2021版新高考数学(山东专用)一轮：第5章 第4讲 数列求和

[解析] 对于 A，因为数列{an}为等比数列，且公比不等于 1.则其前 n 项和为 Sn ＝a111－－aan，在 a＝1，则 an＝a，故 A 错．
对于 B，因为 sin21°＋sin289°＝sin22°＋sin288°＝sin23°＋sin287°＝1，所以 sin21° ＋sin22°＋sin23°＋…＋sin287°＋sin288°＋sin289°可用倒序相加求和．
A．2n－2nn－1
B．2n＋1－2nn－2
C．2n－2nn＋1
D．2n＋1－2nn＋2
[解析] 由 Sn＝12＋222＋233＋…＋2nn① 得12Sn＝212＋223＋…＋n－2n 1＋2nn＋1② ①－②得， 12Sn＝12＋212＋213＋…＋21n－2nn＋1， ＝12[11－－1212n]－2nn＋1，∴Sn＝2n＋1－2nn－2.
由 b3＝a4－2a1，可得 3d－a1＝8.① 由 S11＝11b4，可得 a1＋5d＝16.② 联立①②，解得 a1＝1，d＝3，由此可得 an＝3n－2. 所以{an}的通项公式为 an＝3n－2，{bn}的通项公式为 bn＝2n.
(2)设数列{a2nbn}的前 n 项和为 Tn，由 a2n＝6n－2，有 Tn＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n－2)×2n，③ 2Tn＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－2)×2n＋1，④ ③－④，得 －Tn＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n－(6n－2)×2n＋1 ＝12×1－1－2 2n－4－(6n－2)×2n＋1 ＝－(3n－4)2n＋2－16. 得 Tn＝(3n－4)2n＋2＋16. 所以数列{a2nbn}的前 n 项和为(3n－4)2n＋2＋16.
3．(必修 5P47T4 改编)数列{an}的通项公式是 an＝
1 n＋
n＋1，前
n
项和为
9，则
n＝( B ) A．9
B．99
C．10
D．100
[解析]
因为 an＝
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.所以 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(
2－
1)＋( 3－ 2)＋…＋( n＋1－ n)＝ n＋1－1.所以 n＋1－1＝9，即 n＋1＝10，所
第五章 数列
第四讲 数列求和
1 知识梳理 • 双基自测 2 考点突破 • 互动探究 3 名师讲坛 • 素养提升
知识梳理 • 双基自测
知识点一 公式法求和
(1)如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的 前 n 项和公式．
(2)等差数列的前 n 项和公式： Sn＝na1＋ 2 an＝___n_a_1＋__n__n_2－__1__d__＝___d2_n_2＋__(_a_1_－__d2_)n________.
1．常见的裂项公式 (1)nn1＋1＝1n－n＋1 1； (2)nn1＋k＝1k(1n－n＋1 k)； (3)n2－1 1＝12(n－1 1－n＋1 1)；
(4)2n－112n＋1＝12(2n1－1－2n1＋1)；
(5)
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n；
1 n＋
n＋k＝1k(
n＋k－
n)；
(6)nn＋11n＋2＝12[nn1＋1－n＋11n＋2]．
(1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*)．
[解析] (1)设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q(q>0)．由已知 b2＋b3＝12，得 b1(q＋q2)＝12，而 b1＝2，所以 q2＋q－6＝0，解得 q＝2(负值舍去)．所 以 bn＝2n.
题组一 走出误区 1．(多选题)下列列命题正确的是( BCD ) A．如果数列{an}的通项公式 an＝an，则其前 n 项和为 Sn＝a11－－aan B．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin287°＋sin288°＋sin289°可用倒序相加求和 C．当 n≥2 时，n2－1 1＝12(n－1 1－n＋1 1) D．求数列{21n＋2n＋3}的前 n 项和可用分组求和
对于 C，因为12(n－1 1－n＋1 1)＝12·nn＋－11－nn＋－11＝n2－1 1. 对于 D，因为数列{21n＋2n＋3)是由一个等比数列{21n}与一个等差数列的和数列， 所以求数列{21n＋2n＋3}的前 n 项和可以用分组求和．故选 B、C、D．
题组二 走进教材
2．(必修 5P61T4 改编)Sn＝12＋12＋38＋…＋2nn等于( B )
(1
－
1 2
)＋
(
1 2
－
1 3
)
＋(
1 3
－
1 4
)＋…
＋(1n－
n＋1 1)＝1－n＋1 1＝n＋n 1.∴S2 020＝22 002201.
题组三 考题再现
5．(2017·天津)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等 比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.
(3)等比数列的前 n 项和公式： na1，q＝1，
Sn＝a11－－aqnq＝_______________，q≠1. 注意等比数列公比 q 的取值情况，要分 q＝1，q≠1.
知识点二 分组求和法 一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用 分组求和法，分别求和后相加减．如若一个数列的奇数项成等差数列，偶数项成等 比数列．则可用分组求和法求其前n项和． 知识点三 倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等且等于同一 个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即 是用此法推导的．
知识点四 错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的， 那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推 导的． 知识点五 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得 其和． 知识点六 并项求和法 在一个数列的前n项和中，可两两合并求解，则称之为并项求和．如{an}是等差 数列，求数列{(－1)nan}的前n项和，可用并项求和法求解． 形如an＝(－1)nf(n)类型，可考虑采用两项合并求解．
以 n＝99.故选 B．
4．(必修 5P47T4 改编)若 Sn＝12＋2＋1 4＋2＋14＋6＋…＋2＋4＋1…＋2n(n∈N*)，则 2 020
S2 020＝___2_0_2_1____.
[解析] ∵2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)
∴Sn＝
1×1 2＋
2×1 3＋
1 3×4
＋…
＋nn1＋1

＝