21版：§8.1 空间几何体及其表面积、体积（步步高）

§8.1空间几何体及其表面积、体积最新考纲考情考向分析
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．
3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．
4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 空间几何体的结构特征、三视图、直观图是高考重点考查的内容．主要考查涉及空间几何体的表面积与体积，常以选择题与填空题为主，涉及空间几何体的结构特征、三视图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，难度为中低档.
1．多面体的结构特征
名称棱柱棱锥棱台图形
含义①有两个面互相平行
且全等，其余各面都
是平行四边形．
有一个面是多边形，其余各
面都是有一个公共顶点的三
角形的多面体
用一个平行于棱锥
底面的平面去截棱
锥，截面和底面之间
②每相邻两个四边形
的公共边都互相平行
的部分侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形
2.旋转体的结构特征
名称圆柱圆锥圆台球图形
母线互相平行且相
等，垂直于底面
相交于一点延长线交于一点
轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环
3.三视图与直观图
三视图画法规则：长对正、高平齐、宽相等
直观图斜二测画法：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x 轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.
4.多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
5．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱圆锥圆台侧面展开图
侧面积公式S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
6.柱、锥、台、球的表面积和体积
名称
几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13
Sh
台体(棱台和圆台)
S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下
V ＝1
3
(S 上＋S 下＋S 上S 下)h
球
S ＝4πR 2
V ＝43
πR 3
概念方法微思考
1．如何求旋转体的表面积？
提示 求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和． 2．如何求不规则几何体的体积？
提示 求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × ) (2)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( × ) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( √ ) (4)锥体的体积等于底面积与高之积．( × ) 题组二 教材改编
2．已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( ) A ．1 cm B ．2 cm C ．3 cm D.3
2
cm 答案 B
解析 S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π， ∴r 2＝4，∴r ＝2.
3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．
答案 1∶47
解析 设长方体的相邻三条棱长分别为a ，b ，c ，它截出棱锥的体积V 1＝13×12×12a ×12b ×1
2c
＝148abc ，剩下的几何体的体积V 2＝abc －148abc ＝47
48abc ，所以V 1∶V 2＝1∶47. 题组三 易错自纠
4．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．12π B.32
3π C ．8π D ．4π
答案 A
解析 由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线长为23即为球的直径，所以球的表面积为4πR 2＝(2R )2π＝12π，故选A.
5．如图，直观图所表示的平面图形是( )
A ．正三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．直角三角形
答案 D
解析 由直观图中，A ′C ′∥y ′轴，B ′C ′∥x ′轴，还原后AC ∥y 轴，BC ∥x 轴．所以△ABC 是直角三角形．故选D.
6．(2018·全国Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在侧视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )
A ．217
B ．2 5
C ．3
D ．2
答案 B
解析 先画出圆柱的直观图，根据题中的三视图可知，点M ，N 的位置如图①所示．
圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图②所示，连接MN，则图中MN 即为M到N的最短路径．
|ON|＝1
4×16＝4，|OM|＝2，
∴|MN|＝|OM|2＋|ON|2＝22＋42＝2 5.
故选B.
空间几何体
命题点1三视图
例1 (2018·全国Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()
答案 A
解析由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.
命题点2直观图
例2 已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．
答案
2 2
解析如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图．
因为OE ＝(2)2－1＝1，所以O ′E ′＝12，E ′F ＝2
4，
则直观图A ′B ′C ′D ′的面积S ′＝1＋32×24＝2
2.
命题点3 展开图
例3 母线长为1的圆锥体，其侧面展开图的面积为π
2，则该圆锥的体积为________．
答案
324
π 解析 圆锥体其侧面展开图为扇形，S ＝πrl ＝π2，解得r ＝12，由圆锥的轴截面图可得h ＝3
2，
V ＝13πr 2h ＝13π×14×32＝3
24
π.
思维升华 (1)由几何体求三视图，要注意观察的方向，掌握“长对正、高平齐，宽相等”的基本要求，由三视图推测几何体，可以先利用俯视图推测底面，然后结合正视图、侧视图推测几何体的可能形式．
(2)画几何体的直观图，掌握线段方向、长度两要素即可；几何体的展开图和原几何体的关系(形状和数量关系)是解题重点．
跟踪训练1 (1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
A ．三棱锥
B ．三棱柱
C ．四棱锥
D ．四棱柱
答案 B
解析 由题意知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱．
(2)如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )
A ．2＋ 2
B ．1＋ 2
C ．4＋2 2
D ．8＋4 2
答案 D
解析 由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图所示，所以这个平面图形的面积为4×(2＋2＋22)2
＝8＋42，故选D.
(3)(2019·北京市宣武区质检)将下面的展开图恢复成正方体后，∠ABC 的度数为________．
答案 60°
解析 把图形复原后，连接三点恰好构成一个等边三角形，所以为60°.
表面积与体积
命题点1 表面积
例4 (1)(2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π
答案 B
解析 设圆柱的轴截面的边长为x ， 则由x 2＝8，得x ＝22，
∴S 圆柱表＝2S 底＋S 侧＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B.
(2)(2019·淄博检测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A ．3π＋4 B.9
2π＋4 C ．4π＋2 D.11
2
π＋4 答案 B
解析 由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四分之三圆柱，其底面半径为1，高为2，
故其表面积S ＝2×34×π×12＋34×2π×1×2＋2×2×1＝9π
2＋4.故选B.
命题点2 体积
例5 (1)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( )
A ．3 B.3
2 C ．1 D.32
答案 C
解析 如题图，因为△ABC 是正三角形， 且D 为BC 中点，则AD ⊥BC .
又因为BB 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，
故BB 1⊥AD ，且BB 1∩BC ＝B ，BB 1，BC ⊂平面BCC 1B 1， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1，
所以AD 是三棱锥A －B 1DC 1的高． 所以11
A B DC V 三棱锥－＝1
3 11B DC S △·AD
＝1
3
×3×3＝1. (2)(2017·全国Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )
A ．90π
B ．63π
C ．42π
D ．36π
答案 B
解析 方法一 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．
将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝
63π.故选B.
方法二 (估值法)由题意知，1
2V 圆柱<V 几何体<V 圆柱，又V 圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π<V 几何体<90π.
观察选项可知只有63π符合．故选B. 思维升华 (1)空间几何体表面积的求法
①旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
②多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． ③以三视图为载体的需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量． (2)空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ①直接利用公式进行求解．
②用转换法、分割法、补形法等方法进行求解． ③以三视图的形式给出的应先得到几何体的直观图．
跟踪训练2 (1)(2019·栖霞模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A ．16＋2π
B ．16＋π
C ．24＋2π
D ．24＋π
答案 D
解析 由三视图可知几何体为一个正方体和一个圆锥的组合体，则该几何体的表面积为正方体的表面积与圆锥侧面积之和减去圆锥的底面积， 正方体的表面积S 1＝6×2×2＝24， 圆锥的侧面积S 2＝πrl ＝2π， 圆锥的底面积S 3＝πr 2＝π，
∴几何体的表面积S ＝S 1＋S 2－S 3＝24＋π， 故选D.
(2)(2019·北京市通州区模拟)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为( )
A.23
B.43
C.8
3 D. 3 答案 C
解析 该三视图还原成直观图后的几何体是如图所示的四棱锥A －BCDE ，△CBA 和△ACD 是两个全等的直角三角形；AC ＝CD ＝BC ＝2，几何体的体积为13×2×2×2＝8
3
，故选C.
与球有关的切、接问题
例6 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( ) A.3172 B ．210 C.132
D ．310 答案 C
解析 如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，
则垂足为BC 的中点M .
又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12
AA 1＝6， 所以球O 的半径R ＝OA ＝ ⎝⎛⎭⎫522＋62＝132. 本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？
解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R ，内切球的半径为r .
又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43，
从而V 外接球＝43πR 3＝43
π×(23)3＝323π， V 内切球＝43πr 3＝43π×23＝32π3
. 本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的
表面积S 2的比值为多少？
解 正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4×34
×a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14×63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26
＝63π
. 思维升华 “切”“接”问题的处理规律
(1)“切”的处理
首先要找准切点，通过作截面来解决，截面过球心．
(2)“接”的处理
抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．
跟踪训练3 (1)(2018·全国Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( ) A ．12 3
B ．18 3
C ．24 3
D ．54 3
答案 B
解析 由等边△ABC 的面积为93，可得
34AB 2＝93， 所以AB ＝6，
所以等边△ABC 的外接圆的半径为r ＝33AB ＝2 3. 设球的半径为R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ，则d ＝R 2－r 2＝16－12＝2. 所以三棱锥D －ABC 高的最大值为2＋4＝6，
所以三棱锥D －ABC 体积的最大值为13
×93×6＝18 3. (2)(2019·天津市部分区联考)圆柱的体积为34π，底面半径为32
，若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的体积为________．
答案 4π3
解析 设圆柱的高为h ，
∵圆柱体积为34π，底面半径为32
， ∴π×⎝⎛⎭
⎫322×h ＝34π，h ＝1， 设球半径为R ，则(2R )2＝(3)2＋12，可得R ＝1，
∴球的体积为43πR 3＝43π，故答案为43
π.。