江苏省大许中学高考数学平面向量及其应用专题复习(专题训练)doc

一、多选题
1．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =
B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22
()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足2
2
2
a b
a b +=+，则a 与b 垂直
D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2
π 2．下列结论正确的是（ ）
A ．在ABC 中，若A
B >，则sin sin A B >
B ．在锐角三角形AB
C 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形
D ．在ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积33S =，则三角形外接圆半径为3 3．下列结论正确的是（ ）
A ．已知a 是非零向量，b c ≠，若a b a c ⋅=⋅，则a ⊥（-b c ）
B ．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a 在b 上的投影向量为
12
b C ．点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 是△ABC 的外心 D ．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形 4．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、
c ，不解三角形，确定下列判断错误的是（ ）
A ．
B ＝60°，c ＝4，b ＝5，有两解 B ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3.9，有一解
C ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3，有一解
D ．B ＝60°，c ＝4，b ＝2，无解
5．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（ ）
A ．2
AB
AB AC B ．2
BC
CB AC
C ．2
AC
AB BD D ．2
BD
BA BD BC BD
6．在ABC 中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，若1a =，b =
30A =︒，则B =（ ）
A ．30
B ．45︒
C ．135︒
D ．150︒
7．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（ ）
A B
C D ．8．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是
（ ）
A ．若a b >，则sin sin A
B >
B ．若sin 2sin 2A B =，则AB
C 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形
D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形
9．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（ ） A ．BD AD AB -= B ．1
()2
AD AB AC =
+ C ．8BA BC ⋅=
D ．AB AC AB AC +=-
10．已知a 、b 是任意两个向量，下列条件能判定向量a 与b 平行的是（ ） A ．a b =
B ．a b =
C ．a 与b 的方向相反
D ．a 与b 都是单位向量
11．给出下列命题正确的是（ ） A ．一个向量在另一个向量上的投影是向量 B ．a b a b a +=+⇔与b 方向相同 C ．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同
D ．若向量AB 与向量CD 是共线向量，则点,,,A B C D 必在同一直线上
12．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（ ） A ．(0,1)-
B ．(6,15)
C ．(2,3)-
D ．(2,3)
13．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（ ） A ．AB BC =
B ．AB B
C =
C ．AB C
D AD BC -=+
D ．AD CD CD CB +=- 14．某人在A 处向正东方向走xkm 后到达B 处,他向右转150°,然后朝新方向走3km 到达C
处,,那么x 的值为( )
A B ．C ．
D ．315．题目文件丢失！
二、平面向量及其应用选择题
16．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形
D ．等腰或直角三角形
17．O 为ABC ∆内一点内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知
0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，且tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，若a =边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为（ ） A ．
23
π B ．
43
π C ．
6
π D ．
3
π 18．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，2OA =，1OB =，=OP tOA ，
()1OQ t OB =-，PQ 在t t =0时取得最小值，则当01
05
t <<
时，夹角θ的取值范围为（ ） A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．2,23ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
D ．20,
3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
19．若△ABC 中，2
sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
20．下列说法中说法正确的有（ ）
①零向量与任一向量平行；②若//a b ，则()a b R λλ=∈；
③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅④||||||a b a b +≥+；⑤若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④
B ．①②④
C ．①②⑤
D ．③⑥
21．设θ为两个非零向量,a b →→
的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →
→
-的最小值为1，则（ ）
A ．若θ确定，则||a →
唯一确定 B ．若θ确定，则||b →
唯一确定 C ．若||a →
确定，则θ唯一确定
D ．若||b →
确定，则θ唯一确定
22．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若
sin cos sin a b c
A B B
===ABC ∆的面积为（ ）
A ．2
B ．4
C
D ．23．a ，b 为单位向量，且27a b +=，则向量a ，b 夹角为（ ）
A ．30
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
24．已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=，则
::PAB PAC PBC S S S =△△△（ ）
A ．1∶2∶3
B ．1∶2∶1
C ．2∶1∶1
D ．1∶1∶2
25．在ABC 中，若()()
0CA CB CA CB +⋅-=，则ABC 为（ ） A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．无法确定
26．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()2
26,c a b =-+3
C π
=
，则
ABC 的面积为（ ）
A ．6
B
C
．D
27．在ABC 中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ⎛⎫
⎪=++ ⎪⎝⎭
，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ） A ．重心
B ．内心
C ．外心
D ．垂心
28．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．
1
()2
a b + B ．
1
()2
a b - C ．
1
2
a b + D ．12
a b +
29．在ABC ∆中，6013ABC A b S ∆∠=︒==，，，则2sin
2sin sin a b c
A B C
-+-+
的值等于
（ ） A
．
3
B
C D
．30．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.
已知a =2c =，2
cos 3
A =
，则b= A B ．3
C ．2
D ．3
31．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．
3
π B ．
23
π C ．
56
π D ．
6
π 32．三角形ABC 的三边分别是,,a b c ，若4c =，3
C π
∠=
，且
sin sin()2sin 2
C B A A +-=，则有如下四个结论：
①2a b = ②ABC ∆
③ABC ∆的周长为443+ ④ABC ∆外接圆半径43
3
R =
这四个结论中一定成立的个数是（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
33．在ABC ∆中，下列命题正确的个数是（ ）
①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③点O 为ABC ∆的内心，且
()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆为等腰三角形；④0AC AB ⋅>，则
ABC ∆为锐角三角形．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
34．在ABC ∆中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ∆的外心，若
AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（ ）
A ．
34
B ．
53
C ．
73
D ．
83
35．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )
A ．302m
B ．203m
C ．60m
D ．20m
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一、多选题 1．CD 【分析】
对于A 由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量与的夹角是，所
以该命题是真命题. 【详解
解析：CD 【分析】
对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出
(
)
()()
2
2
2
a b
a b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题
是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2
π
，所以该命题是真命题. 【详解】
对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题； 对于B ，()()
2
2
2
2
2cos cos a b
a b a b αα⋅==，而()()
2
2
2
2
a b
a b ⋅=，
由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2
cos 1α≠，所以()()()2
2
2
a b a b ⋅≠⋅，
所以该命题是假命题；
对于C ，若非零向量a 、b 满足2
2
2
a b
a b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以
0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；
对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2
π
，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.
2．AB 【分析】
由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】
中，，由得，A 正确； 锐角三角形中，，∴，B 正确； 中，
解析：AB 【分析】
由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】
ABC 中，A B a b >⇔>，由
sin sin a b A B
=得sin sin A B >，A 正确； 锐角三角形ABC 中，222
cos 02b c a A bc
+-=>，∴2220b c a +->，B 正确；
ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错； ABC 中，若3b =，60A =︒
，三角形面积S =
11
sin 3sin 6022
S bc A c ==⨯︒=4c =，∴2222cos 13a b c bc A =+-=
，
a =，
∴2sin a R A =
==
，R =D 错． 故选：AB ． 【点睛】
本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，三角形面积公式等，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．
3．ABD 【分析】
利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】
对：因为，又，故可得， 故，故选项正确；
对：因为||＝1，||＝2，与的夹角为
解析：ABD 【分析】
利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】
对A ：因为()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅，又a b a c ⋅=⋅，故可得()
0a b c ⋅-=， 故()
a b c ⊥-，故A 选项正确；
对B ：因为|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，故可得1
212
a b ⋅=⨯
=. 故a 在b 上的投影向量为
12a b b b b ⎛⎫⋅ ⎪= ⎪⎝⎭
，故B 选项正确；
对C ：点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 为三角形ABC 的重心，
故C 选项错误；
对D ：不妨设()()()()1,1,2,3,6,1,5,1A B C D -，
则()()()1,24,25,0AB AD AC +=+-==，故四边形ABCD 是平行四边形； 又()14220AB AD ⋅=⨯+⨯-=，则AB AD ⊥，故四边形ABCD 是矩形. 故D 选项正确；
综上所述，正确的有：ABD . 故选：ABD . 【点睛】
本题考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属综合中档题.
4．ABC 【分析】
根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】
对于，因为为锐角且，所以三角
解析：ABC 【分析】
根据判断三角形解的个数的结论：若B 为锐角，当c b <时，三角形有唯一解；当
sin c B b c <<时，三角形有两解；当sin c B b >时，三角形无解：当sin c B b =时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】
对于A ，因为B 为锐角且45c b =<=，所以三角形ABC 有唯一解，故A 错误；
对于B ，因为B 为锐角且sin 4 3.9c B b c ===<，所以三角形ABC 有两解，故B 错误；
对于C ，因为B 为锐角且 sin 432
c B b =⨯=>=，所以三角形ABC 无解，故C 错误；
对于D ，因为B 为锐角且sin 422
c B b =⨯=>=，所以三角形ABC 无解，故D 正确. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题.
5．AD
【分析】
根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】
对于A ，，故A 正确； 对于B ，，故B 错误； 对于C ，,故C 错误； 对于D ，, ,故D 正确. 故选：AD. 【点睛】 本题考查三角形
解析：AD 【分析】
根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】 对于A ，2
cos AB AB AC AB AC A AB AC
AB AC
，故A 正确；
对于B ，
2
cos cos CB CB AC CB AC C CB AC C CB AC
CB AC
，
故B 错误； 对于C ，
2
cos cos BD AB BD AB BD ABD AB BD ABD AB BD
BD
AB
,故C 错误； 对于D ，2
cos BD BA BD
BA BD ABD BA BD BD BA
,
2
cos BD BC BD
BC BD CBD BC BD
BD BC
,故D 正确.
故选：AD. 【点睛】
本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.
6．BC 【分析】
用正弦定理求得的值，由此得出正确选项. 【详解】
解：根据正弦定理得： ， 由于，所以或. 故选：BC. 【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.
解析：BC 【分析】
用正弦定理求得sin B 的值，由此得出正确选项. 【详解】
解：根据正弦定理sin sin a b A B
=得：
1
sin 2sin 12
b A B a ===，
由于1b a =>=，所以45B =或135B =.
故选：BC. 【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.
7．AB 【分析】
在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解. 【详解】
中，因为，，面积， 所以， 所以，解得或，
当时，由余弦定理得：， 解得，
当时，由余弦定理得：， 解得 所以或
解析：AB 【分析】
在ABC 中，根据4a =，5b =
，由1
sin 2
ABC
S
ab C =
=60C =或120C =，然后分两种情况利用余弦定理求解.
【详解】
ABC 中，因为4a =，5b =
，面积ABC
S
=
所以1sin 2
ABC S ab C ==
所以sin 2C =
，解得60C =或120C =， 当60C =时，由余弦定理得：2222cos 21c a b ab C =+-=，
解得c =
当120C =时，由余弦定理得：2222cos 61c a b ab C =+-=，
解得c =
所以c =c =故选：AB
【点睛】
本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8．AC
【分析】
对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判
解析：AC
【分析】
对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =，从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确；对D ，首先根据余弦定理得到A 为锐角，但B ，C 无法判断，故D 错误.
【详解】
对选项A ，2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >⇒>⇒>，故A 正确；
对选项B ，因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =⇒=
所以A B =或2A B π
+=，则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误；
对选项C ，因为cos cos a B b A c -=，
所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+，
sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+，sin cos cos sin B A A B -=，
因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，2
A π=，ABC 是直角三角形，故③正确； 对D ，因为222
0a b c +->，所以222
cos 02a b c A ab +-=>，A 为锐角. 但B ，C 无法判断，所以无法判断ABC 是锐角三角形，故D 错误.
故选：AC
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.
9．BC
【分析】
根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项.
【详解】
对于A 选项：，故A 错；
对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确；
对于C 选项：，故正确；
对于D 选项：，而，故
解析：BC
【分析】
根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项.
【详解】
对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错；
对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，
()
111++++()222AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确； 对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA ⋅=⋅⋅∠=⋅⋅=⨯=，故正确；
对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确. 故选：BC.
【点睛】
本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.
10．AC
【分析】
根据共线向量的定义判断即可.
【详解】
对于A 选项，若，则与平行，A 选项合乎题意；
对于B 选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B 选项不合乎题意； 对于C 选项，若与的方向相反，
解析：AC
【分析】
根据共线向量的定义判断即可.
【详解】
对于A 选项，若a b =，则a 与b 平行，A 选项合乎题意；
对于B 选项，若a b =，但a 与b 的方向不确定，则a 与b 不一定平行，B 选项不合乎题意； 对于C 选项，若a 与b 的方向相反，则a 与b 平行，C 选项合乎题意； 对于D 选项，a 与b 都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则a 与b 不一定平行，D 选项不合乎题意.
故选：AC.
【点睛】
本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.
11．C
【分析】
对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量；
对B ，两边平方化简；
对C ，根据向量相等的定义判断；
对D ，根据向量共线的定义判断.
【详解】
A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A
解析：C
【分析】
对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量； 对B ，两边平方化简a b a b +=+；
对C ，根据向量相等的定义判断；
对D ，根据向量共线的定义判断.
【详解】 A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A 错误；
B 中，由a b a b +=+，得2||||2a b a b ⋅=⋅，得||||(1cos )0a b θ⋅-=，
则||0a =或||0b =或cos 1θ=，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，a 与b 方向不一定相同，B 错误；
C 中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C 正确；
D 中，由共线向量的定义可知点,,,A B C D 不一定在同一直线上，D 错误.
故选：C
【点睛】
本题考查了对向量共线，向量相等，向量的投影等概念的理解，属于容易题.
12．ABC
【分析】
设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解.
【详解】
第四个顶点为，
当时，，
解得，此时第四个顶点的坐标为；
当时，，
解得
解析：ABC
【分析】
设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解.
【详解】
第四个顶点为(,)D x y ，
当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，
解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-；
当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，
解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)；
当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，
解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-．
∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-．
故选:ABC .
【点睛】
本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.
13．BCD
【分析】
由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.
【详解】
菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，
所以B 结论正确，A 结论错误；
因为，，且，
所以，即C 结论正确；
因为，
解析：BCD
【分析】
由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.
【详解】
菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的，
所以B 结论正确，A 结论错误； 因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =， 所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确；
因为AD CD BC CD BD +=+=，
||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确. 故选：BCD
【点睛】
本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.
14．AB
【分析】
由余弦定理得，化简即得解.
【详解】
由题意得,由余弦定理得,
解得或.
故选：AB.
【点睛】
本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解析：AB
【分析】
由余弦定理得293cos306x x
︒
+-=，化简即得解. 【详解】 由题意得30ABC ︒∠=,由余弦定理得293cos306x x ︒
+-=,
解得x =x
故选：AB.
【点睛】
本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15．无
二、平面向量及其应用选择题
16．D
【分析】
首先利用正弦定理求得sin 2sin 2A B =，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果．
解：已知：cos cos a A b B =，利用正弦定理：
2sin sin sin a b c R A B C
===， 解得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以：22A B =或21802A B =︒-，解得：A B =或90A B +=︒
所以：ABC 的形状一定是等腰或直角三角形
故选：D ．
【点评】
本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于中档题． 17．A
【分析】 根据题意得出tan tan tan A B C a b c
==，利用正弦定理边化角思想和切化弦思想得出A B C ==，从而可得知ABC ∆为等边三角形，进而可求得BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长.
【详解】
0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，a b OC OA OB c c
∴=--， 同理可得tan tan tan tan A B OC OA OB C C =--，tan tan tan tan a A c C b B c
C ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪-=-⎪⎩，tan tan tan A B C a b c
∴==， 由正弦定理得tan tan tan sin sin sin A B C A B C ==，所以，111cos cos cos A B C
==， cos cos cos A B C ∴==， 由于余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，所以，3A B C π===
， 设ABC ∆的外接圆半径为R
，则22sin 2
a R A
=
==，1R ∴=， 所以，边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为222133
R A ππ⨯=⨯=. 故选：A.
【点睛】 本题考查弧长的计算，涉及正弦定理边角互化思想、切化弦思想以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
18．C
【分析】 根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，
()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，根据二次函数的最值可得出
012cos 54cos t θθ
+=
+，再由0105t <<，可求得夹角θ的取值范围. 【详解】 因为2cos OA OB θ⋅=，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--，
()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，
∵PQ 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ
+=+，又0105t <<，则12cos 1054cos 5
θθ+<
<+，得1cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤， 所以223
ππθ<<， 故选：C.
【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题.
19．A
【分析】
已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=，再利用两角和与差的正弦函数公式化简.
【详解】
ABC ∆中，sin()sin A B C +=，
∴已知等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+， 整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =， cos 0A ∴=或sin 0B =（不合题意，舍去），
0A π<<
90A ∴=︒，
则此三角形形状为直角三角形．
故选：A
【点睛】
此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．
20．A
直接利用向量的基础知识的应用求出结果.
【详解】
对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；
对于②：若//a b ，则()a b R λλ=∈，必须有0b ≠，故②错误；
对于③：()()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，a 与c 不共线，故③错误； 对于④：a b a b +≥+，根据三角不等式的应用，故④正确；
对于⑤：若0AB BC CA ++=，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误.
综上：①④正确.
故选：A.
【点睛】
本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
21．B
【分析】 2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，易得2cos b a b t a a θ⋅=
=时，222min
244()()14a b a b f t a -⋅==，即222||cos 1b b θ-=，结合选项即可得到答案. 【详解】 2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，因为t R ∈， 所以当2cos b a b t a a
θ⋅==时，222min 244()()4a b a b f t a -⋅=，又||b t a →→-的最小值为1， 所以2||b ta -的最小值也为1，即222min 244()()14a b a b f t a -⋅==，222||cos 1b b θ-=，
所以22||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ
=
，故若θ确定，则||b →唯一确定. 故选：B
【点睛】
本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题.
22．A
首先由条件和正弦定理判断ABC 是等腰直角三角形，由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点，所以由ABC 外接圆的半径可求得三角形的边长，再求面积.
【详解】 由正弦定理可知
2sin sin sin a b c r A B C ===
已知sin cos sin a b c A B B
===sin cos B B =和sin sin C B =， 所以45B =，45C =，所以ABC 是等腰直角三角形，
由条件可知ABC ，即等腰直角三角形的斜边长为
所以122
ABC S =⨯=. 故选：A
【点睛】
本题考查正弦定理判断三角形形状，重点考查直角三角形和外接圆的性质，属于基础题型. 23．C
【分析】 首先根据题的条件27a b +=，得到2()7a b +=，根据a ，b 为单位向量，求得12
a b ⋅=，进而求得向量夹角. 【详解】 因为27a b +=
，所以2()7a b +=， 即22447a a b b +⋅+=， 因为221a b ==，所以12a b ⋅=
， 所以1cos ,2
a b <>=，因为向量a ，b 夹角的范围为[0,180]︒︒， 所以向量a ，b 夹角的范围为60︒，
故选：C.
【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的平方与向量模的平方是相等的，已知向量数量积求向量夹角，属于简单题目.
24．B
【分析】
延长PB 至D ，可得出点P 是ADC 的重心，再根据重心的性质可得出结论。

【详解】
延长PB 至D ，使得2PD PB =，于是有0PA PD PC ++=，即点P 是ADC 的重心，依据重心的性质，有PAD PAC PDC S S S ==△△△.由B 是PD 的中点，得
::1:2:1PAB PAC PBC S S S =△△△.
故选：B
【点睛】
本题考查了三角形重心和向量的关系，主要是用向量表达重心的数量关系。

另外本题是奔驰定理直接推导得出。

25．C
【分析】
利用平面向量的数量积的运算性质可得(CA CB + 22
22)()0CA CB CA CB b a -=-=-=，从而可得答案．
【详解】 解：在ABC 中，(CA CB + 2222)()0CA CB CA CB b a -=-=-=， a b ∴=，
ABC ∴为等腰三角形，
故选：C ．
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查向量的数量积的运算性质，属于中档题．
26．B
【分析】
由条件和余弦定理得到6ab =，再根据三角形的面积公式计算结果.
【详解】
由条件可知：22226c a b ab =+-+，①
由余弦定理可知：222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，②
所以由①②可知，62ab ab -=-，即6ab =，
则ABC 的面积为11sin 622S ab C =
=⨯=. 故选：B
【点睛】
本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.
27．A
【分析】 设sin sin a B b A CH ==，则()m CP a b CH =
+，再利用平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，即可得答案；
【详解】
如图，
sin sin a B b A CH ==，∴()m OP OC a b CH =++，()
m CP a b CH =+， 由平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，
∴P 的轨迹一定通过ABC 的重心.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角形重心与向量形式的关系，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量加法几何意义的运用.
28．D
【分析】
根据向量的加法的几何意义即可求得结果.
【详解】
在ABC ∆中，M 是BC 的中点，
又,AB a BC b ==，
所以1122AM AB BM AB BC a b =+=+
=+， 故选D.
【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目. 29．A
【解析】
分析：先利用三角形的面积公式求得c 的值，进而利用余弦定理求得a ，再利用正弦定理求解即可.
详解：由题意，在ABC ∆中，
利用三角形的面积公式可得011sin 1sin 60322ABC S bc A c ∆=
=⨯⨯⨯=， 解得4c =，
又由余弦定理得22212cos 116214132
a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，解得13a =，
由正弦定理得213239sin 2sin sin sin 3
a b c a A B C A -+===-+，故选A. 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
30．D
【详解】 由余弦定理得， 解得（舍去），故选D. 【考点】
余弦定理
【名师点睛】
本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！
31．D 【分析】 根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可．
【详解】
∵非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=， ∴平方得22
a b a b +=-，即2222||2||2a b a b a b a b ++⋅=+-⋅ ， 则0a b ⋅=，由2a b b +=， 平方得222||24||a b a b b ++⋅=，得2
23a b =，即3a b =则2a b b +=，22|3|a b a a a b b +⋅=+⋅=（），
则向量a b +与a 的夹角的余弦值23||323a b a b cos a b a b b
θ+⋅===+⋅⋅（）， ，0.6πθπθ≤≤∴=
， ，
故选D.
【点睛】
本题主要考查向量数量积的应用，求解向量数量积的大小是解决本题的关键．
32．C
【分析】 由正弦定理可得三角形的外接圆的半径；由三角函数的恒等变换化简2A π
=或
sin 2sin B A =，即2b a =；分别讨论，结合余弦定理和三角形面积公式，计算可得所求值，从而可得结论．
【详解】
4c =，3C π∠=
，可得42sin 3sin 3
c R C π===，可得ABC ∆
外接圆半径3R =，④正确； ()sin sin 2sin2C B A A +-=，即为()()sin sin 2sin2A B B A A ++-=，
即有sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos 4sin cos A B A B B A B A B A A A ++-==， 则cos 0A =，即2A π=
或sin 2sin B A =，即2b a =； 若2A π
=，3C π
=，6B π
=，可得2a b =，①可能成立；
由4c =
可得a =
，b =
4+
；面积为12bc =； 则②③成立； 若2b a =，由2222222cos 316c a b ab C a b ab a =+-=+-==，
可得a =
，b =
则三角形的周长为4a b c ++=+
11sin sin 223S ab C π=== 则②③成立①不成立；
综上可得②③④一定成立,故选C ．
【点睛】
本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，考查三角函数的恒等变换，属于中档题．以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
33．B
【解析】
【分析】
利用向量的定义和运算法则逐一考查所给的命题是否正确即可得到正确命题的个数.
【详解】
逐一考查所给的命题：
①由向量的减法法则可知：AB AC CB -=，题中的说法错误；
②由向量加法的三角形法则可得：0AB BC CA ++=，题中的说法正确；
③因为()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，
即()0CB AB AC ⋅+=；
又因为AB AC CB -=，
所以()()0AB AC AB AC -⋅+=，
即||||AB AC =，
所以△ABC 是等腰三角形.题中的说法正确；
④若0AC AB ⋅>，则cos 0AC AB A ⨯⨯>，据此可知A ∠为锐角，无法确定ABC ∆为锐角三角形，题中的说法错误． 综上可得，正确的命题个数为2.
故选：B .
【点睛】
本题主要考查平面向量的加法法则、减法法则、平面向量数量积的应用，由平面向量确定三角形形状的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
34．C
【分析】
作出图形，先推导出212AM AB AB ⋅=
，同理得出212
AM AC AC ⋅=，由此得出关于实数λ、μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出43λμ+的值. 【详解】
如下图所示，取线段AB 的中点E ，连接ME ，则AM AE EM =+且EM AB ⊥，
()
212AM AB AE EM AB AE AB EM AB AB ∴⋅=+⋅=⋅+⋅=
， 同理可得212AM AC AC ⋅=，
86cos6024AB AC ⋅=⨯⨯=，。