(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第一单元《直角三角形的边角关系》测试卷(包含答案解析)(3)

一、选择题
1．如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan ∠B =cos ∠DAC ，若sin C =1213，BC =12，求AD 的长（ ）
A ．13
B ．12
C ．8
D ．无法判断 2．如图，一副三角板ABC ，DEF 如图摆放，使点D 与BC 的中点重合，DF 经过点A ，D
E 交AB 与点G ．将三角板DE
F 绕点D 顺时针旋转至DE F ''处，DE '，DF '分别与AB ，AC 交于点M ，N ，则GM AN
=（ ）
A ．3
B ．3
C ．2
D ．32 3．在Rt ABC 中，90,3,2C BC AC ∠=︒==，则sin A 的值为（ ） A ．32 B ．23 C ．21313 D ．
313 4．如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是BC 上一点，且FC=2BF ，连接AE ，EF ．若AB=2，AD=3，则cos ∠AEF 的值是（ ）
A ．12
B ．1
C ．22
D 35．如图，四边形ABCD 中，∠B =∠C =90°，CD =2米，BC =5米，5sin 13
A =
，则AB =（ ）
A ．8米
B ．10米
C ．12米
D ．14米 6．如图在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，如果AC ＝3，sin B ＝35，那么BC 等于（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
7．在Rt △ABC 中，90︒∠=C ，5AB =，2AC =，则tanB 的值为（ ）
A ．12
B ．2
C ．55
D ．255
8．如图大坝的横断面，斜坡AB 的坡比i =1：2，背水坡CD 的坡比i =1：1，若坡面CD 的长度为62米，则斜坡AB 的长度为（ ）
A ．43
B ．63
C ．65
D ．24
9．如图，斜坡AP 的坡比为1∶2.4，在坡顶A 处的同一水平面上有一座高楼BC ，在斜坡底P 处测得该楼顶B 的仰角为45°，在坡顶A 处测得该楼顶B 的仰角为76°，楼高BC 为18m ，则斜坡AP 长度约为（点P 、A 、B 、C 、Q 在同一个平面内，sin760.97≈，cos760.22≈，tan76 4.5≈）（ ）
A ．30m
B ．28m
C ．26m
D ．24m 10．如图，△ABC 、△FED 区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB 与地面B
E 的央角∠PBE ＝43°，视线PE 与地面BE 的夹角∠PEB ＝20°，点A ，
F 为视线与车窗底端的交点，AF //BE ，AC ⊥BE ，FD ⊥BE ．若A 点到B 点的距离AB ＝1.6m ，则盲区中DE 的长度是（ ）（参考数
据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）
A ．2.6m
B ．2.8m
C ．3.4m
D ．4.5m
11．tan60︒的值为( )
A ．33
B ．23
C ．3
D ．2 12．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝15，AB ＝4，则cos B 的值是（ ） A ．154 B ．13 C ．14 D ．1515
二、填空题
13．如图，ABC 中，90A ∠=︒，点D 在AC 上，ABD ACB ∠=∠，15
AD AC =，则sin ABD ∠=________．
14．如图，矩形OABC 的顶点,A C 分别在x 轴、y 轴上，顶点B 在第二象限，3,AB =将线段OA 绕点О按顺时针方向旋转60︒得到线段,OD 连接,AD 反比例函数
()0k y k x
=≠的图象经过,D B 两点，则k 的值为____．
15．如图1，动点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A C D →→以1/cm s 的速度运动到点D 停止．设点P 的运动时间为(),x s PAB 的面积为()2y cm ．表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则a 的值为________________________．
16．如图，直角坐标系原点O 为Rt ABC ∆斜边AB 的中点，()90,5,0ACB A ∠=︒-，且1tan 2A =，反比例函数(0)k y k x
=≠经过点C ，则k 的值是_______．
17．如图，在Rt ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 为BC 的中点，AE 与CD 交于点F ，则DF 的长为_________
18．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝5，将△ABC 折叠，使点B 落在AC 边上的点D 处，EF 为折痕，若sin ∠CFD 的值为23
，则BE ＝_____．
19．在平面直角坐标系中，等边ABO 如图放置，其中()2,0B ，则过点A 的反比例函数的表达式为________．
20．已知等腰ABC ，AB AC =，BH 为腰AC 上的高，3BH =，3tan 3ABH ∠=，则CH 的长为______． 三、解答题
21．按要求完成下列各小题：
（1）解方程：()2
549x +=
（2）计算：2sin 30cos 603tan 30+-
22．某数学活动小组测量操场上路灯的高度．如图，已知观测员的目高AB 为1.5米，他先站在A 处看路灯顶端O 的仰角为30°，向前走3米后站在C 处，此时看灯顶端O 的仰角为60°（3≈1.732），求灯顶端O 到地面的距离．（精确到0.1米）
23．如图，在边长为23的菱形ABCD 中，∠C ＝60°，E 是边BC 的中点，连接DE ，AE ．
（1）直接写出DE 的长为 ．
（2）F 为边CD 上的一点，连接AF ，交DE 于点G ，连接EF ，若AF ⊥EF ．
①求证：△AGE ∽△DGF ．
②求DF 的长．
24．计算：
（1551）；
（2322(4)-38-|12|+2cos45°．
25．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，8BC =，点E ，F 分别为AB ，CD 的中点．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）如图，点P是边AD上一点，BP交EF于点O，点A关于BP的对称点为点M，当点M落在线段EF上时，则有OB OM
=．请说明理由；
（3）如图，若点P是射线AD上一个动点，点A关于BP的对称点为点M，连接AM，DM，当AMD是等腰三角形时，求AP的长．
26．（1）计算：2
tan60sin45tan452cos30
︒-︒+︒-︒．
（2）如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC的直角顶点C的坐标为(1,0)，点A在x轴正半轴上，且2
AC=．将ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移3个单位，求变换后点A的对应点的坐标．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据
12
sin
13
AD
C
AC
==，可设AD＝12x，由勾股定理可求出DC，利用tan∠B=cos∠DAC可
求出BD＝13x，利用BC=12，求出x，进而求解．【详解】
在Rt△ADC中，
12 sin
13
AD
C
AC
==，
设AD＝12x，则AC＝13x，
∴225 DC AC AD x
=-=，
∵cos ∠DAC ＝sin C ＝
1213， ∴tan B ＝1213
， 在Rt △ABD 中，∵tan B 1213AD BD =
=，∴BD ＝13x ， ∴13x +5x ＝12，解得23
x =
， ∴AD ＝12x ＝8．
故选C ．
【点睛】 本题考查解直角三角形，熟练掌握正切，正弦和余弦的定义是解题的关键．
2．A
解析：A
【分析】
根据题意可知D 是BC 的中点，∠BAC=90°，根据题意可以推出∠AGD=∠CAD ，设△DEF 绕点D 顺时针旋转了α，可以证明△GDM ∽△AND ，继而得到
GM GD AN AD =，即可得出答案； 【详解】
∵ D 是BC 的中点，∠BAC=90°，
∴ BD=CD=AD ，
∵ ∠B=30°，
∴∠BAD=30°，
∵∠C=60°，
∴∠CAD=60°，
∵∠EDF=90°，
∴∠AGD=60°，
∴∠AGD=∠CAD ，
设△DEF 绕点D 顺时针旋转了α，
∴∠GDM=∠AND=α，
∴△GDM ∽△AND ， ∴GM GD AN AD
= ，
在Rt △GAD 中，tan ∠GAD=
tan 30GD AD =︒=，
∴
GM GD AN AD =； 故选：A ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、直角三角形的性质，正确掌握知识点是解题的关键；
3．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理求出斜边AB ，再根据锐角三角函数的意义求出结果即可；
【详解】
在Rt ABC 中，由勾股定理可得， 2213AB AC BC =+=，
∴313sin 13
BC A AB ===； 故答案选D ．
【点睛】
本题主要考查了锐角三角函数的定义，准确计算是解题的关键．
4．C
解析：C
【分析】 连接AF ，根据题意可分别求出BF 、FC 、DE 的长，再利用勾股定理分别求出AF 、AE 、EF 的长，利用勾股定理的逆定理判断出AEF 为等腰直角三角形，再利用三角函数即可求得答案．
【详解】 如图：连接AF ，
四边形ABCD 是矩形
∴2,3AB DC AD BC ====
∴∠B=∠C=∠D=90°
FC=2BF
∴BF=1，FC=2
E 是CD 的中点
∴DE=CE=1
∴BF=CE=1
在Rt ABF 中
22222215AF AB BF =+=+=
在Rt EFC 中
22222215EF FC CE =+=+=
在Rt ADE △中
222223110AE AD DE =+=+=
∴222AE EF AF =+且AF=EF
∴△AEF 为等腰直角三角形
∴∠AFE=90°，∠AEF=∠EAF=45°
∴cos ∠AEF=cos45°=
2 故选：C ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理及其逆定理的运用，特殊角的三角函数值，解题关键是利用勾股定理逆定理判断出AEF 为等腰直角三角形． 5．D
解析：D
【分析】
过点D 作DE ⊥AB 于E ，得到四边形DEBC 是矩形，得到BE=DC=2米，DE=BC=5米，根据
5sin 13
A =
，求得AD=13米，根据勾股定理求出AE=12米，即可得到答案． 【详解】
过点D 作DE ⊥AB 于E ，
∴∠DEB=∠B =∠C =90°，
∴四边形DEBC 是矩形，
∴BE=DC=2米，DE=BC=5米， ∵5sin 13A =
， ∴513
DE AD =， ∴AD=13米，
∴AE=222213512AD DE -=-=米，
∴AB=AE+BE=12+2=14米，
故选：D ．
．
【点睛】
此题考查矩形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，正确引出辅助线构建直角三角形解决问题是解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
直接利用锐角三角函数关系得出AB 的长度，然后由勾股定理求得BC 的长度．
【详解】
解：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°， AC ＝3，sin B ＝35， ∴sin B ＝AC AB
， 335
AB =， ∴AB ＝5．
∴由勾股定理，得BC ＝
2222534AB AC -=-=．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练识记锐角三角函数的定义是解题关键，正弦：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ． 7．B
解析：B
【分析】
先利用勾股定理求出BC ，再根据正切公式计算即可．
【详解】
在Rt △ABC 中，90︒∠=C ，5AB =，2AC =，
∴BC=
221AB AC -=， ∴tanB=2AC BC
=， 故选：B ．
．
【点睛】
此题考查求角的正切值，勾股定理，熟记计算公式是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
过B 作BE ⊥AD 于E ，过C 作CF ⊥AD 于F ，则四边形BEFC 是矩形，得BE ＝CF ，由坡比得
BE＝CF＝DF＝
2
2
CD＝6（米），AE＝2BE＝12（米），再由勾股定理解答即可．
【详解】
过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，如图所示：
则四边形BEFC是矩形，∴BE=CF．
∵背水坡CD的坡比i=1：1，CD=62∴CF=DF2CD=6（米），∴BE=CF=6米，
又∵斜坡AB的坡比i=1：2=BE
AE
，∴AE=2BE=12（米），
∴AB2222
12665
AE BE
++=（米），
故选：C．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握坡比的定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
先延长BC交PD于点D，在Rt△ABC中，tan76°=BC
AC
，BC=18求出AC，根据BC⊥AC，
AC∥PD，得出BE⊥PD，四边形AHEC是矩形，再根据∠BPD=45°，得出PD=BD，过点A作
AH⊥PD，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，得出
5
12
AH
HP
=，设AH=5k，则PH=12k，
AP=13k，由PD=BD，列方程求出k的值即可．【详解】
解：延长BC交PQ于点D．
∵BC⊥AC，AC∥PQ，
∴BD⊥PQ．
∴四边形AHDC是矩形，CD=AH，AC=DH．
∵∠BPD=45°，
∴PD=BD．
在Rt△ABC中，tan76°=BC
AC
，BC=18米，
∴AC=4（米）．
过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．
∵斜坡AP 的坡度为1：2.4， ∴512
AH HP ，设AH=5k ，则PH=12k ， 由勾股定理，得AP=13k ．
由PH+HD=BC+CD 得：
12k+4=5k+18，
解得：k=2，
∴AP=13k=26（米）．
故选：C ．
【点睛】
此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、锐角三角函数、坡度与坡角等，关键是做出辅助线，构造直角三角形．
10．B
解析：B
【分析】
首先证明四边形ACDF 是矩形，利用∠PBE 的正弦值可求出AC 的长，即可得DF 的长，利用∠PEB 的正切值即可得答案．
【详解】
∵FD ⊥AB ，AC ⊥EB ，
∴DF ∥AC ，
∵AF ∥EB ，
∴四边形ACDF 是平行四边形，
∵∠ACD ＝90°，
∴四边形ACDF 是矩形，
∴DF ＝AC ，
在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，∠ABE=43°，
∴AC ＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m ），
∴DF ＝AC ＝1.12（m ），
在Rt △DEF 中，∵∠FDE ＝90°，∠PEB=20°，
∴tan ∠PEB ＝DF DE
≈0.4，
∴DE≈1.12
0.4
＝2.8（m），
故选：B．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用及矩形的判定与性质，熟练掌握各三角函数的定义是解题关键．
11．C
解析：C
【分析】
根据特殊角的三角函数值解答即可.
【详解】
tan60°=3，
故选C.
【点睛】
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
12．C
解析：C
【分析】
首先利用勾股定理计算出BC长，再根据余弦定义可得答案．
【详解】
解：如图：
∵∠C＝90°，AC15AB＝4，
∴BC22
AB AC
-1615
-1，
∴cosB＝BC
AB ＝
1
4
，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了锐角三角函数定义，解题的关键是掌握余弦：锐角B的邻边a与斜边c的比叫做∠B的余弦，记作cosB．
二、填空题
13．【分析】由为公共角证明可得由设则求解再利用从而可得答案【详解】
解：为公共角设（负根舍去）故答案为：【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质求解锐角三角函数值掌握以上知识是解题的关键
【分析】
由A ∠为公共角，ABD ACB ∠=∠，证明,ABD ACB ∽ 可得2,AB AD AC =由
1
5
AD AC =
，设,AD m = 则5,AC m = 求解,AB = ,BD == 再利用 sin ,AD ABD BD
∠=从而可得答案． 【详解】 解： A ∠为公共角，ABD ACB ∠=∠，
,ABD ACB ∴∽ ,AB AD AC AB
∴= 2,AB AD AC ∴= 1
5
AD AC =
，设,AD m = 5,AC m ∴= 2255,AB m m m ∴==
,AB ∴= （负根舍去）
90,A ∠=︒
,BD ∴==
=
sin
AD ABD BD ∴∠===
故答案为：
6
【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定与性质，求解锐角三角函数值，掌握以上知识是解题的关键．
14．【分析】作DE ⊥x 轴垂足为E 设OA=m 则点B 坐标为根据旋转的性质求出OA=OD=m ∠AOD=60°求出点D 坐标为构造关于m 的方程解方程得出点B 坐标即可求解【详解】解：如图作DE ⊥x 轴垂足为E 设OA=
解析：-【分析】
作DE ⊥x 轴，垂足为E ，设OA=m ，则点B 坐标为(),3m -，根据旋转的性质求出OA=OD=m ，∠AOD=60°，求出点D 坐标为13,2m m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，构造关于m 的方程，解方程得
出点B 坐标，即可求解．
【详解】
解：如图，作DE ⊥x 轴，垂足为E ，设OA=m ，则点B 坐标为(),3m -，
∵线段OA 绕点О按顺时针方向旋转60︒得到线段,OD
∴OA=OD=m ，∠AOD=60°，
∴1cos 2
OE OD DOE m =∠=， 3sin DE OD DOE m =∠=
， ∴点D 坐标为13,2
2m m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， ∵点B 、D 都在反比例函数()0k y k x =
≠的图象上， ∴13322
m m m -=-， 解得124,0x x ==（不合题意，舍去），
∴点B 坐标为()
4,3-，
∴4343k =-⨯=-．
故答案为：43-
【点睛】
本题为反比例函数与几何综合题，考查了反比例函数的性质，旋转的性质，三角函数等知识，理解反比例函数性质，构造方程，求出点B 坐标是解题关键．
15．【分析】由函数图像可得：当时此时面积最大可得当时重合可得如图过作于求解再求解再利用列方程解方程可得答案【详解】解：由函数图像可得：当时重合此时面积最大当时重合如图过作于菱形经检验：符合题意故答案为：
解析：433 【分析】
由函数图像可得：当4x s =时，=PAB S a ，此时面积最大，可得=4AC ， 当4x a =+时，,P D 重合，可得,AB CD a == 如图，过C 作CK AB ⊥于,K 求解2,CK = 再求解
30CAK ∠=︒，
30BCK ∠=︒， 再利用cos ,CK BCK BC ∠= 列方程，解方程可得答案． 【详解】
解：由函数图像可得：
当4x s =时，,P C 重合，=PAB S a ，此时面积最大，
14=4AC ∴=⨯，
当4x a =+时，,P D 重合，
()144,AB CD a a ∴==⨯+-=
如图，过C 作CK AB ⊥于,K
1,2
a CK a ∴= 2,CK ∴=
1sin ,2
CK CAK CA ∴∠== 30CAK ∴∠=︒，
60ACK ∴∠=︒，
菱形ABCD ，
,30,AB BC a BCA BAC ∴==∠=∠=︒
603030BCK ∴∠=︒-︒=︒，
cos ,CK BCK BC ∠=
23cos30a ∴=︒= 34,a =
43.3a ∴= 经检验：43a =
符合题意． 故答案为：
43. 【点睛】 本题考查的是从函数图像中获取信息，菱形的性质，锐角三角函数的运用，掌握以上知识是解题的关键．
16．【分析】作CD ⊥AB 于点D 由可设BC=xAC=2x 根据勾股定理即可求出BC 和AC 的值利用面积法求出CD 的值再利用勾股定理求出BD 的值得到点C 的坐标然后可求出k 的值【详解】如图作CD ⊥AB 于点D ∵为斜
解析：12
【分析】
作CD ⊥AB 于点D ．由1tan 2
A =可设BC=x ，AC=2x ，根据勾股定理即可求出BC 和AC 的值，利用面积法求出CD 的值，再利用勾股定理求出BD 的值，得到点C 的坐标，然后可求出k 的值．
【详解】
如图，作CD ⊥AB 于点D ．
∵()5,0A -，O 为Rt ABC ∆斜边AB 的中点，
∴()5,0B ，
∴OB=5，AB=10．
∵1tan 2A ==BC AC
， ∴可设BC=x ，AC=2x ，由勾股定理得
x 2+(2x)2=102，
∴x=25
∴BC=25AC=45
∵1122AC BC AB CD ⋅=⋅， ∴254510CD ⨯=， ∴CD=4，
∴BD=()22222542BC CD -=-=， ∴OD=5-2=3，
∴C(3，4)．
反比例函数(0)k y k x
=
≠经过点C ， ∴k=3×4=12．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了勾股定理，面积法求线段的长，锐角三角函数的定义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，求出点C 的坐标是解答本题的关键． 17．【分析】如图过点F 作FH ⊥AC 于H 首先证明设FH=2kAH=3k 根据tan ∠FCH=构建方程求解即可【详解】解：如图过点F 作FH ⊥AC 于H 在Rt △ABC 中∵∠ACB=90°AC=3BC=4∴AB=
解析：5485
【分析】 如图，过点F 作FH ⊥AC 于H ．首先证明
23FH AH =，设FH=2k ，AH=3k ，根据tan ∠FCH=
FH AD CH CD
=，构建方程求解即可． 【详解】
解：如图，过点F 作FH ⊥AC 于H ．
在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴222243CB AC +=+，
∵CD ⊥AB ，
∴S △ABC =12•AC•BC=12
•AB•CD ，
∴CD=125，
==95， ∵FH ∥EC ， ∴
FH AH EC AC
=， ∵EC=EB=2， ∴23
FH AH = ，设FH=2k ，AH=3k ，CH=3-3k ， ∵tan ∠FCH=FH AD CH CD
=， ∴9
2512
335
k k =-， ∴k=917
， ∴FH=1817，CH=3-2717=2417
， ∴
=
3017， ∴DF=1230517-=5485
， 故答案为
5485
． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
18．3【分析】由题意得△BEF ≌△DEF 故∠EDF=∠B ；由三角形的外角性质即可解决【详解】解：∵在△ABC 中∠BAC=90°AB=AC=5∴∠B=∠C 设
BE=x ∵AB=5∴AE=AB-BE=5-x ∵将
解析：3
【分析】
由题意得△BEF ≌△DEF ，故∠EDF=∠B ；由三角形的外角性质，即可解决．
【详解】
解：∵在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=5，
∴∠B=∠C ，
设BE=x ，∵AB=5
∴AE=AB-BE=5-x ，
∵将△ABC 折叠，使点B 落在AC 边上的点D 处，
∴△BEF ≌△DEF
∴BE=DE=5-x ，∠B=∠EDF=∠C
∵∠ADE+∠EDF=∠C+∠DFC
∴∠ADE=∠DFC
∴sin ∠CFD=sin ∠ADE=
523
AE x DE x -==， 解得，x=3，
即，BE=3
故答案为：3
【点睛】
主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、三角形外角性质等知识来解决问题． 19．y ＝【分析】过点A 作AC ⊥OB 于C 设过点A 的反比例函数的表达式为y ＝根据等边三角形的性质得到OA ＝OB=2∠AOC ＝60°利用三角函数求出OCAC 得到点A 的坐标代入函数解析式即可【详解】解：过点A 作
解析：y ＝
x 【分析】
过点A 作AC ⊥OB 于C ，设过点A 的反比例函数的表达式为y ＝k x
，根据等边三角形的性质得到OA ＝OB=2，∠AOC ＝60°，利用三角函数求出OC 、AC ，得到点A 的坐标，代入函数解析式即可．
【详解】
解：过点A 作AC ⊥OB 于C ，
设过点A 的反比例函数的表达式为y ＝
k x ， ∵△OAB 是等边三角形，()2,0B ，
∴OA ＝OB=2，∠AOC ＝60°，
∴OC ＝OA ×cos ∠AOC ＝2×1
2＝1，AC ＝OA ×sin ∠AOC ＝ ∴点A 的坐标为（1），
∴
1
k
，
解得，k ，
∴过点A 的反比例函数的表达式为y ＝x
，
故答案为：y ＝x ．
【点睛】
此题考查等边三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、锐角三角函数、待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是利用锐角三角函数求出OC 、AC 的长． 20．或【分析】如图所示分两种情况利用特殊角的三角函数值求出的度数利用勾股定理求出所求即可【详解】当为钝角时如图所示在中根据勾股定理得：即；当为锐角时如图所示在中设则有根据勾股定理得：解得：则故答案为或【 解析：33或3 【分析】 如图所示，分两种情况，利用特殊角的三角函数值求出ABH ∠的度数，利用勾股定理求出所求即可．
【详解】
当BAC ∠为钝角时，如图所示，
在Rt ABH 中，3tan 3
AH ABH BH ∠==，3BH =， 3AH ∴=，
根据勾股定理得：22(3)323AB =+=，即23AC =，
23333CH CA AH ∴=+=+=；
当BAC ∠为锐角时，如图所示，
在Rt ABH 中，3tan ABH ∠=， 30ABH ∴∠=，
1122
AH AB AC ∴==，
设AH x =，则有2AB AC x ==，
根据勾股定理得：222(2)3x x =+，
解得：x =
则HC AC AH =-=
故答案为【点睛】
此题属于解直角三角形题型，涉及的知识有：等腰三角形的性质，勾股定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握直角三角形的性质及分类的求解的数学思想是解本题的关键．
三、解答题
21．（1）12122x x =-=，；（2）14
-
【分析】
（1）原方程移项后根据平方差公式分解因式，即可得到方程的解；
（2）求出式中特殊角的三角函数值即可得到解答．
【详解】
（1）原方程可化为22x 570+-=（）， ()x 1220x +-=（）
得:120x +=,或20x -=
1212,2x x ∴=-=
解：（2）原式=21122+-（） 11124
=+- 14
=- 【点睛】
本题考查一元二次方程与特殊角三角函数的应用，熟练掌握一元二次方程的解法及特殊角三角函数的值是解题关键．
22．1米
【分析】
过点O 作OE ⊥AC 于点E ，延长BD 交OE 于点F ，设DF=x ，根据锐角三角函数的定义表示OF 的长度，然后列出方程求出x 的值即可求出答案．
【详解】
解：过点O 作OE ⊥AC 于点E ，延长BD 交OE 于点F ．
设DF=x，
∵60OF
tan
DF
︒=，
∴OF3x
=，
∴BF＝3+x，
∵tan30°OF
BF
=，
∴OF3x)，
∴3
3x=(3+x)，
∴x＝1.5，
∴OF＝1.53
⨯ 2.60，
∴OE=2.60+1.5=4.1（米）．
答：灯顶端O到地面的距离为4.1米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中考常考题型．
23．（1）3；（2）①详见解析；
3
【分析】
（1）只要证明DE是等边△DBC的高即可解决问题；
（2）①由△AGD∽△EGF，可得AG DG
EG FG
=，推出
AG EG
DG FG
=，又∠AGE＝∠DGF，即可
推出△AGE∽△DGF；
②求出CF的长即可解决问题；【详解】
解：（1）连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，
∵∠C＝60°，
∴△CDB是等边三角形，
∴DB＝DC＝AB＝3
∵BE＝EC，
∴DE ⊥BC ，
∴∠BDE=∠CDE=2BDC ∠=30° ∴DE ＝BD •cos30°＝233⨯
=3．
（2）①∵AF ⊥EF ，∠CDE=30°，∠C=60°
∴∠AFE=90°，∠DEC=90°
∴∠ADE=∠AFE=90°
∵∠AGD ＝∠EGF ∴∠DAG ＝∠FEG
∵∠DAG ＝∠FEG ，∠AGD ＝∠EGF ，
∴△AGD ∽△EGF ，
∴
AG DG EG FG
=， ∴AG EG DG FG =， ∵∠AGE ＝∠DGF ，
∴△AGE ∽△DGF ，
②作EH ⊥CD 于H ．
∵△AGE ∽△DGF ，
∴∠EAG ＝∠GDF ＝30°，
∵∠GFE ＝∠ADG ＝90°，
∴EF 12=AE 2212=+E AD D 22113(23)2122
=+= 在Rt △ECH 中，CH ＝32
，EH 32=， 在Rt △EFH 中，FH =22EF EH -=2221312(
)()3224-== ， ∴CF ＝332＝332， ∴DF ＝CD ﹣CF 3
【点睛】
本题考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形30°角性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，所以中考常考题型．
24．（1）10- ；（2）2；
【分析】
（1）直接利用乘法分配律进行计算即可；
（2）利用平方根以及立方根性质化简，合并即可得到答案；
【详解】
（1)1；
（2）(212cos 45-︒
=3421-+
=2
【点睛】
本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；
25．（1）见解析；（2）见解析；（3）
52或203
或8或10． 【分析】
（1）由矩形的性质得到,//,90AB CD AB CD A =∠=︒，继而由一组对边平行且相等证明四边形AEFD 是平行四边形，再根据有一个直角的平行四边形是矩形即可解题； （2）由矩形的性质结合翻折的性质解题即可；
（3）分四种情况讨论，①当MA MD =时，②当MD AD =时，③当DA DM =时，④当MA MD =时，分别解题即可．
【详解】
（1）证明：四边形ABCD 是矩形， ,//,90AB CD AB CD A ∴=∠=︒
,AE EB DF FC ==
,//AE DF AE DF ∴=
∴四边形AEFD 是平行四边形
90A ∠=︒
∴四边形AEFD 是矩形；
（2）证明：如图，连接,PM BM
四边形AEFD 是矩形，
//EF AD ∴
BE AE =
BO OP ∴=
由翻折可知，90PMB A ∠=∠=︒
OM OB OP ∴==；
（3）①当MA MD =时，连接BM ，过M 作MH AD ⊥于H ，交BC 于F ， ,MA MD MH AD =⊥
4AH HD ∴==
90BAH ABF AHF ∠=∠=∠=︒
∴四边形是ABFH 矩形，
4,5BF AH AB FH ∴====
90BFM ∴∠=︒
5BM BA == 2222543FM BM BF ∴=-=-=
532HM HF FM ∴=-=-=
90,90ABP APB MAH APB ∠+∠=︒∠+∠=︒
ABP MAH ∴∠=∠ 90BAP AHM ∠=∠=︒
ABP HAM ∴
AP AB HM AH
∴= 524
AP ∴= 52
AP ∴=；
②当AM AD =时，连接BM ，设BP 交AM 于F ，
8,5,AD AM BA BM BF AM ====⊥
4AF FM ∴==
2222543BF AB AF ∴=-=-=
tan AP AF ABF AB BF ∠=
= 453
AP ∴= 203AP ∴=
；
③当DA DM =时，此时P 点与D 点重合，
8AP =；
④当MA MD =时，连接BM ，过点M 作MH AD ⊥于H ，交BC 于F ， 5,4BM BF ==
3,358FM HM ∴==+=
ABP HAM
AP AB HM AH
= 584
AP ∴
= 10AP ∴=；
综上所述，满足条件的AP 的值为52或203或8或10． 【点睛】 本题考查四边形综合题，涉及矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、正切当知识，是重要考点，有一定难度，掌握相关知识是解题关键．
26．（1）
12
；（2）(2,2)- 【分析】
（1）将特殊角的三角函数值代入计算即可；
（2）根据旋转变换的性质得到旋转变换后点A 的对应点坐标，根据平移的性质解答即可．
【详解】
解：（1）2tan60sin 45tan 452cos30︒-︒+︒-︒ 2
2331222⎛⎫=-+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭ 13132
=-+- 12
=． （2）∵点C 的坐标为(1,0),2AC =，
∴点A 的坐标为(3,0)，
如图所示，将Rt ABC 先绕点C 逆时针旋转90°，
则点A'的坐标为(1,2)，
-．
再向左平移3个单位长度，则变换后点A'的对应点坐标为(2,2)
【点睛】
本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移以及特殊角的三角函数值，掌握旋转变换、平移变换的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键．。