北京市海淀区高三数学文科期中考试卷 新课标 人教版

北京市海淀区高三数学文科期中考试卷
2020.11
一、选择题（每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项有且只有只有一个是正确
的，请把正确答案的序号填在相应的括号内）
1. 已知全集Ｉ＝Ｒ，集合x x A |{=≤1}，{}20|<<=x x B ，则()
I A ðB U 等于( )
（A ）[1,)+∞
（B ）(1,)+∞ （C ）[0,)+∞ （D ）(0,)+∞
2. 在等差数列{}n a 中,若12343,5a a a a +=+=,则78a a +的和等于 ( ) (A)7 (B)8 (C)9 (D)10
3．函数)1(log )(2+=x x f （x ＞0）的反函数是 ( ) （A ）11
2)(--=x x f （R x ∈） （B ）12)(1
-=-x x f （R x ∈） （C ）112)(--=x x f
（x ＞0） （D ）12)(1
-=-x x f
（x ＞0）
4.设,,a b c R ∈,则“a b >”是“2
2
ac bc >”的（ ）
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 （ ）
（A ）||x y -=（R x ∈） （B ）13x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（R x ∈）
（C ）x x y --=3
（R x ∈） （D ）x
y 1
-=（R x ∈，0≠x ） 6．已知函数|
|)(x a
x f -= （a ＞0，1≠a ），且8)3(=f ，则 （ ）
（A ）)1(-f ＞)2(-f （B ）)1(f ＞)2(f （C ）)2(f ＞)2(-f （D ）)3(-f ＞)2(-f 7．某小组共8名同学，其中男生6名，女生2名.现抽取3名男生、1名女生参加一项
采访活动，则不同的抽取方法共有 （ ） （A ）40种 （B ）80种 （C ）70种 （D ）240种 8. 某医药研究所开发一种新药.如果成年人按规定的剂量服用， 据检测，服药后每毫升血液中的含药量y （毫克）与时间t （小时）
之间的函数关系近似满足如图所示曲线.定，每毫升血
液中含药量不少于0.25毫克时，治疗疾病有效.一次治疗
该疾病有效的时间为（ ）
(A) 4小时 ( B) 47
8 小时
( C) 415
16
小时 ( D) 5小时
二、填空题（每小题5分，共30分.请把答案填在题中横线上） 9．在6
2
)1(x
x +
的展开式中常数项的值是 。

（用数字作答） 10．已知等比数列{}n a 中，0n a >，22a =，48a =，则前5项和5S 的值为 11．函数21log ()y x x
=+的最小值是 12．如果学生甲投篮命中的概率为
1
3
，那么他连续投三次，恰好两次投进的概率为 ，至少有一次投进的概率为
13．函数y=)(x g 的图象与1)(-=ax x f 的图象关于直线x y =对称，若)(x g 的图象过点)4,2(，则)1(-a g 的值为
14．函数f (x ) =x 2-5x +10，当x ∈(,1]n n + ( n =1,2,3,…)时，设()f x 的值域为n D .若将
n D 中整数的个数记为a n ，那么1a 的值为 ；当n ≥3时，n a = .
三、解答题（共80分，解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤） 15．（本小题共12分） 已知集合4
{|2
x A x x +=-＜0}，}2{|450B x x x =+->，
|||{m x x C -=＜1，R}m ∈ （1）求A B I ；
（2）若()A B C ⊆I ，求m 的取值范围.
已知函数2)(2
3
++=ax x x f 在2x =处切线斜率为0.求： （Ⅰ）实数a 的值；
（Ⅱ）)(x f 在区间]3,1[-上的最大值和最小值. 17.（本小题共13分）
已知}{n a 为等差数列，且11=a ，}{n b 为等比数列，数列}{n n b a +的前三项依次为3，
7，13.求：
（1）数列}{n a ，}{n b 的通项公式； （2）数列}{n n b a +的前n 项和n S .
18．（本小题共14分）
已知袋中有编号为1~9的小球各一个，它们的大小相同，从中任取三个小球.求： （1）恰好有一球编号是3的倍数的概率； （2）至少有一球编号是3的倍数的概率； （3）三个小球编号之和是3的倍数的概率.
19.（本小题共14分） 已知函数x x ax x f ++=
23
3
1)(. （1）当3-=a 时，求函数)(x f 的单调递增区间；
（2）若函数)(x f 在区间)0,(-∞上至少有一个极值，求实数a 的取值范围.
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，1,2,3.n =L . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足11,b =且1 +=+n n n b b a ，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅲ）设(3) =-n n c n b ，数列{}n c 的前n 项和n T ，求证8n T <.
[参考答案]
共30分)
（9.） 15 （10） 31 （11） 1 （12）
92 27
19 （13.） 1 （14）2 24n - 三、解答题：
15. （共12分）
解：（Ⅰ）∵
4
0,(4)(2)02
x x x x +<∴+-<-， {}42A x x ∴=-<< ……………2分
∵2
450,(5)(1)0x x x x +->∴+->，
∴|{x B =x ＞1或x ＜}5- ………4分
∴|{x B A =⋂1＜x ＜}2 ………………6分 （Ⅱ）∵|||{m x x C -=＜1，}R m ∈即1|{-=m x C ＜x ＜},1R m m ∈+ ∵C B A ⊆⋂)(
1-m ≤1
∴ 1+m ≥2 ………………10分
1-m ＜1+m
∴1≤m ≤2 ………………12分
16．解：（Ⅰ）ax x x f 23)(2
'
+= …… 2分
∵)(x f 在x =2处切线斜率为0
∴0)2('
=f …… 4分
∴0443=+⨯a ∴3-=a …… 6分
（Ⅱ）23)(2
3
+-=x x x f x x x f 63)(2
'
-= …… 7分
令0)('
=x f 得01=x ， 22=x …… 9分 当x 变化时，f ˊ(x ),)(x f 列表如下：
从上表可知 最大值是2，最小值是-2 …… 13分 17．（共13分）
解：（Ⅰ）{}n a Q 为等差数列，且{}11,n a b =为等比数列，设公差为d ，公比为q .
111223,2,7a b b a b ∴+==+=,即()117a d b q ++=,即()127d q ++= ①
3313a b +=,即()212213a d q ++= ②………………4分
联立①②得2,2a d == ………………6分
()111221,222n n n n a n n b -∴=+-⨯=-=⨯= ………………8分
（Ⅱ）()212n
n n a b n +=-+Q ,
()()121321222n n S n ∴=+++-++++L L ………………10分
2122n n S n +∴=+- ………………13分
18．(共14分)
解：（Ⅰ）从九个小球中任取三个共有3
9C 种取法,它们是等可能的. 设恰好有一球编号是3的倍数的事件为A ，
则12363
915
()28
C C P A C ⋅== ………………4分 （Ⅱ）设至少有一球编号是3的倍数的事件为B ，
则2116
1)(3936=-=C C B P 或2116)(3
9
2613162333=++=C C C C C C B P ………9分
（Ⅲ）设三个小球编号之和是3的倍数的事件为C ，设集合}9,6,3{1=S ，
}7,4,1{2=S
}8,5,2{3=S ，则取出三个小球编号之和为3的倍数的取法共有1
3
1313333C C C C ⋅⋅+种
则145
3)(3
9
1
3131333=⋅⋅+=C C C C C C P ………………14分
19.(共14分)
解:（Ⅰ）当3-=a 时，x x x x f ++-=2
3
)(，R x ∈. ………………1分
123)(2
'
++-=x x x f ………………2分 令()0'>x f 得13
1
<<-x ………………3分 ∴()x f 在⎪⎭
⎫
⎝⎛-
1,31上单调递增 ………………4分 （Ⅱ）12)(2
'++=x ax x f ，………………5分 ①当0=a 时，12)('
+=x x f ，易知)(x f 在2
1
-=x 处取得极小值，适合题意；
………………7分
②0≠a 时，函数)(x f 在区间)0,(-∞上至少有一个极值，则说明)('
x f 的图象
穿过x 轴负半轴； ………………9分
由12)(2
'
++=x ax x f 为二次函数, △=4－４a 则 a ＜0 a ＞0
△＞0 或 △＞0
a a 2442-+-＜0 a
a
2442---＜0 ………１１分
解得a ＜0或0＜a ＜1 ………１３分
综上可知， a ＜1时满足题意. ………１４分 .
20解：（Ⅰ）1n =Q 时，11112a S a a +=+= ∴11a = …… 1分
∵ 2n n S a =- 即2n n a S += ∴112n n a S +++= 两式相减：110n n n n a a S S ++-+-= 即 110n n n a a a ++-+= 故有 12n n a a += ∵a n ≠0 ∴
11
2
n n a a += ()n N *∈ …… 3分 ∴数列{}n a 为首项11a =，公比12的等比数列.11()2
n n a -= ()n N *
∈ ……4分
（Ⅱ）∵ 1 (1,2,3)+=+=⋅⋅⋅n n n b b a n ∴111
()2
n n n b b -+-= …… 5分
得 211b b -=
3212b b -=
2431
()2b b -=
… …
211
()2
n n n b b ---= …… 7分
将这n -1个等式相加,得
1
2321111()1111121()()()22()12222
212
-----=+
++++==--L n n n n b b
又Q 11,b =∴1
1
32()2
n n b -=- (1,2,3)=⋅⋅⋅n ……
9分
（Ⅲ）Q (3)n n c n b =-1
12()2
n n -= ……
10分
∴022111111
2[()2()3()(1)()()]22222
--=++++-+L n n n T n n ① (11)
分
而 231111111
2[()2()3()(1)()()]222222
-=++++-+L n n n T n n ② ①-② 得：01211111112[()()()()]2()]222222
-=++++-L n n
n T n
1
1()1244()1212
n
n n T n -=-⋅-81184()8(84)222n n n n n =--=-+g ……1３分 ∴n T <8 ……14分
说明：其他正确解法按相应步骤给分.。