陕西省师大附中、西工大附中高三数学第六次适应性训练 文

陕西省师大附中、西工大附中高三第六次适应性训练数 学（文科）
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一、选择题:（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.） 1．复数31i
i
++等于 A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -
2．条件:(1)(3)0p x x --≤，条件2
:11
q x ≥-，则p 是q 的
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
3．一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为
A ．12
B ．32
C ．1
D ．1
3
4．在△ABC 中，2
2
sin sin A C -=(sin sin )sin A B B -，则角C 等于
A ．
6π B ．3
π
C ．56π
D ．23π
5．已知,x y 的值如表所示：
如果y 与x 呈线性相关且回归直线方程为72
y bx =+，则b =
A ．12-
B ． 12
C ．110-
D ．1
10
6．在等差数列{}n a 中，有35710133()2()48a a a a a ++++=，则此数列的前13项和为：
A ． 24
B ．39
C ．52
D ．104
7．已知函数()f x 在R 上可导，且2
()2'(2)f x x x f =+，则函数()f x 的解析式为
A ．2
()8f x x x =+ B ．2
()8f x x x =- C ．2
()2f x x x =+ D ．2
()2f x x x =-
8．在三棱锥A BCD -中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，ABC ∆、ACD ∆、ADB ∆ 的面积分别为
22
、
32
、
62
，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为
A ．2π
B ．6π
C ．6π
D ．46π
9．若双曲线22221(0)x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，线段1F 2F 被抛物线2
2y bx =的焦点分成7:5
的两段，则此双曲线的离心率为 A ．9
8
B ．63737
C ．324
D ．31010
10．在区间[]0,10内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[]0,10内的概率是：
A ．110
B ．
1010 C ．4π D ．40
π
第II 卷 非选择题（共100分） 二、填空题：（ 本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．已知集合}0)1ln({},2{>+=<=x x B x x A ，则A B = ．
12．若平面向量(2,1)a =和(,3)b x =-互相平行，
其中x R ∈.则a b += .
13．某算法流程图如图所示，则输出的结果
是 .
14．已知偶函数()()y f x x R =∈在区间[1,0]-上
单调递增，且满足(1)(1)0f x f x -++=，给出下列判断： （1）(5)0f =; （2）()f x 在[1,2]上是减函数；
（3）函数()y f x =没有最小值； （4）函数()f x 在0x =处取得最大值；
（5）()f x 的图像关于直线1x =对称. 其中正确的序号是 .
15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）．
A ．（坐标系与参数方程） 在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 .
B ．（不等式选讲）已知关于x 的不等式12011(x a x a a ++-+<是常数)的解是非空集合,则a 的取值范
围 .
C ．(几何证明选讲）如图：若PA PB =，2APB ACB ∠=∠，AC 与PB 交于
点D ，且4PB =，3PD =，则AD DC ⋅= .
三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说
明，证明过程或
演算步骤） 16．（本题满分12分）
A
B
D
P
C
已知函数2
π()cos 12f x x ⎛
⎫=+ ⎪
⎝⎭
，1()1sin 22g x x =+。

（I ）求函数()y f x =图像的对称轴方程；
（II ）求函数()()()h x f x g x =+的最小正周期和值域。

17．（本题满分12分）
如图，已知四边形ABCD 与''ABB A 都是正方
形，点E 是A A '的中点，ABCD A A 平面⊥'。

（I ）求证：C
A '//平面BDE ；
（II ）求证：平面AC A '⊥平面BDE 。

18．（本题满分12分）
数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列。

（I ）求c 的值；
（II ）求{}n a 的通项公式。

19．（本题满分12分）
从某学校高三年级800名学生 中随机抽取50名测量身高，据 测量被抽取的学生的身高全部 介于155cm 和195cm 之间，将 测量结果按如下方式分成八
组：第一组[)155,160．第二组
[)160,165；…第八组[]190,195，
右图是按上述分组得到的条形图。

（I ）根据已知条件填写下表：
组
别 1 2 3 4 5 6 7 8
样
本数
（II ）估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm 以上(含180cm )的人数；
（Ⅲ）在样本中，若第二组有1人为男生，其余为女生，第七组有1人为女生，其余为男生，在第二组和
第七组中各选一名同学组成实验小组，问：实验小组中恰为一男一女的概率是多少？
20．（本题满分13分）
已知1F 、2F 分别是椭圆2
214
x y +=的左、右焦点。

（I ）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，125
4
PF PF =-，求点P 的坐标； （II ）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），
求直线l 的斜率k 的取值范围。

21．（本题满分14分）
设函数2
()()f x x x a =--（x ∈R ），其中a ∈R 。

（I ） 当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （II ）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值；
（Ⅲ）当3a >时，在区间]0,1[-上是否存在实数k 使不等式(cos )f k x -≥
2
2
(cos )f k x -对任意的x ∈R 恒成立,若存在,求出k 的值,若不存在,说明理由。

数学（文科）参考答案与评分标准 一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
D
C
A
B
B
C
B
C
C
D
二、填空题:
11．}21|{<<-x x ； 12．25； 13．16； 14．⑴⑵⑷．
15（选做题）A ．cos 3ρθ=； B ．1005a <； C ． 7． 三、解答题：
16. （本题满分12分）
解：（I ）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =
++．令π
26
x +πk =， 所以函数()y f x =图像对称轴的方程为π π
212
k x =-（k ∈Z ）
．…………6分 （II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛
⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
1π31313cos 2sin 2cos2sin 22622222
x x x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=
+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 1π3sin 2232x ⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭． 所以，最小正周期是T π=，值域[1,2] …………………………12分 17．（本题满分12分）
（1）设BD 交AC 于M ，连结ME ．
ABCD 为正方形，所以M 为AC 中点， ……2分
又E 为A A '的中点∴ME 为AC A '∆的中位线
C A ME '//∴ ……4分 又BDE C A BDE ME 平面平面⊄⊂',
//'C A ∴平面BDE ． ……6分
（2）AC BD ABCD ⊥∴为正方形
18．（本题满分12分）
解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+，因为1a ，2a ，3a 成等比数列，
所以2
(2)2(23)c c +=+，解得0c =或2c =．
当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =．…………6分 （II ）当2n ≥时，由于21a a c -=，322a a c -=，
1(1)n n a a n c --=-，所以1(1)
[12(1)]2
n n n a a n c c --=++
+-=。

又12a =，2c =，故2
2(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=，
，． 当n=1时，上式也成立，
所以2
2(12)n a n n n =-+=，
，
……………………………………12分
19. （本题满分12分）
解：(1)由条形图得第七组频率为1(0.0420.0820.220.3)0.06,0.06503-⨯+⨯+⨯+=⨯=. ∴第七组的人数为3人. ……………………………………3分
组别 1 2 3 4 5 6 7 8
样本中人数
2
4
10
1
0 1
5 4
3
2
(2)由条形图得前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82,
后三组频率为1-0.82=0.18.估计这所学校高三年级身高在180cm 以上(含180cm)的人数800×0.18=144(人). ……………………………………7分
(3)第二组四人记为a 、b 、c 、d ，其中a 为男生，b 、c 、d 为女生，第七组三人记为1、2、3，其中1、2为男生，3为女生，基本事件列表如下：
a b c d 1 1a 1b 1c 1d 2 2a 2b 2c 2d 3
3a
3b
3c
3d
所以基本事件有12个,
恰为一男一女的事件有1b ，1c ，1d ，2b ，2c ，2d ，3a 共7个, 因此实验小组中，恰为一男一女的概率是7
12
. …………………12分 20. （本题满分13分）
（I ）因为椭圆方程为2
214
x y +=，知2,1,3a b c === 12(3,0),(3,0)F F ∴-，设(,)(0,0)P x y x y >>，
则2
2
124(3,)(3,)35
PF PF x y x y x y =-----=+-=-
， 又2214x y +=，联立22
2274
14
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，解得22113342x x y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==
⎪⎪⎩⎩， 3
P ∴ ………………………………………………………6分
（II ）显然0x =不满足题意，可设l 的方程为2y kx =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，
联立2
2221(14)1612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩
1212
22
1216,1414k
x x x x k k ∴=+=-++， 且△222
3(16)4(14)120,4
k k k =-+⋅>∴>
又AOB ∠为锐角，0OA OB ∴⋅>，12120x x y y ∴+>， 1212(2)(2)0x x kx kx ∴+++>，
22
2
1212222
12164(4)
(1)2()4(1)2()40141414k k k x x k x x k k k k k -∴++++=++-+=>+++
24,k ∴<
又
234k >
，2
344
k ∴<<， 33(2,(,2)22k ∴∈-- …………13分 21．（本题满分14分）
解：（I ）当1a =时，2
3
2
()(1)2f x x x x x x =--=-+-，得(2)2f =-，且
2()341f x x x '=-+-，(2)5f '=-．
所以，曲线2
(1)y x x =--在点(22)-，
处的切线方程是25(2)y x +=--， 整理得580x y +-=． ……………………………………4分 （Ⅱ）解：2
3
2
2
()()2f x x x a x ax a x =--=-+-
22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=---．
令()0f x '=，解得3
a
x =或x a =． 由于0a ≠，以下分两种情况讨论．
（1）若0a >，当x 变化时，()f x '的正负如下表：
x
3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∞，
3a
3a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， a ()a +，∞
()f x '
- 0 +
0 -
因此，函数()f x 在3a x =
处取得极小值3a f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且34327a f a ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
； 函数()f x 在x a =处取得极大值()f a ，且()0f a =． ………………7分 （2）若0a <，当x 变化时，()f x '的正负如下表：
x ()a -∞， a 3a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 3a 3a ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，∞ ()f x '
- 0 + 0 -
函数()f x 在3a x =
处取得极大值3a f ⎛⎫
⎪⎝⎭
，且34327a f a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
． ……9分
（Ⅲ）假设在区间[]10-，上存在实数k 满足题意.
由3a >，得
13
a
>，当[]10k ∈-，时， cos 1k x -≤，22cos 1k x -≤． 由（Ⅱ）知，()f x 在(]1-∞，上是减函数，
要使2
2
(cos )(cos )f k x f k x --≥，x ∈R 只要2
2cos cos ()k x k x x --∈R ≤
即2
2cos cos ()x x k k x --∈R ≤ ①
设2
2
11()cos cos cos 24g x x x x ⎛
⎫=-=-- ⎪⎝
⎭，则函数()g x 在R 上的最大值为2．
要使①式恒成立，必须2
2k k -≥，即2k ≥或1k -≤． 所以，在区间[]10-，上存在1k =-，使得22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成
立． ……………………………………14分。