解析几何离心率(教师版)

解析几何小练习〔以离心率为主〕
1．假设直线1x y
a b
+=通过点(cos sin )M αα，
，则〔 〕 A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．2211
1a b
+≤
D ．
22
11
1a b +≥ 【答案】D
【解析】方法1：由题意知直线
1x y
a b
+=与圆221x y +=有交点，则22
2
2111
111a b a b
++≤1,
≥. 方法2：设向量11(cos ,sin ),(,)a b ααm =n =，由题意知
cos sin 1a b
αα
+= 由⋅≤m n m n 可得22cos sin 1
1a b a b
αα=
++≤1 2．如图，AB 是平面a 的斜线段．．．，A 为斜足，假设点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是( )
〔A 〕圆 〔B 〕椭圆 〔C 〕一条直线 〔D 〕两条平行直线 【答案】B 【解析】本小题其实就是一个平面斜截一个圆柱外表的问题。

考虑到三角形面积为定值，底边一定，从而P 到直线AB 的距离为定值，假设忽略平面的限制，则P 轨迹类似为一以AB 为轴心的圆柱面，加上后者平面的交集，轨迹为椭圆！
还可以采取排除法，直线是不可能的，在无穷远处，点到直线的距离为无穷大，故面积也为无穷大，从而排除C 与D ，又题目在斜线段下标注重点符号，从而改成垂直来处理，轨迹则为圆，故剩下椭圆为答案！
3．如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(122
22 b a b
r a x =-的两个焦点，A 和B 是以O
为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为 〔A 〕3
〔B 〕5
〔C 〕
2
5
〔D 〕31+
【答案】D
【解析】如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(122
22 b a b
r a x =-的两个焦点，A 和B 是
以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，连接AF 1，∠AF 2F 1=30°，|AF 1|=c ，|AF 2|=3c ，∴ 2(31)a c =-，双曲线的离心率为31+，选D 。

4．已知抛物线2
:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且
2AK AF =，则AFK ∆的面积为()
〔Ａ〕4 〔Ｂ〕8 〔Ｃ〕16 〔Ｄ〕32
【答案】B 【解析】
∵抛物线2
:8C y x =的焦点为()20F ，，准线为2x =- ∴()20K -，
设()00A x y ，，过A 点向准线作垂线AB ，则()02B y -， ∵2AK =
，又()0022AF AB x x ==--=+
∴由2
2
2
BK AK AB =-得()2
2002y x =+，即()2
0082x x =+，解得()24A ±， ∴AFK ∆的面积为
011
44822
KF y ⋅=⨯⨯= 故选B 【点评】此题重点考察抛物线的第二定义，抛物线中与焦点，准线有关三角形问题； 【点评】由题意准确化出图象，利用离心率转化位置，在ABK ∆中集中条件求出0x 是关键；
5．椭圆
1222
2=+b
y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，假设212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )
A.
122
2=+y x B. 13222=+y x C.12222=+y x D.13
22
2=+y x 【答案】A
【解析】由 212F F MN ≤可得c c a 2222⋅≤ 所以2122≥a
c 即21
2≥e 可见e 的最小值为
2
2
. 又11222222=-=-=∴=c a b a
6．直线l 过双曲线22
22b
y a x -=1的右焦点,斜率k=2,假设l 与双曲线的两个交点分别在双
曲线左、右两支上,则双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A.e>
2 B.1<e<
3 C.1<e<5
D.e>5 【答案】D 【解析】如图,
a
b
>2,即b 2>4a 2,∴c 2-a 2>4a 2.∴e>5.
7．：已知双曲线)0,0(12
2
22>>=-b a b
y a x 的左顶点、右焦点分别为A 、F ，点B 〔0，b 〕，
BF BA BF BA -=+，则该双曲线离心率e 的值为〔 〕 A ．2
13+ B ．215+ C ．2
15- D ．2
【答案】：B
【解析】：
考点：双曲线的简单性质．
BF BA BF BA -=+，判断三角形ABF 的关系，利用三角形的关系，得到a ，b ，c 的关系，结合双曲线a ，b ，c 关系求出双曲线的离心率即可．
解：因为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左顶点、右焦点分别为A 、F ，点B 〔0，b 〕，
BF BA BF BA -=+，所以AB ⊥BF ，三角形ABF 是直角三角形，
所以|AB|2+|BF|2=|AF|2
．
即：c 2+b 2+c 2=〔a+c 〕2
． ∵b 2=c 2-a 2
．
∴3c 2-a 2=〔a+c 〕2
． ∴c 2-a 2
-ac=0， e 2
-e-1=0， 解得：e=
51
2
+．e=152-〔舍去〕．
故答案为：B ．
8．设21,e e 分别为具有公共焦点21F F 与的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足22
21211
1,0e e PF PF +=⋅则
的值为
A ．2
B ．
23 C ．4 D ．2
5 【答案】A
9．已知双曲线22
221x y a b -=〔a ＞0，b ＞0〕的一条渐近线为y kx =(0)k >，离心率
5e k =，则双曲线方程为
〔A 〕22x a －2
24y a =1
(B)22
2215x y a a -=
(C)22
2214x y b b
-=
(D)22
2215x y b b
-=
【答案】C
【解析】5c e k a ==，22
25b
k a c
k a a b c ⎧=⎪⎪
⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩
， 所以224a b =。

10．椭圆22a x +22b
y =1(a>b>0)的离心率e=21
,左焦点为F,A 、B 、C 为其三个顶点,直线CF
与AB 交于D,则tan ∠BDC 的值等于( )
3
3 C.
53 5
3 【答案】A 【解析】∵e=
a c =2
1
, ∴a=2c,b=3c.
∴直线AB 的方程为
c x 2-+c
y 3=1,k AB =23,同理,k FC =-3.
∴tan ∠BDC=
AB
FC AB
FC k k k k •+-1=
2
3123
3---=33.
11．椭圆的一个焦点和短轴的两个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为( ) A.
1
2 B.32
C.
3
3
【答案】B 【解析】如图,
c
a
=cos30°3.
12．已知椭圆22153x y +=，双曲线22
153x y -=和抛物线24y x =的离心率分别为123,,e e e ，则〔 〕
A. 123e e e >
B. 123e e e =
C. 123e e e <
D. 123e e e ≥ 【答案】C
【解析】试题分析：椭圆
22153
x y +=的离心率110
e =；双曲线22
153
x y -=的离心率2105e =
；抛物线2
4y x =的离心率31e =；122101041555
e e =
=<∴
123e e e <。

考点：圆锥曲线的离心率。

点评：椭圆和双曲线的离心率都是c e a
=
2
22c a b =-；双曲线中222c a b =+。

13．双曲线()0,012222>>=-b a b
y a x 的离心率是2，则a b 31
2+的最小值为 〔 〕
A 、
332 B 、3
3
C 、2
D 、1 【答案】A
【解析】双曲线的离心率为2，所以有4122
2
=+=a
b e ，所以223a b =，所以
a a a
b 31
33122+=+ ≥+
=a
a 31
332，故选A 14．假设双曲线)0,0(,122
22>>=-b a b
y a x 的离心率为e ，过双曲线的右焦点且斜率为
22-e
的直线与双曲线的两个交点分别在第三、四象限，则离心率e 的取值范围是〔 〕
A ．351<
<e B ．3
50<<e C ．1>e D ．3
5
>
e 【答案】A.
【解析】如下图，交点在第三、四象限，则满足22
2022(22)b b e e a a <-<⇒-<，即
225
484113
e e e e -+<-⇒<<，因此选A.
15．如图，在等腰梯形SBCD 中，AB ∥CD,且AB=2AD ，设,(0,
)2
DAB π
θθ∠=∈,以A,B
为焦点且过点D 的双曲线离心率为1e ，以C,D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则〔 〕
θ角的增大，1e 增大，12e e 为定值
B. 随着θ角的增大，1e 减小，12e e 为定值
C. 随着θ角的增大，1e 增大，12e e 也增大
D ．随着θ角的增大，1e 减小，12e e 也减小【答案】B
【解析】该试题考查的知识点主要有：椭圆、双曲线及其离心率的定义，平面几何和三角函数的简单知识，函数的单调性.
思路分析：首先以角θ为参变量，根据椭圆和双曲线的离心率定义，结合平面几何的简单知识，把1e 和2e 都表示为θ的函数.其次，根据有关函数单调性的知识〔特别是复合函数的单调性知识〕判别函数1e 的单调性.最后，通过计算，观察12e e 是否是常数函数，以确定12e e 是否为定值,如果12e e 不为常数函数，还要继续考查12e e 的单调性. 具体解答过程：由题可知：双曲线离心率1||
||||
AB e DB DA =
-与椭圆离心率
2||
.||||
CD e BD BC =
+
设||||AD BC t ==则||2AB t =，||22cos CD t t θ=-，||54cos BD θ=-
154cos 1e θ=
--，254cos 1e θ=-+
当0,
2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，θ增大，cos θ减小，导致1e 减小. 12154cos 154cos 1
e e θθ⋅=
=---+. 故选B.
试题点评：从以上解题过程可以看出，该题的综合性是比较强的，要完整地做出这道题，需要考生把相关的知识点有机地结合起来，并进行适当的运算.该题属于中等难度的题.
16．曲线
()6161022<=-+-a a y a x 与曲线()951952
2<<=-+-b b
y b x 有 〔A 〕相同的焦距 〔B 〕相同的离心率 〔C 〕相同的焦点 〔D 〕相同的准线
【答案】A
【解析】：由
()6161022<=-+-a a y a x 知这是焦点在x 轴上的椭圆，由22
159x y b b +=-- ()59b <<得()951592
2<<=---b b x b y ，即这是焦点在y 轴上的双曲线，故排除B 、C 、
D ，选择A 。

17．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，假
设双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F a
PF F c
=，则该双曲线的离心率的取值范围
是 。

【答案】(11)
【解析】解法1：因为在12PF F ∆中，由正弦定理得
21
1221
sin sin PF PF PF F PF F =，
则由已知，得
1211
a c PF PF =，即12aPF cPF =，且知点P 在双曲线的右支上， 设点00(,)x y 由焦点半径公式，得1020,PF a ex PF ex a =+=-，则
00()()a a ex c ex a +=-，
解得0()(1)()(1)a c a a e x e c a e e ++=
=--，由双曲线的几何性质知0(1)
(1)
a e x a a e e +>>-则
，整理得 2210,e e --<解
得11(1,)e e <<∈+∞，又，故椭圆的离心
率1)e ∈。

解法2 由解析1知12c
PF PF a
=
由双曲线的定义知 2
12222222c a PF PF a PF PF a PF a c a -=-==-则即，由椭圆的几何性质知
2
2222,,20,a PF c a c a c ac a c a >->---<-则既所以2210,e e --<以下同解析1。

18． 设F 1，F 2是椭圆C ：22
221x y a b
+=(0)a b >>的两个焦点，假设在C 上存在一点P,
使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为_____________.
1 【解析】
试题分析：因为PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，所以PF 1
=12sin60F F ︒，PF 2=12sin 30F F c ︒=，又PF 1+PF 2=2a ，所以
c +
，c a =
1. 考点：椭圆方程和性质.
19．过抛物线2
2y px =(0)p >焦点F 的弦AB ，过,A B 两点分别作其准线的垂线
,AM BN ，垂足分别为,M N ， AB 倾斜角为α，假设1122(,),(,)A x y B x y ，则
①2
124
p x x =；22
1p y y -=．②||1cos p AF α=
-，||1cos p
BF α
=+
③
||||2||||AF BF AF BF p +=•， ④||AB =122
2,sin p
x x p α
++= ⑤0FM FN = 其中结论正确的序号为 【答案】①②③④⑤ 【解析】
试题分析：抛物线焦点(
,0)2
p
F ，直线AB 斜率为tan k α=，则直线AB 方程为()2p y k x =-，代入抛物线方程并整理得22222
(2)04k p k x p k x -++=，有韦达定理可得21222
(2)2p k p x x p k k
++==+，2124p x x =，所以224
1212()4y y p x x p ==，由题意可知12,y y 异号，所以22
1p y y -=，故①正确；
由抛物线的定义知cos ,cos AF p AF BF p BF αα=+=-,整理可得
||1cos p AF α=
-，||1cos p
BF α=+，
故②正确；
由
抛
物
线
的
定
义
知
12,22
p p
AF x BF x =+
=+，
1212()()()22p p AB AF BF x x x x p =+=+++=++=21
2(1)
p k
+212(1)tan p α=+22sin p
α
=
，故④正确； 由②④可知222sin 1cos 1cos p AF BF AB p p AF BF AF BF p ααα
+===••-+，故③正确； 由抛物线定义知AM AF =,AM AF =,所以,AMF AFM BNF NFB ∠=∠∠=∠,设抛物线准线与x 轴交点为E ，则平行可得,AMF MFE BNF NFE ∠=∠∠=∠。

所以
90MFE NFE ∠+∠=，即90MFN ∠=,所以MF NF ⊥,所以0FM FN =，故⑤
正确。

考点：抛物线定义，及直线与抛物线的位置关系
20．已知抛物线2
4(0)y px p =>与椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>有相同的焦点F ，点A
是两曲线的交点，且AF x ⊥轴，则椭圆的离心率为 .
1 【解析】
试题分析：依题意，抛物线2
4(0)y px p =>的焦点(,0)F p ，也是椭圆
2222
1(0)x y a b a b +=>>222
a b p =+.点A 是两曲线的交点，且AF x ⊥轴，则点A 横
坐标为p ，代入抛物线方程得(,2)A p p 或(,2)A p p -，将其代入椭圆方程中得
222
241p p a b
+=，又222
a b p =+.所以2222
241p p a a p +=-，而椭圆的离心率22
2
p p e e a a
=⇒=.所以
2
2222222222222
2
44411p p p p e a e a p a a p a e a +=+=+=---，
得23e =±.又因为椭圆离心率范围为(0,1)
，所以2231)e =-=
，即1e =.
考点：椭圆与抛物线的几何性质
21．抛物线x y 82
=的焦点为F ，点),(y x 为该抛物线上的动点，，又已知点)0,2(-A ，
则
|
||
|PF PA 的取值范围是 . 【答案】]2,1[ 【解析】
试题分析：由抛物线的定义可得
2||+=x PF ，又
x x y x PA 8)2()2(||222++=++=，
4
48128)2(||||2
2+++=+++=∴x x x
x x x PF PA ， 当0=x 时，
1||||=PF PA ；当0≠x 时，448
14481||||2+++=+++=∴x
x x x x PF PA ，
44
24=⋅≥+
x
x x x ，当且仅当x x 4=即2=x 时取等号，于是844≥++x x ，
第 11 页 共 13 页 ∴1448≤++x
x ，∴]2,1(4481∈+++x x ， 综上所述|
|||PF PA 的取值范围是]2,1[. 考点：抛物线的定义、最值问题，基本不等式.
22．P 为抛物线24y x =上任意一点，P 在y 轴上的射影为Q ，点M 〔4，5〕，则PQ 与PM
长度之和的最小值为 ．
1
【解析】
试题分析：设点P 到准线1x =-的距离为d ，则PQ PM +=d 1PM +-，由抛物线定义d PF =，故只需PF +PM 最小，其最小值为M,F
所以PQ PM +
1.
考点：1、抛物线定义和标准方程；2、平面内两点之间的距离.
23．已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>
的离心率e =A,B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A,B 的一点，直线PA,PB 倾斜角分别为,αβ，则cos()=cos +αβαβ-（）
【答案】35
. 【解析】 试题分析:由e =
2a b =.让P 取在短轴的顶点上则11tan ,tan 22αβ==-.又因为cos()=cos +αβαβ-（）cos cos sin sin 1tan tan cos cos sin sin 1tan tan αβαβαβαβαβαβ++=--=35
.此题采用特值法使得解题简单.由于点是动点所以不用特值法很难解.这也是数学选择天空题中的常用的一种有效的方法.
第12页 共13页
考点：1.椭圆的离心率.2.三角函数的运算.3.特值法的使用.
24．已知双曲线22
21(0)9x y b b
-=>，过其右焦点F 作圆922=+y x 的两条切线，切点记作,C D ，双曲线的右顶点为E ，150CED ∠=，则双曲线的离心率为 .
23 【解析】 试题分析：∵0150CED ∠=，∴075CEO ∠=，而∵OC OE =，∴0
75OCE ∠=，∴015ECF ∠=，
∴075ECF CFE CEO ∠+∠=∠=，∴060CFE ∠=，在Rt COF ∆中，3OC a ==，OF c =，03sin 60a c ==，即23c e a ==. 考点：1.平面几何中角度的换算；2.双曲线的离心率.
25．已知双曲线122=-y x ,点F 1,F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，假设1PF ⊥
2PF 则
∣1PF ∣+∣2PF ∣的值为___________________.
【答案】3【解析】
试题分析：由条件知：2c =而1a b ==，221212||||8||||2
PF PF PF PF ⎧+=⎨-=⎩，∴12||||2PF PF =， ∴222121212(||||)||||2||||8412PF PF PF PF PF PF +=++=+=，∴12||||23PF PF +=
考点：1.焦点三角形问题；2.双曲线的定义.
26．已知椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,21c F c F -（,假设椭圆上存在点P 使1
221sin sin F PF c F PF a ∠=∠,则该椭圆的离心率的取值范围为___ 【答案】21,1)．
【解析】
试题分析：要求离心率的取值范围，要求我们能找到一个关于离心率或,,a b c 的不等关
第 13 页 共 13 页 系，我们从唯一的已知等式1221sin sin F PF c F PF a ∠=∠入手，在12PF F ∆中有2
11221sin sin PF PF PF F PF F =∠∠，因此有
21PF PF a c =，12,PF PF 是椭圆上的点到焦点的距离，于是想到焦半径公式，设00(,)P x y ，则10PF a ex =+，20PF a ex =-，从而有00a ex a ex a c +-=0a c a x a c e
-⇒=⋅+.根据题意，0a x a -<<，因此不等关系就是a c a a a a c e --<⋅<+，即11111e e e
--<⋅<+，解得21e >-，又椭圆中1e <，故211e -<<.
考点：正弦定理，椭圆的离心率，焦半径公式.
27．已知点1F 、2F 分别是双曲线22
221x y a b
-=的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，假设2ABF ∆为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是____________.
【答案】()
1,12+
【解析】
试题分析：根据题意，作图像如下：
由已知得()1,0F c -，将它代入双曲线方程可得，2b y a =±，所以2
1b AF a =，因为2ABF ∆是锐角三角形，所以290AF B ︒∠<，则2145AF F ︒
∠<，在12AF F ∆中，2121F AF AF F ∠>∠，所以211F F AF >，即2
2b c a
>，由222b c a =-化简得，2220c ac a --<，不等式两边都除以2a 得，2210e e --<，又1e >，解得112e <<+。