课时作业8：2.3.1 平面向量基本定理

2．3 平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.1 平面向量基本定理
一、基础达标
1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A ．e 1－e 2，e 2－e 1 B ．2e 1－e 2，e 1－1
2e 2
C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2
D ．e 1＋e 2，e 1－e 2
答案 D
解析 选项A 、B 、C 中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底． 2．下面三种说法中，正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③ 答案 B
3．若a 、b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R )，则( ) A ．a ＝0，b ＝0 B ．λ＝μ＝0 C ．λ＝0，b ＝0 D ．a ＝0，μ＝0 答案 B
4.如图所示，平面内的两条直线OP 1和OP 2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→
，且点P 落在第Ⅰ部分，则实数a ，b 满足( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0 D ．a <0，b <0 答案 C
解析 当点P 落在第Ⅰ部分时，OP →按向量OP 1→与OP 2→分解时，一个与OP 1→反向，一个与OP 2→
同向，故a <0，b >0.
5．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________. 答案 －74m ＋13
8
n
解析 设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，
得⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋4y ＝3－3x －2y ＝2⇒⎩⎨⎧
x ＝－
74
y ＝138
.
6．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →
＝____________. 答案 23b ＋13
c
解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →
＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝23b ＋13
c .
7.如图所示，在△ABC 中，点M 为AB 的中点，且AN →＝12NC →，BN →与CM →
相
交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试以a ，b 为基底表示AE →
. 解 ∵AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝1
2
a ，
由N ，E ，B 三点共线知存在实数λ满足AE →＝λAN →＋(1－λ)AB →＝1
3λb ＋(1－λ)a .
由C ，E ，M 三点共线知存在实数μ满足 AE →＝μAM →＋(1－μ)AC →＝μ
2
a ＋(1－μ)
b .
∴⎩⎨⎧
1－λ＝μ
2，1－μ＝λ
3
，解得⎩⎨⎧
λ＝3
5，
μ＝4
5.
∴AE →＝25a ＋1
5
b .
二、能力提升
8．M 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA →＋MB →＋MC →
等于( ) A ．6ME → B ．－6MF →
C ．0
D ．6MD →
答案 C
解析 MA →＋MB →＋MC →＝MA →＋2MD →＝MA →＋AM →
＝0.
9．如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →.其中OA →与OB →
的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________． 答案 6
解析 如图，以OA 、OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，则OC →＝OD →
＋OE →.
在Rt △OCD 中，∵|OC →
|＝23， ∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°， ∴|OD →|＝4，|CD →|＝2，故OD →＝4OA →， OE →＝2OB →
，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.
10．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC
→
(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案 1
2
解析 易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →
)＝－16AB →＋23AC →，
所以λ1＋λ2＝1
2
.
11．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →
＝b ，
(1)如图1，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF →，DE →
. (2)如图2，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG →
.
解 (1)BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋12CD →
＝AD →－12AB →
＝－12
a ＋
b .
DE →＝DC →＋CE →＝AB →－12AD →
＝a －12b .
(2)BD →＝AD →－AB →
＝b －a ，
∵O 是BD 的中点，G 是DO 的中点， ∴BG →＝34BD →＝3
4(b －a )，
∴AG →＝AB →＋BG →
＝a ＋34
(b －a )
＝14a ＋34
b . 12．如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别是CD 、BC 上的点且DM ＝14DC ，BN ＝1
3BC ，
设AM →＝a ，AN →＝b ，试以a 、b 为基底表示AB →和AD →
.
解 ∵AD →＋DM →＝AM →，而DM →＝14DC →＝14AB →，AM →
＝a ，
∴AD →＋14
AB →
＝a .①
又AB →＋BN →＝AN →，而BN →＝13BC →＝13AD →，AN →
＝b ，
∴AB →＋13
AD →
＝b .②
联立①②解得：AB →＝－411a ＋1211b ，AD →＝12
11a －311b .
三、探究与创新
13．如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BG
GE 的值．
解 设
AG GD ＝λ，BG GE
＝μ. ∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．
又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，
∴AG →
＝λ1＋λAD →＝λ2(1＋λ)AB →＋λ2(1＋λ)AC →.
又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →
)， ∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →
＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.
又AE →＝23AC →，∴AG →
＝11＋μAB →＋2μ3(1＋μ)AC →.
∵AB →，AC →
不共线，
∴⎩⎨⎧
λ2(1＋λ)＝1
1＋μ
，
λ2(1＋λ)＝
2μ
3(1＋μ).
解之，得⎩⎪⎨⎪
⎧
λ＝4，μ＝32.
∴
AG GD ＝4，BG GE ＝32
.。