初中数学中考专题复习之圆专题03 圆周角定理

专题03 圆周角定理
圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

这一定理叫做圆周角定理。

该定理反映的是圆周角与圆心角的关系。

1．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧上一点（不与A、B重合），则c o sC的值为（）
A．B．C．D．
解析：作直径AD，连接BD，
∴∠ABD＝90°，AD＝2×5＝10，
∴在Rt△ABD中，BD＝＝8，
∴c o sD＝＝＝，
∵∠C＝∠D，∴c o sC＝．选C．
2．如图所示，AB是⊙O直径，∠D＝35°，则∠BOC等于（）
A．70°B．110°C．35°D．145°
解析：∵∠D＝35°，∴∠AOC＝2∠D＝2×35°＝70°，
∠BOC＝180°﹣70°＝110°．
选B．
3．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠CDA＝25°，则∠AOB的度数为（）
A．12.5°B．25°C．37.5°D．50°
解析：∵在⊙O中，OA⊥BC，
∴＝，
∵∠CDA＝25°，
∴∠AOB＝2∠CDA＝50°．
选D．
4．如图，△ABC内接于圆，AD是高，AE为圆的直径，AB＝4，AC＝3，AD＝2，则直径AE的长为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：连接BE，
∵AE是直径
∴∠ABE＝∠ADC＝90°
∵∠E＝∠C
∴△ABE∽△ADC,∴＝
∵AB＝4，AC＝3，AD＝2，
∴
解得：AE＝6，
选B．
5．如图所示，已知四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，∠BCD＝120°，则∠B0D＝（）
A．100°B．120°C．130°D．150°
解析：∵∠BCD＝120°，
∴∠BAD＝180°﹣∠BCD＝60°，
∴∠BOD＝2BCD＝120°．
选B．
6．如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若∠ABC＝50°，则∠BDC＝（）
A．50°B．45°C．40°D．30°
解析：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
又∵∠ABC＝50°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝40°，
∴∠BDC＝∠BAC＝40°．
选C．
7．如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连接CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CD＝DE；③△ODE∽△ADO；④2CD2
＝CE•AB．正确结论的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解析：①∵AB是半圆直径，∴AO＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD＝∠DAO＝∠CAB，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，∴①正确．②作ON⊥CD，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD＝×45°＝22.5°，∴∠COD＝45°，
∵AB是半圆直径，∴OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝67.5°，∠AEO＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠DCE＝∠CED＝67.5°，∴CD＝DE，∴②正确．
③∵在△ODE和△ADO中，只有∠ADO＝∠EDO，
∵∠COD＝2∠CAD＝2∠OAD，
∴∠DEO≠∠DAO，
∴不能证明△ODE和△ADO相似，∴③错误；
④∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD＝×45°＝22.5°，∴∠COD＝45°，
∵AB是半圆直径，∴OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝67.5°
∵∠CAD＝∠ADO＝22.5°（已证），
∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ADO＝67.5°﹣22.5°＝45°，
∴△CED∽△COD，∴＝，
∴CD2＝OD•CE＝AB•CE，∴2CD2＝CE•AB．∴④正确．
综上所述，只有①②④正确．
选C．
8．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，经过点C且与边AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F，则线段EF长度的最小值是（）
A．2.4 B．2 C．2.5 D．
解析：结合题意得，AB2＝AC2+BC2，∴△ABC为RT△，即∠C＝90°，可知EF为圆的直径，
设圆与AB的切点为D，连接CD，
当CD⊥AB，即CD是圆的直径的时候，EF长度最小，
则EF的最小值是＝2.4．选A．
9．如图所示，AB是⊙O的直径，AD＝DE，AE与BD交于点C，则图中与∠DEA相等的角有（）
A．2个B．3个C．4个D．5 个
解析：∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠AED，
∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，
∵∠B＝∠AED，∴∠DEA＝∠DAE＝∠ODB＝∠B，
∴图中与∠DEA相等的角有3个，选B．
10．如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，∠BAC的平分线交⊙O于D，∠ABC＝40°，那么∠ABD＝（）
A．45°B．55°C．65°D．75°
解析：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝∠D＝90°，
∵∠ABC＝40°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝50°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BA＝25°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝65°．
选C．
11．如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E，弦CF⊥AD于H交AB于G，下列结论：①BE＝EG，②DF+HF＝CH，③，其中正确结论的个数有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
解析：连接DG、BC，如图
∵CD⊥AB，CF⊥AD，
∴∠GED＝∠GHD＝90°，
∴∠4＝∠ADE，
而∠5＝∠ADE，
∴∠5＝∠4，
∴CB＝CG，即△CBG为等腰三角形，
而CE⊥GB，
∴BE＝GE，所以①正确；
∵CD⊥AB，
∴BC弧＝BD弧，CE＝DE，
∴BD＝BC，
∵CE为等腰三角形CBG的底边上的高，
∴∠1＝∠ECB，∴DF弧＝DB弧，
∴DB＝DF，
∴CG＝CB＝BD＝DF，
∵AB垂直平分CD，
∴GC＝GD，
∴DG＝DF，
而CF⊥AD，∴HF＝HG，
∴DF+HF＝CG+GH＝CH，所以②正确；
∵CD⊥AB，
∴＝，
∴+＝+＝+2，
∵BC＝BD＝DF，
∴＝＝，即＝2，
∴，所以③正确．
选D．
12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是直径，AD是高交⊙O于F，连接BE、
CF，下列结论正确的有几个？（）
①BE＝CF；②AB•AC＝AD•AE；③AD•DF＝BD•CD；④AD2+BD2+FD2+CD2＝AE2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
解析：∵AE是直径，∴∠ABE＝90°，
∵AD是高，∴∠ADC＝90°，
∵∠E＝∠ACB，
∴△ABE∽△ADC，
∴∠BAE＝∠CAF，AB：AD＝AE：AC，
∴＝，AB•AC＝AD•AE；
∴BE＝CF，
故①②正确；
∵∠ABC＝∠AFC，∠BAF＝∠BCF，
∴△ABD∽△CFD，
∴AD：CD＝BD：DF，
∴AD•DF＝BD•CD；
故③正确；
∵在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，
在Rt△CDF中，FD2+CD2＝CF2，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
∵BE＝CF，
∴AD2+BD2+FD2+CD2＝AE2．
故④正确．
选D．
13．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为弧AD上一点，若∠BOC＝70°，则∠BED的度数为°．
解析：∵直径AB⊥CD，∴B是的中点；∴∠BED＝∠BOC＝35°；
14．如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠C＝15°，则∠BOC的度数为．
解析：结合图形，∠BOC＝2∠A，
又△OAC为等腰三角形，即∠A＝∠C，
所以∠BOC＝2∠A＝2∠C＝30°
15．如图，在⊙O中，所对的∠AOB的度数为m，C是上一点，D、E是上不同的两点（不与A、B两点重合），则∠D+∠E的度数为．
解析：∵+＝，所对的∠AOB的度数为m，所对的圆周角是∠ADC，所对的圆周角是∠CEB，
∴∠ADC+∠CEB＝（360°﹣∠AOB），∴∠D+∠E＝180°﹣．
16．如右图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则s i n∠APB等于．
解析：∵四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，∴∠AOB＝90°，∴∠APB＝∠AOB＝45°，∴s i n∠APB＝s i n45°＝．
17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝2AC，以AB为直径作⊙O，交于BC 点D，点E为⊙O上的另外一点，那么tan∠AED＝．
解析：如图，连接AD．
∵AB是直径，∠BAC＝90°，∴AC是⊙O的切线，∴∠AED＝∠ACD＝∠B．
又∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，
∴△ACD∽△BAD，
∴＝＝，
∴tan∠CAD＝＝．
18．如图，AB是⊙O的直径，＝，∠COD＝60°．
（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
（2）求证：OC∥BD．
解析：（1）△AOC是等边三角形
证明：∵＝，
∴∠1＝∠COD＝60°
∵OA＝OC（⊙O的半径），
∴△AOC是等边三角形
（2）证法一：∵＝，
∴OC⊥AD
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即BD⊥AD
∴OC∥BD
证法二：∵＝
∴∠1＝∠COD＝∠AOD
又∠B＝∠AOD
∴∠1＝∠B
∴OC∥BD
19．已知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交
⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD．（1）求证：∠DAC＝∠DBA；
（2）求证：P是线段AF的中点；
（3）若⊙O的半径为5，AF＝，求tan∠ABF的值．
（1）证明：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC＝∠CBD，∴∠DAC＝∠DBA；
（2）证明：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，
∵DE⊥AB于E，∴∠DEB＝90°，
∴∠ADE+∠EDB＝∠ABD+∠EDB＝90°，
∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP，
∴PD＝PA，
∵∠DFA+∠DAC＝∠ADE+∠PDF＝90°，且∠ADB＝90°，∴∠PDF＝∠PFD，∴PD＝PF，∴PA＝PF，
即：P是AF的中点；
（3）解析：∵∠DAF＝∠DBA，∠ADB＝∠FDA＝90°，
∴△FDA∽△ADB，∴＝，
由题意可知圆的半径为5，∴AB＝10，
∴＝＝＝，
∴在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝，
即：tan∠ABF＝．
20．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心，AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连接AE、AD、DC．
（1）求证：D是的中点；
（2）求证：∠DAO＝∠B+∠BAD；
（3）若，且AC＝4，求CF的长．
（1）证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥BC
∵OD∥BC，∴AE⊥OD，∴D是的中点；
（2）证明：
方法一：如图，延长OD交AB于G，则OG∥BC，∴∠AGD＝∠B，
∵∠ADO＝∠BAD+∠AGD，
又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠DAO＝∠B+∠BAD；
方法二：如图，延长AD交BC于H，则∠ADO＝∠AHC，
∵∠AHC＝∠B+∠BAD，∴∠ADO＝∠B+∠BAD，
又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠B+∠BAD；
（3）解析：∵AO＝OC，∴S△OCD＝S△ACD，又∵，∴，
∵∠ACD＝∠FCE，∠ADC＝∠FEC＝90°，∴△ACD∽△FCE，∴，即：，
∴CF＝2．
21．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）填空：∠APC＝度，∠BPC＝度；
（2）求证：△ACM≌△BCP；
（3）若PA＝1，PB＝2，求梯形PBCM的面积．
（1）解析：∠APC＝60°，∠BPC＝60°；
（2）证明：∵CM∥BP，∴∠BPM+∠M＝180°，∠PCM＝∠BPC，
∵∠BPC＝∠BAC＝60°，∴∠PCM＝∠BPC＝60°，
∴∠M＝180°﹣∠BPM＝180°﹣（∠APC+∠BPC）＝180°﹣120°＝60°，∴∠M＝∠BPC ＝60°，
又∵A、P、B、C四点共圆，∴∠PAC+∠PBC＝180°，
∵∠MAC+∠PAC＝180°，∴∠MAC＝∠PBC
∵AC＝BC，∴△ACM≌△BCP；
（3）解析：作PH⊥CM于H，
∵△ACM≌△BCP，∴CM＝CP AM＝BP，
又∠M＝60°，∴△PCM为等边三角形，∴CM＝CP＝PM＝PA+AM＝PA+PB＝1+2＝3，在Rt△PMH中，∠MPH＝30°，
∴PH＝，
∴S
＝（PB+CM）×PH＝＝．
梯形PBCM。