2021年高三3月联考数学文试题 Word版含答案

2021年高三3月联考数学文试题 Word版含答案本试卷共150 分，考试时长120分钟．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选
项中，选出符合题目要求的一项．
（1）集合，，则=
（A）（B）
（C）（D）
（2）“”是的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（3）设，，，则的大小关系是
（A）（B）（C）（D）
（4）以下茎叶图记录了甲乙两组各5名同学的数学成绩．甲组成绩中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示．若两个小组的平均成绩相同，则下列结论正确的是
（A），
（B），
（C），
（D），
（5）执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为，则判断框内应填入的条件是
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）已知函数（其中，，)的部分图象如图所示，则函数的解析式是
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）下列命题说法正确的是
（A）使得（B）使得
（C）使得（D）使得
（8）已知奇函数的导函数，．满足，则实数的取值范围是
（A）（B）
（C）（D）
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）复数的实部是_______．
（10）数列满足，且，则首项=___，前项和=_______．
（11）设点是区域内的随机点，则满足的概率是____．
（12）一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______．
（13）中，为边上的高，且，则的值为_________．
（14）给定数集.若对于任意，有，且，则称集合为闭集合.给出如下四个结论：
①集合为闭集合；
②集合为闭集合；
③若集合为闭集合，则为闭集合；
④若集合为闭集合，且，，则存在，使得.
其中，全部正确结论的序号是_____.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．（15）（本小题共13分）
已知：△的三个内角的对边分别为，且满足．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，的面积为，求边的长．
（16）（本小题共13分）
某校为了解学生寒假期间的学习情况，从初中及高中各班共抽取了名学生，对他们每天平均学习时间进行统计．请根据下面的各班人数统计表和学习时间的频率分布直方图解决下列问题：
（Ⅰ）抽查的人中，每天平均学习时间为~小时的人数有多少?
（Ⅱ）经调查，每天平均学习时间不少于小时的学生均来自高中．现采用分层抽样的方法，从学习时间不少于小时的学生中随机抽取名学生进行问卷调查，求这三个年级各抽取了多少名学生；
（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的名学生中随机选取人进行访谈，求这名学生来自不同年级的概率．
（17）（本小题共13分）
如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，，，，，点分别为中点．
（Ⅰ）求证：平面；
年级人数
初一 4
初二 4
初三 6
高一12
高二 6
高三18
合计50
（Ⅱ）求证：平面平面．
（18）（本小题共14分）
已知函数（）．
（Ⅰ）若，求在处的切线方程；
（Ⅱ）若在单调递增，求的取值范围；
（Ⅲ）求的零点个数．（）．
（19）（本小题共14分）
已知椭圆（）的长轴长是，且过点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，为椭圆的右焦点，直线与关于轴对称．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
（20）（本小题共13分）
设函数的定义域分别为，且.若对于任意，都有，则称为在上的一个延拓函数.给定.
（Ⅰ）若是在上的延拓函数，且为奇函数，求的解析式；
（Ⅱ）设为在上的任意一个延拓函数，且是
上的单调函数.
（ⅰ）判断函数在上的单调性，并加以证明；
（ⅱ）设，，证明：.
北京市东城区普通校xx届高三3月联考（零模）
数学文参考答案及评分标准
阅卷须知：
评分标准所注分数仅供参考，其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C （2）A （3）C （4）A
（5）C （6）B （7）D （8）B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）（10）（11）
（12）（13）（14）○2○4
注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（本小题满分13分）
解：(Ⅰ)由已知得，
得到，
即，
解得或．…………………………………………4分
因为，故舍去．
所以．……………………………………………………………6分
(Ⅱ) 由正弦定理可得．……………………………………………7分
而，
将和代入上式，得出，．………………………11分
由余弦定理，得出．……………………13分
（16）（本小题满分13分）
解：(Ⅰ)由直方图知，学习时间为~小时的频率为，
所以学习时间为~小时的人数为．…………………………………………4分
(Ⅱ)由直方图可得，学习时间不少于小时的学生有人．（由人数统计表亦可直接得出36人）
由人数统计表知，高中三个年级的人数之比为，
所以从高中三个年级依次抽取名学生，名学生，名学生． (8)
分
（Ⅲ）设高一的名学生为，高二的名学生为，高三的名学生为．
则从名学生中选取人所有可能的情形为
（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），共15种可能．………
10分
其中（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），这种情形符合名学生来自不同年级的要求．…………12分
故所求概率为．…………………………………………………13分
（17）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）取中点，连结.
由题意，,且,
所以为平行四边形.
所以. ………………………………………………………………4分
又因为平面，平面，
所以平面．……………………………………………………6分
（Ⅱ）因为侧面为等边三角形，所以.……………………8分
由已知可得，
所以，…………………………………………………………10分
而，故平面. …………………………………12分
因为平面，所以平面平面．………13分
（18）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）时，，，……………2分
则有，且，
故所求切线方程为．…………………………………4分（Ⅱ）（），………………………5分
因为在单调递增，因此有，
即在恒成立．……………………………6分
当时，需，解得．
当时，在恒成立，符合题意．
综上，即．……………………9分
（Ⅲ）x x
x x m x f x g ln 312
1ln )3()()(-+-
=+-+=， 则．令，得.……10分 、上的情况如下：
由此可知，的极大值为，的极小值为， 且，故有两个零点．…………………14分 （19）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得解得，．
故椭圆的方程为． ……………………5分 （Ⅱ）椭圆的右焦点，
由 消并整理得， 设，，
则有0)12(8)22)(12(4)4(2
2
2
2
2
>+-=-+-=∆m k m k km ， 且，，………………………8分
因为直线与关于轴对称，所以这两条直线的斜率互为相反数， 则有，即，
则有， …………………………11分
所以021
24)(122222
22=-+⋅--+-⋅m k km
k m k m k ， 整理得， ………………………………………………………13分 此时满足且，直线的方程是，
故直线过定点，且该定点为． …………………………………14分
（20）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当时，由为奇函数，得. ………………………1分
任取，则，
由为奇函数，得， …………………………3分
所以的解析式为 …………………………………4分 （Ⅱ）（ⅰ）函数是上的增函数. …………………5分
证明如下：
因为为在上的一个延拓函数， 所以当时，. 记，其中. 任取，且，则，
因为211221212112
()(1)11
()()()0x x x x y k x k x x x x x x x -+∆=-=-
--=>， 所以函数是上的增函数. …………………………………8分
（ⅱ）由 是上的单调函数，且时，是增函数，从而得到函数 是上的增函数.……………………9分 因为 ，， 所以 ，， 所以 ，即 . 同理可得：.
将上述两个不等式相加，并除以，即得 . …13分
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