2021年北师版九年级数学下册《二次函数》检测试题及答案分析

北师版九年级数学下册《二次函数》检测试题
时间：90分满分：100分
学校：班级：姓名：
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列函数中是二次函数的是()
A．y＝3x－1 B．y＝3x2－1 C．y＝(x＋1)2－x2D．y＝x2－1
2．抛物线y＝2x2＋1的顶点坐标是()
A．(2，1) B．(0，1) C．(1，0) D．(1，2)
3．将二次函数y＝x2－2x＋4化成y＝a(x－h)2＋k的形式正确的是() A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x－1)2＋3
C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2＋4
4．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的表达式为()
A．y＝(x＋2)2＋2
B．y＝(x－2)2－2
C．y＝(x－2)2＋2
D．y＝(x＋2)2－2
5．关于抛物线y＝x2－2x＋1，下列说法错误的是()
A．开口向上
B．与x轴有两个重合的交点
C．对称轴是直线x＝1
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
6．点A(2.18，－0.51)、B(2.68，0.54)在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个近似解可能是()
A．2.18 B．2.68 C．－0.51 D．2.45
7．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝ax＋b(a、b都不为0)的图象的相对位置可以是()
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
下列说法正确的是()
A．抛物线开口向下B．当x＞－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2 D．抛物线的对称轴是直线x＝－5 2
9．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，则能获取的最大利润是()
A．600元B．625元C．650元D．675元
10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点(－1，0)和点(0，－3)，且顶点在第四象限，设P＝a＋b＋c，则P的取值范围是()
A．－3＜P＜－1 B．－6＜P＜0 C．－3＜P＜0 D．－6＜P＜－3
二、填空题(每题3分，共30分)
11．二次函数y＝x2＋2x－4的图象的开口方向是________，对称轴是直线________，顶点坐标是___________。

12．函数y＝x2＋2x＋1，当y＝0时，x＝______；当1＜x＜2时，y随x的增大而________(填“增大”或“减小”)。

13．二次函数y＝－2x2－4x＋5的最大值是________。

14．如图，二次函数y＝x2－x－6的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积为________。

15．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，若M＝4a＋2b，N＝a－b，则M、N的大小关系为M________N．(填“＞”“＝”或“＜”)
16．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________。

17．如图是一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽4 m时，拱顶(桥洞的最高点)离水面2 m，当水面下降1 m时，水面的宽度为________。

18．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①2a＋b＝0；②a ＋c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)；④abc＞0.其中正确的结论是________(填写序号)。

19．若二次函数y＝2x2－4x－1的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则1 x1
＋1
x2的值为________。

20．如图，抛物线y＝ax2＋1(a＜0)与过点(0，－3)且平行于x轴的直线相交于点
A、B，与y轴交于点C，若∠ACB为直角，则a＝________。

三、解答题(21题8分，22～25题每题10分，26题12分，共60分)
21．如图，已知二次函数y＝ax2－4x＋c的图象经过点A和点B.
(1)求该二次函数的表达式，写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
(2)若点P(m，m)在该函数的图象上，求m的值。

22．已知二次函数y＝x2＋bx－c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m，0)，(－3m，0)(m≠0)．
(1)求证：4c＝3b2；
(2)若该函数图象的对称轴为直线x＝1，试求二次函数的最小值。

23．已知二次函数的图象以A(－1，4)为顶点，且过点B(2，－5)．
(1)求该函数的表达式；
(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
(3)将该函数图象向右平移，当图象经过原点O时，A、B两点随图象移至A′、
B′，求△OA′B′的面积。

24．如图，二次函数y＝(x＋2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的表达式；
(2)根据图象，写出满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围。

25．某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx ＋n，其变化趋势如图②所示。

(1)求y2的表达式；
(2)第几月销售这种水果，每千克所获得的利润最大？每千克所获得的最大
利润是多少？
26．我们规定当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个不同的交点A、B时，线段AB称为该抛物线的“横截弦”，其长度记为d.
(1)已知抛物线y＝2x2－x－3，则d＝________；
(2)已知抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(1，0)，当d＝2时，求该抛物线所
对应的函数表达式；
(3)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的交点为点A(1，0)、B，与y轴交于
点D.
①抛物线恒存在“横截弦”，求c的取值范围；
②求d关于c的函数表达式；
③连结AD、BD，设△ABD的面积为S.当1≤S≤10时，请直接写出c的取
值范围。

答 案
一、1．B 2．B 3．B 4．B 5．D 6．D 7．A 8．D 9．B
10．B 点拨：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)过点(－1，0)和点(0，－3)，∴0＝a
－b ＋c ，－3＝c ，
∴b ＝a －3.∵当x ＝1时，y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a ＋b ＋c ，∴P ＝a ＋b ＋c ＝a ＋a －3－3＝2a －6.
∵抛物线顶点在第四象限，a ＞0， ∴b ＝a －3＜0，∴a ＜3， ∴0＜a ＜3，∴－6＜2a －6＜0， 即－6＜P ＜0.故选B .
二、11．向上；x ＝－1；(－1，－5) 12．－1；增大 13．7 14．15 15．＜ 16．－1＜x ＜3 17.2 6 m 18．①④ 19．－4
20．－1
4 点拨：设直线AB 与y 轴交于点D ，则D (0，－3)．易知C (0，1)，∴
CD ＝4.易知△ABC 为等腰三角形，又∠ACB ＝90°，∴△ABC 为等腰直角三角形．∴AD ＝BD ＝CD ＝4.∴B (4，－3)．把B (4，－3)的坐标代入y ＝ax 2＋1得16a ＋1＝－3，解得a ＝－1
4.
三、21．解：(1)将A (－1，－1)，B (3，－9)的坐标分别代入y ＝ax 2－4x ＋c ，得
⎩⎨⎧a ＋4＋c ＝－1，9a －12＋c ＝－9，解得⎩⎨⎧a ＝1，c ＝－6. ∴该二次函数的表达式为y ＝x 2－4x －6. ∵y ＝x 2－4x －6＝(x －2)2－10，
∴该抛物线的对称轴为直线x ＝2，顶点坐标为(2，－10)． (2)∵点P (m ，m )在该函数的图象上， ∴m 2－4m －6＝m .∴m 1＝6，m 2＝－1. ∴m 的值为6或－1.
22．(1)证明：由题意，知m、－3m是一元二次方程x2＋bx－c＝0的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得m＋(－3m)＝－b，m·(－3m)＝－c，∴b ＝2m，c＝3m2.∴4c＝12m2，3b2＝12m2.∴4c＝3b2.
(2)解：由题意得－b
2＝1，∴b＝－2.
由(1)得c＝3
4b
2＝
3
4×(－2)
2＝3，
∴y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴二次函数的最小值为－4。

23．解：(1)设该函数的表达式为y＝a(x＋1)2＋4(a≠0)，将B(2，－5)的坐标代入得a＝－1，
∴该函数的表达式为y＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x＋3.
(2)令x＝0，得y＝3，因此该函数图象与y轴的交点坐标为(0，3)．
令y＝0，得－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，因此该函数图象与x轴的交点坐标为(－3，0)，(1，0)．
(3)设函数图象与x轴的交点为M、N(M在N的左侧)，由(2)知M(－3，0)，
N(1，0)．
当函数图象向右平移直至经过原点O时，M与O重合，可知函数图象向右平移了3个单位，故A′(2，4)，B′(5，－5)，
如图，易知S△OA′B′＝1
2×(2＋5)×9－
1
2×2×4－
1
2×5×5＝15.
24．解：(1)∵抛物线y＝(x＋2)2＋m经过点A(－1，0)，∴0＝1＋m.∴m＝－1.
∴二次函数的表达式为y＝(x＋2)2－1＝x2＋4x＋3.
∴点C的坐标为(0，3)，
抛物线的对称轴为直线x＝－2.
又∵点B、C关于对称轴对称，
∴点B 的坐标为(－4，3)． ∵y ＝kx ＋b 经过点A 、B ， ∴⎩⎨⎧－k ＋b ＝0，－4k ＋b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝－1. ∴一次函数的表达式为y ＝－x －1.
(2)由图象可知，满足(x ＋2)2＋m ≥kx ＋b 的x 的取值范围为x ≤－4或x ≥－1. 25．解：(1)由题意得，函数y 2＝mx 2－8mx ＋n 的图象经过点(3，6)，(7，7)，
∴⎩⎨⎧9m －24m ＋n ＝6，
49m －56m ＋n ＝7，
解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1
8，n ＝638.
∴y 2＝18x 2－x ＋63
8(1≤x ≤12，且x 是整数)． (2)设y 1＝kx ＋b .
∵函数y 1＝kx ＋b 的图象过点(4，11)，(8，10)， ∴⎩⎨⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.
∴y 1＝－1
4x ＋12(1≤x ≤12，且x 是整数)． 设这种水果每千克所获得的利润为w 元，
则w ＝y 1－y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x ＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1
8x 2－x ＋638＝－18x 2＋34x ＋338.
∴w ＝－18(x －3)2＋21
4(1≤x ≤12，且x 是整数)．
∴当x ＝3时，w 取最大值，最大值为21
4.
∴第3月销售这种水果，每千克所获得的利润最大，每千克所获得的最大利润是21
4元．
26．解：(1)5
2
(2)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2经过点A (1，0)，d ＝2，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标是(－1，0)或(3，0)，
将A (1，0)的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋2，得a ＋b ＝－2，将(－1，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋2，得a －b ＝－2，将(3，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋2，得9a ＋3b ＝－2.由
⎩⎨⎧a ＋b ＝－2，a －b ＝－2，
得 ⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝0.由⎩⎨⎧a ＋b ＝－2，
9a ＋3b ＝－2，
得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝－83，
∴y ＝－2x 2＋2或y ＝23x 2－8
3x ＋2.
(3)将A (1，0)的坐标代入y ＝－x 2＋bx ＋c 得b ＋c ＝1，∴y ＝－x 2＋(1－c )x ＋c .令y ＝0，得－x 2＋(1－c )x ＋c ＝0，∴x 1＋x 2＝1－c ，x 1·x 2＝－c .
①∵抛物线恒存在“横截弦”，∴Δ＝(1－c )2＋4c ＝c 2＋2c ＋1＝(c ＋1)2＞0， ∴c ≠－1.
②d ＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(c ＋1)2＝|c ＋1|，当c ＞－1时，d ＝c ＋1；当c ＜－1时，d ＝－c －1. ③－5≤c ≤－2或1≤c ≤4.。