量y E 。

见（c ）图。

则ab 边和cd 边产生的电动势都为 30cos 2
2
1L L nB E x ω=。

由于ab 边和cd 边是串联的，所以： V nBS E E x 3.172
3
)2.04.0(501.05030cos 2=⨯
⨯⨯⨯⨯=== ω总 [点评]本题要注意电动势的平均值和瞬时值的计算公式是不同的。

解（3）时要能从空间图形截取出侧面图像，这样便于理解题意和计算。

三、导体平移切割问题
当磁感应强度B ，直导线L ，导线运动速度v 三者相互垂直或v 与B 有任意夹角θ时，
θsin BLv E =。

例4、如图4，导体框MN 和导体棒ab 均由同种材料及导线制成，且接触良好。

线框处在感应强度为B 的匀强磁场中。

线框平面与磁感线垂直。

(1)、导体棒ab 沿导体框从O 点开始向右以速度v 匀速运动时导体棒与框构成的闭合回路abc 中感应电动势随时间变化的函数关系?
(2)、导体棒沿导体框向右运动时回路中的感应电流随时间怎样变化? 解析：
(1) 本题要求瞬时电动势与时间的关系。

设从O 点开始经t 秒时，回路中导体棒的有效切割长度为:
θtg vt L bc ⋅=，由v BL E bc =得t tg Bv E ⋅=θ2
(2) 右移时，回路的总长度在变化：
θ
θcos vt
tg vt vt L +⋅+=总
回路的总电阻也在变化：S
tg vt S L R )cos 1
1(ϑθρρ++=
=总
总
所以回路中的电流强度：)cos 11(θ
θρθ
++=
=
tg Bvstg R E I 总，即I 与时间无关，是恒量。

N
图4
[点评]本题的(2)中，要注意闭合回路的总长度也是随时间变化的，不能只由电动势的变化判断电流与时间的关系。

例5:如图5所示，粗细均匀的电阻为r 的金属环放在磁场强度为B 的垂直环面的匀强磁场中。

圆环直径为d ，长为d ，电阻为
2
r
的金属棒ab 在中点处与环相切，使ab 始终以垂直于棒的速度向左运动，当到达圆环直径位置时，ab 棒两端的电势差大小是多少？
解析：
产生感应电动势的那部分导体相当于电源，要看作内电路，导体的电阻即为内电阻。

当到达圆环直径位置时，等效电路如图6。

则r
Bdv
r r Bdv R E I 342
4=
+==
总 ab 间的电势差为路端电压ab U 。

3
4r 34U
ab Bdv
r Bdv =
⋅=
∴ [点评] 解这类问题的关键是要将产生感应电动势的那部分导体看作电源，分清内外电路。

四、学科内综合问题
电磁感应问题与物体的运动、能量的转化、电路计算等有着非常紧密的联系。

因此近几年高考中，理综学科内综合涉及电磁感应的几率是比较大的。

例6、如图7，匀强磁场B=0.2T ，金属棒ab 垂直在相互平行的金属导轨MN ，PQ 上向右匀速切割磁感线运动，速度s m v /5=。

导轨间距L=40cm ，磁场方向垂直轨道平面，电阻R=0.5Ω，其余电阻不计，试求：（1）感应电流的大小。

（2）使金属棒匀速运动所需的力。

（3）感应电流的功率。

（4）拉力的功率。

解析： （1）由闭合电路的欧姆定律得，回路中感应电流的大小为：
A R BLv R E I 8.05
.054.02.0=⨯⨯===
（2）当金属棒匀速运动时：
N BIL F F 064.04.08.02.0=⨯⨯===安拉，方向向右。

（3）感应电流的功率：W EI P 32.08.04.0=⨯==
b a v 图5 2
,
r E 2
r
2
r 图6
v
R M N Q
图7
P
a b
（4）拉力的功率：W v F P 32.05064.0=⨯==拉拉
小结：有关感应电动势的计算变化多端，形式各异，涉及面广。

但万变不离其宗，如果我们能准确把握问题本身，抓住“题眼”，紧紧围绕法拉第电磁感应定律去做，则定会“攻无不克，战无不胜”。