高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理学案 新人教B版选修23

1.3.1 二项式定理
1.会证明二项式定理.(难点)
2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.(重点)
[基础·初探]
教材整理二项式定理
阅读教材P26～P27例1以上部分，完成下列问题.
二项式定理及相关的概念
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)(a＋b)n展开式中共有n项.( )
(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响.( )
(3)C r n a n－r b r是(a＋b)n展开式中的第r项.( )
(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同.( )
【解析】(1)×因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项.
(2)×因为二项式的第r＋1项C r n a n－r b r和(b＋a)n的展开式的第k＋1项C r n b n－r a r是不同的，其中的a，b是不能随便交换的.
(3)×因为C r n a n－r b r是(a＋b)n展开式中的第r＋1项.
(4)√ 因为(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数都是C r
n . 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：
[小组合作型]
二项式定理的正用、逆用
(1)用二项式定理展开
⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 25； (2)化简：C 0
n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)
n －1
＋C 2n (x ＋1)
n －2
－…＋(－1)r C r n (x ＋1)
n －r
＋…＋(－1)n C n
n .
【精彩点拨】 (1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x ＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解.
【自主解答】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 25＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 2＋…＋C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 25
＝32x 5－120x 2
＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x 10.
(2)原式＝C 0
n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)
n －1
(－1)＋C 2n (x ＋1)
n －2
(－1)2＋…＋C r n (x ＋1)
n －r
(－1)
r
＋…＋C n
n (－1)n
＝[(x ＋1)＋(－1)]n
＝x n
.
1.展开二项式可以按照二项式定理进行.展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件.
2.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.
3.对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用.对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数.
[再练一题]
1.(1)求⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4
的展开式；
(2)化简：1＋2C 1
n ＋4C 2
n ＋…＋2n C n
n .
【解】 (1)法一：⎝
⎛
⎭
⎪⎫3x ＋
1x 4
＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3
·1
x
＋C 2
4(3x )2
·⎝
⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 4
＝81x 2
＋108x ＋54＋12x
＋1x
2.
法二：⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4
＝
x ＋
4
x 2
＝1x
2(81x 4＋108x 3＋54x 2
＋12x ＋1) ＝81x 2
＋108x ＋54＋12x ＋1x
2.
(2)原式＝1＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n
.
二项式系数与项的系数问题
(1)求二项式
⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －1x 6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；
(2)求⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1x 9的展开式中x 3
的系数.
【精彩点拨】 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解.
【自主解答】 (1)由已知得二项展开式的通项为T r ＋1 ＝C r
6(2x )
6－r
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1x r
＝(－1)r C r 6·2
6－r
·x 3－32 r
，
∴T 6＝－12·x －92
.
∴第6项的二项式系数为C 5
6＝6， 第6项的系数为C 5
6·(－1)·2＝－12. (2)T r ＋1＝C r 9x
9－r
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 9·x 9－2r
， ∴9－2r ＝3，∴r ＝3，即展开式中第四项含x 3
，其系数为(－1)3
·C 3
9＝－84.
1.二项式系数都是组合数C r
n (r ＝0,1,2，…，n )，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念.
2.第r ＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C r
n .例如，在(1＋2x )7
的展开式中，第四项是T 4＝C 3717－3
(2x )3，其二项式系数是C 3
7＝35，而第四项的系数是
C 3723
＝280.
[再练一题]
2.(1＋2x )n
的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
【解】 T 6＝C 5
n (2x )5
，T 7＝C 6
n (2x )6
，依题意有C 5n 25
＝C 6n 26
⇒n ＝8.
∴(1＋2x )n 的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4
.
设第r ＋1项系数最大，则有⎩
⎪⎨⎪⎧
C r 82r
≥C r －182r －1
，C r 82r ≥C r ＋182r ＋1
，
∴5≤r ≤6.
∴r ＝5或r ＝6(∵r ＝0,1,2，…，8). ∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5
，T 7＝1 792x 6
.
[探究共研型]
求展开式中的特定项
探究1 如何求⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋1x 4
展开式中的常数项.
【提示】 利用二项展开式的通项C r 4x
4－r
·1x
r ＝C r 4x 4－2r
求解，令4－2r ＝0，则r ＝2，所
以⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项为C 2
4＝4×32＝6.
探究2 (a ＋b )(c ＋d )展开式中的每一项是如何得到的？
【提示】 (a ＋b )(c ＋d )展开式中的各项都是由a ＋b 中的每一项分别乘以c ＋d 中的每一项而得到.
探究3 如何求⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3
展开式中含x 的项？
【提示】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项是由x ＋1x 中的x 与1x
分别与(2x ＋1)3
展开
式中常数项C 33＝1及x 2项C 1322x 2＝12x 2分别相乘再把积相加得x ·C 33＋1x
·C 13(2x )2
＝x ＋12x ＝
13x .即⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3
展开式中含x 的项为13x .
已知在
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫
3
x－
3
3
x
n的展开式中，第6项为常数项.
(1)求n；
(2)求含x2项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项.
【精彩点拨】写出通项T r＋1→令r＝5，x的指数为零
→求出n 值→修正通项公式→求x2项的系数
→考察x 指数为整数→分析求出k值
→写出有理项
【自主解答】通项公式为：
T r＋1＝C r n x
n－r
3
(－3)r x－
r
3
＝C r n(－3)r x
n－2r
3
.
(1)∵第6项为常数项，
∴r＝5时，有
n－2r
3
＝0，即n＝10.
(2)令
10－2r
3
＝2，得r＝
1
2
(10－6)＝2，
∴所求的系数为C210(－3)2＝405.
(3)由题意得，
⎩⎪
⎨
⎪⎧10－2r3∈Z，
0≤r≤10，
r∈Z.
令
10－2r
3
＝k(k∈Z)，
则10－2r＝3k，即r＝5－
3
2
k.
∵r∈Z，∴k应为偶数，
k＝2,0，－2即r＝2,5,8，
所以第3项，第6
项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2.
1.求二项展开式的特定项的常见题型
(1)求第k项，T r＝C r－1n a n－r＋1b r－1；
(2)求含x r的项(或x p y q的项)；
(3)求常数项；
(4)求有理项.
2.求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.
[再练一题]
3.(1)在(1－x 3
)(1＋x )10
的展开式中，x 5
的系数是________. (2)若⎝
⎛
⎭
⎪⎫x －
a x 2
6展开式的常数项为60，则常数a 的值为________.
【导学号：62980023】
【解析】 (1)x 5应是(1＋x )10中含x 5项、含x 2项分别与1，－x 3
相乘的结果， ∴其系数为C 5
10＋C 2
10(－1)＝207. (2)⎝
⎛⎭⎪⎫x －
a x 2
6
的展开式的通项是T r ＋1＝C r 6x 6－r
· (－a )r x
－2r
＝C r 6x
6－3r
(－a )r
，令6－3r ＝0，得r ＝2，即当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即
常数项是C 2
6a ，
根据已知得C 2
6a ＝60，解得a ＝4. 【答案】 (1)207 (2)4
[构建·体系]
1.在(x －3)10
的展开式中，含x 6
的项的系数是( ) A.－27C 6
10 B.27C 4
10 C.－9C 610
D.9C 4
10
【解析】 含x 6
的项是T 5＝C 4
10x 6
(－3)4
＝9C 4
10x 6
.
【答案】 D
2.在⎝
⎛⎭⎪⎪⎫
x 2－13x 8
的展开式中常数项是( )
A.－28
B.－7
C.7
D.28
【解析】 T r ＋1＝C r
8·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－r ·⎝
⎛⎭⎪⎪⎫
－13x r ＝(－1)r ·C r
8·⎝ ⎛⎭⎪⎫128－r ·x 8－43r ，当8－43r ＝0，即
r ＝6时，T 7＝
(－1)6·C 6
8·⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＝7.
【答案】 C
3.在⎝
⎛⎭
⎪⎫2x 2－1x 6
的展开式中，中间项是________.
【解析】 由n ＝6知中间一项是第4项，因T 4＝
C 36(2x 2)3·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1x 3＝C 36·(－1)3·23·x 3，所以T 4＝－160x 3
.
【答案】 －160x 3
4.在⎝
⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9
的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________.
【导学号：62980024】
【解析】 T r ＋1＝C r 9·(x 2)9－r
·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12r
· C r
9·x
18－3r
，当r ＝3时，T 4＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－123·C 39·x 9
＝－212x 9，
所以第4项的二项式系数为C 3
9＝84，项的系数为－212.
【答案】 84 －21
2
5.求⎝
⎛⎭⎪⎫x 3＋23x 25
的展开式的第三项的系数和常数项.
【解】 T 3＝C 2
5(x 3)3
⎝ ⎛⎭
⎪⎫23x 22＝C 25·49x 5，所以第三项的系数为C 25
·49＝409.
通项T r ＋1＝C r 5(x 3)5－r
⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2r ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫23r ·C r 5x 15－5r ，令15－5r ＝0，得r ＝3，所以常数项为T 4＝
C 3
5(x 3)2
⎝
⎛⎭⎪⎫23x 23＝8027
.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)。