四边形反比例函数综合题思路分析

1 （2014•乐山，第23题10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M 为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．
（1）求BD的长；
（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABCM的面积．
2.(2014•黑龙江牡丹江, 第28题10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
CD⊥AB于点D．点
P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段
CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段CD的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？
第2题图
考点：相似形综合题；一元二次方程的应用；等腰三角形的性质；勾股定理；
相似三角形的判定与性质．
反思：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、一元二次方程的应用、勾股定理等知识，具有一定的综合性，而利用等腰三角形的三线合一巧妙地将两腰相等转化为底边上的两条线段相等是解决第三小题的关键．
3.（2014•呼和浩特，第23题8分）如图，已知反比例函数y =（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．
（1）写出反比例函数解析式；
（2）求证：△ACB∽△NOM；
（3）若△ACB与△NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．
4．（2014•德州，第21题10分）如图，双曲线y =（x＞0）经过△OAB的顶点A和OB的中点C，AB∥x轴，点A的坐标为（2，3）．
（1）确定k的值；
（2）若点D（3，m）在双曲线上，求直线AD的解析式；
（3）计算△OAB的面积．
（2）过点P作PH⊥AC，垂足为H，通过三角形相似即可用t的代数式表示PH，从而可以求出S与t之间的函数关系式；利用S△CPQ：S△ABC=9：100建立t的方程，解方程即可解决问题．
（3）可分三种情况进行讨论：由CQ=CP可建立关于t的方程，从而求出t；由PQ=PC或QC=QP不能直接得到关于t的方程，可借助于等腰三角形的三线合一及三角形相似，即可建立关于t的方程，从而求出t．
解答：解：（1）线段CD的长为4.8．
（2）①过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图2所示．
△CHP∽△BCA．∴．∴PH=﹣t．
∴S△CPQ=CQ•PH=t（﹣t）=﹣t2+t．
②∴当t=秒或t=3秒时，S△CPQ：S△ABC=9：100．
（3）①若CQ=CP，t=2.4．
②若PQ=PC，如图2所示．
∵△CHP∽△BCA∴．解得；t=．
③若QC=QP，
过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如图3所示．同理可得：t=．
综上所述：当t为2.4秒或秒或秒时，△CPQ为等腰三角形．
=，再根据反比例函数解析式可得=，则=，而=，可得=，再由∠
=
，
，解得
x
=，
=）上，
=
5如图,E,F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,且满足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是( )
①求DH的最小值，我们发现正方形的顶点D是固定点，H是动点，我们需要研究H的位置是否具有关键性质，这个时候需要进行边角关系的研究；
②由题干条件我们知道△EAB≌△FDC，则∠ABE=∠DCF，而△DGA≌DGC（SAS），∴∠DAG=∠DCG，∴∠DAG=∠ABE，∵∠DAG+∠HAB=90°，∴∠ABE+∠HAB=90°，∴AH⊥HB，这个时候我们得到了垂直关系，知道△HAB是直角三角形；
③结合最值问题中常用的三个定理，我们取AB中点M，连接HM，DM，如图所示：
此时DH≥DM-HM，且这三点共线时，取等号，此时DH=DM-HM，
易求得HM=1，,
∴，至此得出DH的最小值为，故选D．。