中考数学常考易错点：4-3《等腰三角形与直角三角形》

4.3等腰三角形与直角三角形
易错清单
1.运用等腰(等边)三角形的判定与性质、勾股定理解决有关计算与证明问题,需注意分类讨论思想的渗入.
【例1】一直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边的长为().
【解析】本题未明确这两条边是直角边还是斜边,因此两条边中的较长边4既可以是直角边,也可以是斜边,所以求第三边的长必须分类讨论,即4是斜边或直角边的两种情况,然后利用勾股定理求解.
【答案】 D
2.两类特殊三角形的组合运用.
【例2】(2014·山东威海)如图,有一直角三角形纸片ABC,边BC=6,AB=10,∠ACB=90°,
的周长为.
将该直角三角形纸片沿DE折叠,使点A与点C重合,则四边形DBCE
=5,DE为△ABC的中位线,得到DE的长,再在Rt△ABC中,由勾股定理得到AC=8,即可得四边形DBCE的周长.
【答案】∵沿DE折叠,使点A与点C重合,
∴AE=CE,AD=CD,∠DCE=∠A.
∴∠BCD=90°-∠DCE.
又∠B=90°-∠A,
∴∠B=∠BCD.
∴BD=CD=AD=AB=5.
∴DE为△ABC的中位线.
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∵BC=6,AB=10,∠ACB=90°,
∴四边形DBCE的周长为BD+DE+CE+BC=5+3+4+6=18.
【误区纠错】本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用.本题中得到ED是△ABC 的中位线关键.
3.勾股定理在折叠问题中的运用.
【例3】(2014·湖北孝感)如图,已知矩形ABCD,把矩形沿直线AC折叠,点B落在点E 处,连接DE,BE,若△ABE是等边三角形,则= .
【解析】过E作EM⊥AB于点M,交DC于点N,根据矩形的性质得出DC=AB,DC∥AB,∠ABC=90°,设AB=AE=BE=2a,则BC==a,即MN=a,求出EN,根据三角形面积公式求出两个三角形的面积,即可得出答案.
【答案】过E作EM⊥AB于点M,交DC于点N,
∵四边形ABCD是矩形,
∴DC=AB,DC∥AB,∠ABC=90°.
∴MN=BC.
∴EN⊥DC.
∵延AC折叠B和E重合,△AEB是等边三角形,
∴∠EAC=∠BAC=30°.
【误区纠错】本题考查了勾股定理,折叠的性质,矩形的性质,等边三角形的性质的应用,解此题的关键是求出两个三角形的面积.
名师点拨
1.掌握等腰三角形、直角三角形的概念并能做出判断.
2.会利用等腰(等边)三角形的性质和判定定理证明相关问题.
3.会利用直角三角形的性质与判定解决有关直角三角形的相关问题.
4.会利用HL及其他方法来证明直角三角形全等.
提分策略
1.等腰三角形的多解问题.
因为等腰三角形的边有腰与底之分,角有底角和顶角之分,等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况.故当题中条件给出不明确时,要分类讨论进行解题,才能避免漏解情况.
【例1】若等腰三角形的一个内角为50°,则它的顶角为.
【解析】(1)若这个内角恰好是顶角,则顶角是50°;(2)若这个内角是底角,则顶角=180°-2×50°=80°.
【答案】50°或80°
【例2】等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边为.
【解析】当腰是6时,则另两边是4,6,且4+6>6,满足三边关系定理;
当底边是6时,另两边长是5,5,5+5>6,满足三边关系定理.
故该等腰三角形的另两边为:6,4或5,5.
【答案】6,4或5,5
2.等腰三角形的性质与判定的运用.
(1)通常用①利用线段的垂直平分线进行等线段转换,进而进行角度转换;②等边对等角说明两个角相等.
(2)要证明一个三角形是等腰三角形,必须得到两边相等,而得到两边相等的方法主要有①通过等角对等边得两边相等;②通过三角形全等得两边相等;③利用垂直平分线的性质得两边相等.
(3)等边三角形是特殊的等腰三角形,其中隐含着三边相等和三个角都等于60°的结论,所以要充分利用这些隐含条件,证明全等或者构造全等.
【例3】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,连接DE并延长交CB的延长线于点F,点G在边BC上,且∠GDF=∠ADF.
(1)求证:△ADE≌△BFE;
(2)连接EG,判断EG与DF的位置关系,并说明理由.
【解析】先通过平行条件得到两对内错角相等,结合线段中点得到的线段相等,可证明两个三角形全等;由角相等的条件可证明△DFG是等腰三角形,再结合点E是DF的中点,根据等腰三角形“三线合一”的性质可证明结论.
【答案】(1)∵AD∥BC,
∴∠ADE=∠BFE,∠DAE=∠FBE.
∵E是AB的中点,
∴AE=BE.
∴△ADE≌△BFE.
(2)EG与DF的位置关系是EG⊥DF.
∵∠GDF=∠ADF,∠ADE=∠BFE,
∴∠GDF=∠BFE.
∴GD=GF.由(1),得DE=EF,
∴EG⊥DF.
3.定义、命题、定理、反证法等知识的区别与联系.
只有对一件事情作出判定的语句才是命题,其中正确的命题是真命题,错误的命题是假命题.对于命题的真假(正误)判断问题,一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可,有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假.【例4】在下列命题中,其逆命题是真命题的是.(只填写序号)
①同旁内角互补,两直线平行;
②如果两个角是直角,那么它们相等;
③如果两个实数相等,那么它们的平方相等;
④如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
【解析】①的逆命题:两直线平行,同旁内角互补,正确;②的逆命题:相等的两个角是直角,错误;③的逆命题:如果两个数的平方相等,那么这两个数也相等,错误,如:22=(-2)2,但2≠-2;④的逆命题:如果一个三角形是直角三角形,则它的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,但未说明C为直角的对边,故错误.
【答案】①
专项训练
一、选择题
1. (2014·江苏镇江外国语学校模拟)在△ABC中,∠C=90°,AC,BC的长分别是方程x2-7x+12=0的两根,△ABC内一点P到三边的距离都相等,则PC为().
(第2题)
2. (2014·山东济南二模)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D,E分别是AB,BC的中点,F 在CA的延长线上,∠FDA=∠B,AC=6,AB=8,则四边形AEDF的周长为().
A. 22
B. 20
C. 18
D. 16
二、填空题
3.(2014·江苏大丰模拟)已知等腰三角形一腰上的高等于腰的一半,则底角为度.
4. (2013·内蒙古赤峰一模)等腰三角形的腰长为2,腰上的高为1,则它的底角等于.
5.(2013·江苏通州兴仁中学一模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,按图中所示方法将△BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的点C',那么△ADC'的面积是.
(第5题)
三、解答题
6. (2014·辽宁鞍山5校联考)如图,△AOB和△COD均为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°,D在AB上.
(1)求证:△AOC≌△BOD;
(2)若AD=1,BD=2,求CD的长.
(第6题)
7. (2014·安徽马鞍山实验学校模拟)如图,点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°.
(1)求证:AD=BD;
(2)E为AD延长线上的一点,且CE=CA,求证:AD+CD=DE;
(3)当BD=2时,AC的长为.(直接填出结果,不要求写过程)
(第7题)
参考答案与解析
3. 15或75[解析]等腰三角形分钝角和锐角三角形两种情况讨论.
4.15°或75°[解析]分钝角三角形和锐角三角形讨论.
5.6cm2[解析]根据勾股定理知AB=10,得AC'=4.再在直角三角形AC'D中运用勾股定理求得C'D=3,AD=5.
(注:设CD=x,则C'D=x,AD=8-x)
6. (1)如图,
(第6题)
∠1=90°-∠3,∠2=90°-∠3,
∴∠1=∠2.
又OC=OD,OA=OB,
∴△AOC≌△BOD.
(2)由△AOC≌△BOD,有AC=BD=2,∠CAO=∠DBO=45°,∴∠CAB=90°.
7. (1)∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠ABC=45°.
∵∠CAD=∠CBD=15°,
∴∠BAD=∠ABD=30°.
∴AD=BD.
(2)在DE上截取DM=DC,连接CM.
(第7题(1))
∵AD=BD,AC=BC,DC=DC,
∴△ACD≌△BCD.
∴∠ACD=∠BCD=45°.
∵∠CAD=15°,
∴∠EDC=60°.
∵DM=DC,
∴△CMD是等边三角形.
∴∠CDA=∠CME=120°,
∵CE=CA,
∴∠E=∠CAD.
∴△CAD≌△CEM,
∴ME=AD.
∴DA+DC=ME+MD=DE.
∴AD+CD=DE.
(3)延长CD交AB于点H.则CH⊥AB.∵∠HBD=30°,BD=2,
(第7题(2))。