广义相对论入门12-雷达回波延迟20160604

在分析水星轨道近日点进动以及星光偏折时，仅涉及粒子在空间中的运动轨迹，而不是一种时间效应。

1964年，Shapiro 首先提出，可利用行星的雷达回波延迟效应验证引力场方程。

自然单位制下，真空中的史瓦西外部解为
2
222221
22d sin d d 21d 21d ϕ
θθr r r r M t r M s ++⎟⎠⎞⎜⎝
⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝
⎛−
−=−对于光子，0d 2
=s 。

取2
π
θ=
平面，1sin =θ，则()()2
221
22
2222122
22221
22
222221
22d d 21d 21d dcos d 21d 21d d sin d 21d 21d sin d d 21d 21d 0ϕ
ϕ
θϕ
θθϕ
θθr r r M t r M
r r r r M t r M r r r r M t r M r r r r M t r M s +⎟⎠⎞⎜⎝
⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝
⎛−
−=+−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−==−−−−两边除以()2
d λ，得到
d d d d 21d d 212
2212=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−λϕλλr r r M t r M 0
d d 1d d 21d d 212
222
1
2
=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝
⎛−−−λϕλλr r r r M t r M 在近日点，0r r =，
0d d =λr
，所以⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎟⎠
⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟
⎠
⎞⎜⎝⎛==00
2
0202
2d d 21d d r r r r t r
M
r r λλϕ角动量λϕθd d sin ~
2
2⋅
=r L 守恒，所以在2
π
θ=平面上，0
d d d d 22
r r r r =⎟⎠⎞⎜⎝⎛=λϕλϕ能量λ
d d 21t
r
M E ⎟
⎠⎞⎜⎝
⎛
−
=守恒，所以在2πθ=平面上，⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟
⎠⎞⎜⎝⎛−=0d d 21d d 210r r t r M t r M λ
λ
2
2
02
d d 2121d d 0
⎟⎠
⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜
⎜⎝
⎛−−
=⎟⎠
⎞⎜⎝⎛=λλt r
M r M t r r 所以0d d 1d d 21d d 212
222
1
2
=⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝
⎛−−−λϕλλr r r r M t r M 可以化为0
d d 21d d 1d d 21222
2
2
1
0=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝
⎛−−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝
⎛−=−λλϕλt r M r r r r M r r 0
d d 21d d 21d d 2122
02
02
1
0=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝
⎛−−⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠
⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠
⎞
⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−λλλt r M t r
M
r r r r M r r 0d d 21d d 212121d d 212
22
00202
1
=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎝
⎛−−
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝
⎛−−λλλt r M t r M r M r M r r r r M 两边除以2
d d ⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛λt ，得到
21212121d d 212
002
021=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎝
⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−
⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−r M r M
r M
r M r r t r r M 1
2
002
02
2121212121d d −⎟
⎠
⎞
⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎜⎝
⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝
⎛−=⎟⎠
⎞⎜⎝⎛r M r M r M r M r r r M t r r r M r M
r r r M t d 2121121d 2
10201−
−⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡−−
⎟
⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝
⎛−=由于12<<r M ，略去
r
M 2的高次项，则
()
()()()()()
()()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=+⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=+−+−=++−+−=−+−=⎟
⎟⎠⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠
⎞
⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟
⎟⎠⎞⎜⎜⎝
⎛+−⎟
⎠
⎞⎜⎝⎛−≈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜
⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝
⎛−
⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≈−−
⎟⎠⎞⎜⎝⎛−r r r Mr r r r r r r r Mr r r r r r r r Mr r r r r r r r r r Mr r r r r r
Mr r r r M r M r r r r r M r M r r r M r M r r r M r M
r r 002200220022
003220022003000220030
22002
02
002
00200
2
021112121212122122112121121211所以有
()()()∫∫∫⎦
⎤⎢⎣⎡+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−≈⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−≈⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−−−−
−→r
r r r r r r r r r r r Mr r M r
r r r M r r r Mr r
r r r M r r r Mr r
r t 0000
d 211d 2111d 2121100212
2
0002
12
201
2
1002
12
2
0该积分可以分成三个部分计算：
2
022
022
2
022022
1
22
2
2
12
200
00
00d d 121d d d 1r r r r r r r r r r r
r r
r r r r r r r r
r r r r r r
r −=−=−=−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝
⎛−∫∫∫∫∫−
−
2
0220
2
2022
1
2
20ln
2ln 2d 1
2d 120
r r r r M r
r r M r r r M r r r r
M r r r r r
r −+⋅=−+⋅=−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−∫∫
−
()()()()
02
00
2
1
00
2
102300
002
12
20000d d d 1r r r r M
r r r r r r r r M r r r r r r M r r r r Mr r r r r r r r
r +−=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜
⎝
⎛+−=−+=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−∫∫∫−−
所以
02022
2
ln 20
r r r r M
r r r r M r r t r r +−+−+⋅+−=→恢复普通单位制，即
302
023202ln 210
r r r r c
GM r r r r c GM r r c t r r +−+−++−=→在无穷远处（r 和r 0很大且近似相等）或没有引力源（M=0）的地方，时空平直，则
2
0210r r c
t r r −=
→延迟量为
3
02
023ln 20
r r r r c
GM r r r r c GM t r r +−+−+=∆→雷达回波的总延迟量为
()
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+′−′++−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−′+′+−+≈∆+∆=∆→′→00003020202023
2ln
ln 420
0r r r r r r r r c GM r r r r r r r r c
GM t t t r r r r 当r>>r 0且r'>>r 0时，
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛′⋅+=
+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′+≈⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝⎛+′−′++−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−′+′+−+≈∆203
3
00300003020202023
4ln 1442ln 2ln 42ln
ln 4r r r c GM c
GM
r r r r c GM r r r r r r r r c GM
r r r r r r r r c
GM
t 日地距离km 1049.18×，水星轨道平均半径km 108.57×，太阳半径km 100.75
×，太阳质量kg 102.030
×；引力常数2211
kg m N 10
67.6−−⋅⋅×=G ，真空光速1
8s m 103.0−⋅×=c 。

当雷达波从太阳边缘通过时，在地球上观测到经水星反射的雷达波总延迟量最大，为
μs
240max ≈∆t 实测值为：
（1）1968年，I.I.Shapiro 等人对水星测得()0.20.9max max ±×∆=∆理论实测t t ；（2）1971年，I.I.Shapiro 等人对金星测得()0.051.02max max ±×∆=∆理论实测t t ；（3）1968年，J.D.Anderson 等人对水手VI 号、水手VII 号人造卫星测得
()0.041.00max max ±×∆=∆理论实测t t 。