大连市大连市第三十七中学九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》检测卷(含答案解析)

一、选择题
1．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，F是AC上的点，判断下列说法错误的是（）
A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线
B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥AC
C．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线
D．若
3
2
BE EC
=，则AC是⊙O的切线
2．已知：如图，四边形AOBC是矩形，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，点A的坐标为（0，3），∠OAB＝60°，以AB为轴对折后，C点落在D点处，则D点的坐标为（）
A．
33
(3,)
22
-B．
33
(3,)
22
-C．
33
(3)
22
D．(3,33)
-
3．在ABC中，若
2
1
cos|1tan|0
2
A B
⎛⎫
-+-=
⎪
⎝⎭
，则C
∠的度数是（）
A．45︒B．60︒C．75︒D．105︒
4．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到'
PB的位置，测得(
''
PB C a B C
∠=为水平线），测角仪/B D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）
A ．11sin a +米
B ．11cos a -米
C ．11sin a -米
D ．11cos a +米 5．如图，四边形 ABCD 中，BD 是对角线，AB=BC ，∠ABC=60°，CD=4，∠ADC=60°，则△BCD 的面积为（ ）
A ．43
B ．8
C ．23+4
D ．36 6．在△ABC 中，∠C=90º，AC=3，AB=4，则下列结论正确的是（ ） A ．34sinA = B ．34cos A = C ．34tan A = D ．34cot A = 7．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=5，BC=12，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△AD
E ，使得点D 落在AC 上，则tan ∠ECD 的值为（ ）
A ．23
B ．32
C ．25
D ．355
8．一把5m 长的梯子AB 斜靠在墙上，梯子倾斜角α的正切值为
34
，考虑安全问题，现要求将梯子的倾斜角改为30°，则梯子下滑的距离AA '的长度是（ ）
A ．34m
B ．13m
C ．23m
D ．12
m 9．如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB 的斜边OA 在第一象限，并与x 轴的正半轴夹角为30度，C 为OA 的中点，BC=1，则A 点的坐标为（ ）
A ．()3,3
B ．()3,1
C ．()2,1
D ．()2,3 10．西南大学附中初2020级小李同学想利用学过的知识测量棵树的高度，假设树是竖直生长的，用图中线段AB 表示，小李站在C 点测得∠BCA ＝45°，小李从C 点走4米到达了斜坡D
E 的底端D 点，并测得∠CDE ＝150°，从D 点上斜坡走了8米到达E 点，测得∠AED ＝60°，B ，C ，D 在同一水平线上，A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，则大树AB 的高度约为（ ）米．（结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）
A ．24.3
B ．24.4
C ．20.3
D ．20.4
11．如图，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S 、2S 、3S ；如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外半圆，面积分别为4S 、5S 、6S ．其中116S =，245S =，511S =，614S =，则34S S +=（ ）
A ．86
B ．64
C ．54
D ．48
12．如图所示，矩形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝23，△ADE 为正三角形．
若半径为R 的圆能够覆盖五边形ABCDE （即五边形ABCDE 的每个顶点都在圆内或圆上），则R 的最小值是（ ）
A ．23
B ．4
C ．2.8
D ．2.5
二、填空题
13．已知ABC 与ABD △不全等，且3AC AD ==，30ABD ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，则CD =________．
14．如图，矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，以B 为圆心，BD 为半径画弧，交BC 延长线于M 点，以D 为圆心，CD 为半径画弧，交AD 于点N ，则图中阴影部分的面积是________．
15．如图 1 的矩形ABCD 中，有一点E 在AD 上，现以BE 为折线将点A 往右折，如图2所示，再过点A 作 AF CD ⊥于点F ，如图3所示，若
123,26,60AB BC BEA ︒∠＝＝＝， 则图3中AF 的长度为____．
16．已知3
＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是_________
17．已知在矩形ABCD中，AC＝12，∠ACB＝15°，那么顶点D到AC的距离为_____．18．如图，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=4，OC=10，∠A=60°，线段EF垂直平分OD，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E'关于x轴对称，连接BP、E'M，则BP+PM+ME'的长度的最小值为______．
19．如图，边长为6的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，则DH ____________．
20．乐乐同学的身高为166cm，测得他站立在阳光下的影长为83cm，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为103cm，那么乐乐竖直举起的手臂超出头顶的长度约为
___________cm．
三、解答题
21．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，∠A＝30°，O为线段AC上一点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆恰好经过点B，与AC的另一个交点为D．
（1）求证：AB是圆O的切线；
（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．
22．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ，DC ，DF ．
（1）求∠CDE 的度数；
（2）求证：DF 是⊙O 的切线；
（3）若AC =25DE ，求tan ∠ABD 的值．
参考答案
23．解答下列各题．
（1）计算：20170(1)9(3)2cos30π-+--+︒．
（2）解方程：(3)(1)3--=x x ．
24．计算：25864sin 453
+⨯-︒ 25．如图，在斜坡PA 的坡顶平台处有一座信号塔BC ，在坡顶A 处测得该塔的塔顶B 的仰角为76︒，在坡底的点P 处测得塔顶B 的仰角为45︒，已知斜坡长26m PA =，坡度为1:2.4，点A 与点C 在同一水平面上，且//AC PQ ，BC AC ⊥．
请解答以下问题：
（1）求坡顶A 到地面PQ 的距离；
（2）求信号塔BC 的高度．（结果精确到1m ，参考数据：sin760.97︒≈，
cos760.24︒≈，tan76 4.01︒≈）
26．计算
（1）计算：()1013.1484sin 453π-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭
（2）已知tan （α＋15°）＝
3，求锐角α的度数．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
A 、连接OE ，根据同圆的半径相等得到O
B ＝OE ，根据等边三角形的性质得到∠BOE ＝∠BA
C ，求得OE ∥AC ，于是得到A 选项正确；
B 、由于EF 是⊙O 的切线，得到OE ⊥EF ，根据平行线的性质得到B 选项正确；
C 、根据等边三角形的性质和圆的性质得到AO ＝OB ，过O 作OH ⊥AC 于H ，根据三角函数得到OH ＝3AO ≠OB ，于是得到C 选项错误；
D 、根据等边三角形的性质和等量代换即可得到D 选项正确．
【详解】
A 、如图，连接OE ，
则OB ＝OE ，
∵∠B ＝60°
∴∠BOE ＝60°，
∵∠BAC ＝60°，
∴∠BOE ＝∠BAC ，
∴OE ∥AC ，
∵EF ⊥AC ，
∴OE ⊥EF ，
∴EF 是⊙O 的切线
∴A 选项正确，不符合题意．
B、∵EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
由A知：OE∥AC，
∴AC⊥EF，
∴B选项正确，不符合题意．C、∵∠B＝60°，OB＝OE，∴BE＝OB，
∵BE＝CE，
∴BC＝AB＝2BO，
∴AO＝OB，
如图，过O作OH⊥AC于H，∵∠BAC＝60°，
∴OH＝3AO≠OB，
∴C选项错误，符合题意．
D、如C中的图，∵BE＝
3
2
EC，
∴CE23，
∵AB＝BC，BO＝BE，
∴AO＝CE23OB，
∴OH3＝OB，
∴AC是⊙O的切线，
∴D选项正确．
故选：C．
【点睛】
本题为圆的综合题，掌握切线的判定和性质、平行线的判定和性质以及勾股定理是解答本题的关键．
2．A
解析：A
【分析】
如图，作 DE⊥x 轴于点E ，灵活运用三角函数解直角三角形来求点 D 的坐标．【详解】
解：如图，作DE⊥x轴于点E，∵点A的坐标为（0，3），
∴OA＝3．
又∵∠OAB＝60°，
∴OB＝OA•tan∠OAB＝33，∠ABO＝30°．
∴BD＝BC＝OA＝3．
∵根据折叠的性质知∠ABD＝∠ABC＝60°，
∴∠DBE＝30°，
∴DE＝1
2BD＝
3
2
，BE＝
33
2
∴OE＝33－33=33，
∴E33
(3,)
22
-．
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质以及折叠问题，翻折前后对应角相等，对应边相等；注意构造直角三角形利用相应的三角函数值求解．
3．C
解析：C
【分析】
根据偶次方和绝对值的非负性可得
1
cos0
2
A-=，1tan0
B
-=，利用特殊角的三角函数值
可得A
∠和B的度数，利用三角形内角和定理即可求解．【详解】
解：
2
1
cos|1tan|0
2
A B
⎛⎫
-+-=
⎪
⎝⎭
，
2
1cos 0,|1tan |02A B ⎛⎫∴-=-= ⎪⎝
⎭， 1cos 02
A ∴-=，1tan 0
B -=，则1cos 2A =，tan 1B =， 解得：60A ∠=︒，45B ∠=︒，
则180604575C ∠=︒-︒-︒=︒．
故选：C ．
【点睛】
本题考查偶次方和绝对值的非负性、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键． 4．C
解析：C
【分析】
设PA=PB=PB′=x ，在RT △PCB′中，根据sin αPC PB =
＇，列出方程即可解决问题． 【详解】
解：设PA=PB=PB′=x ，
在RT △PCB′中，sin αPC PB =＇
∴1sin αx x
-=
∴x 1xsin α-=， ∴（1-sin α）x=1，
∴x=
11sin α
-． 故选C ．
【点睛】 本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．
5．A
解析：A
【分析】
先证明△ABC 是等边三角形，以C 为圆心，CD 为半径作圆，交AD 边与点M ，可得△CDM
是等边三角形，进而得到∆BCM ≅
∆ACD ，可得到60BMC ∠=︒，得到BM ∥CD ，过点M 作MH CD ⊥，根据△BCD 的面积等于△CDM 的面积求解即可；
【详解】
∵BD 是对角线，AB=BC ，∠ABC=60°，
∴△ABC 是等边三角形，
以C 为圆心，CD 为半径作圆，交AD 边与点M ，延长BC ，交C 于点N ，如图所示，
∵∠ADC=60°，CM=CD ，
∴△CDM 是等边三角形，
∴60MCD ∠=︒，
∴∠ACB+∠ACM=∠MCD+∠ACM ，
即：∠BCM=∠ACD ，
∴∆BCM ≅∆ACD ，
∴∠BMC=∠ADC=60°，
∴∠BMC=∠MCD ，
∴BM ∥CD ，
根据平行线间的距离相等得到△BCD 的面积等于△CDM 的面积，
过点M 作MH CD ⊥，
∵CD=4，
∴2==CH HD ， ∴tan 602
MH MH DH ︒==， ∴23MH =， ∴△△1423432BDC CDM S S ==
⨯⨯= 故答案选A ．
【点睛】
本题主要考查了四边形综合，结合等边三角形性质，构造等边△CDM 是解题的关键． 6．B
解析：B
【分析】
按照锐角三角函数的定义求各函数值即可．
【详解】
解：如图，由勾股定理可得2222437AB AC -=-=
选项A ，74BC sinA AB =
=，故错误； 选项B ，3cos 4AC A AB =
=，故正确； 选项C ，7tan 3
BC
A AC ，故错误； 选项D ，37cot
77
AC A BC ===，故错误； 故应选：B
【点睛】 本题考查了锐角三角函数定义，解答关键是按照相关锐角三角函数定义解题． 7．B
解析：B
【分析】
在Rt ABC ∆中，由勾股定理可得13AC =．根据旋转性质可得13AE =，5AD =，12DE =，所以8CD =．在Rt CED ∆中根据tan DE ECD DC ∠=
，可求解． 【详解】
解：∵在Rt ABC ∆中，AB=5，BC=12，
∴由勾股定理可得222251213AC AB BC ++=，
根据旋转性质可得13AE =，5AD =，12DE =，
8CD ∴=，
在Rt CED ∆中，123tan 82
DE ECD DC ∠=
==， 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，利用勾股定理求出所求三角函数值的直角三角形的对应边长度，根据线段比就可解决问题． 8．D
解析：D
【分析】
设AC＝3k，BC＝4k，根据勾股定理得到AB＝22
AC BC
+＝5k＝5，求得AC＝3m，BC＝4m，根据直角三角形的性质健康得到结论．
【详解】
解：如图，∵梯子倾斜角α的正切值为3
4
，
∴设AC＝3k，BC＝4k，
∴AB＝22
AC BC
+＝5k＝5，∴k＝1，
∴AC＝3m，BC＝4m，
∵A′B′＝AB＝5，∠A′B′C＝30°，
∴A′C＝1
2A′B′＝
5
2
，
∴AA′＝AC﹣A′C＝3﹣5
2＝
1
2
m，
故梯子下滑的距离AA'的长度是1
2 m，
故选：D．
【点睛】
本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键，属于中考常考题型．
9．B
解析：B
【分析】
根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB的值，再根据勾股定理可得OB的值，进而可得点A的坐标．
【详解】
解：如图，过A点作AD x
⊥轴于D点，
Rt OAB ∆的斜边OA 在第一象限，并与x 轴的正半轴夹角为30．
30AOD ∴∠=︒，
12
AD OA ∴=， C 为OA 的中点，
1AD AC OC BC ∴====，
2OA ∴=，
3OD ∴=，
则点A 的坐标为：(31)．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．
10．B
解析：B
【分析】
过E 作EG ⊥AB 于G ，EF ⊥BD 于F ，则BG=EF ，EG=BF ，求得∠EDF=30°，根据直角三角形的性质得到EF=12
DE=4，33即可得到结论．
【详解】
过E 作EG ⊥AB 于G ，EF ⊥BD 于F ，
则BG ＝EF ，EG ＝BF ，
∵∠CDE ＝150°，
∴∠EDF ＝30°，
∵DE ＝8，
∴EF ＝12
DE ＝4，DF ＝3 ∴CF ＝CD +DF ＝3，
∵∠ABC ＝90°，∠ACB ＝45°，
∴AB ＝BC ，
∴GE ＝BF ＝AB 3，AG ＝AB ﹣4，
∵∠AED ＝60°，∠GED ＝∠EDF ＝30°，
∴∠AEG ＝30°，
∴tan30°＝433443AG AB GE AB -==++ ， 解得：AB ＝14+63≈24.4，
故选：B ．
【点睛】
此题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据题意作出辅助线是解题的关键． 11．C
解析：C
【分析】
分别用AC ，AB 和BC 表示出123,,S S S ，然后根据222BC AB AC =-即可得出123,,S S S 的关系．同理，得出456,,S S S 的关系，从而可得答案．
【详解】
解：如图，1S 对应ACD ∆的面积，过D 作DH AC ⊥于H ，
ACD ∆为等边三角形，
160,,,2DAC AH CH AC AD AC ∴∠=︒==
= sin 60,DH AD ∴︒=
33,DH AD AC ∴=
= 2113,24
S AC DH AC ∴=•=
同理：222333,,44
S BC S AB == ∵222BC AB AC =-， ∴213,S S S -=
如图2，同理可得：456S S S =+，
∴3421564516111454.S S S S S S +=-++=-++=
故选：C ．
【点睛】
本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．锐角三角函数等知识点，其中勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222+=a b c ． 12．C
解析：C
【分析】
连接AC 、BE 、CE ，取BC 的中点F ，连接EF ，根据勾股定理可得AC ，根据直角三角形的边角关系可得∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°，再根据正三角形的性质可得：∠EAD ＝∠EDA ＝60°，AE ＝AD ＝DE ＝3△EAC 是直角三角形，由勾股定理可得EC 的长．判断△EAB ≌△EDC ，根据全等三角形的性质可得EB ＝EC ，继而根据题意可判断能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的圆心在线段EF 上，且此圆只要覆盖住△EBC 必能覆盖五边形ABCDE ，从而此圆的圆心到△BCE 的三个顶点距离相等．根据等腰三角形的判定和性质可得F 是BC 中点，BF ＝CF 3EF ⊥BC ，由勾股定理可得EF 的长，继而列出关于R 的一元二次方程，解方程即可解答．
【详解】
如图所示，连接AC 、BE 、CE ，取BC 的中点F ，连接EF ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC ＝∠DAB ＝∠BCD ＝∠ADC ＝90°,AD ∥BC ，AD ＝BC ＝3AB ＝CD ＝2
∵BC ＝3AB ＝2
由勾股定理可得：
AC 22AB BC +()22223+4
∴sin ∠ACB ＝
24AB AC =＝12，sin ∠CAD ＝24CD AC =＝12
∴∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°
∵△ADE 是正三角形
∴∠EAD ＝∠EDA ＝60°，AE ＝AD ＝DE ＝23， ∴∠EAC ＝∠EAD ＋∠CAD ＝90°,
∴△EAC 是直角三角形，
由勾股定理可得：
EC ＝22AE AC +＝()22234+＝27
∵∠EAB ＝∠EAD ＋∠BAD ＝150°
∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝150°
∴∠EAB ＝∠EDC
∵EA ＝ED ，AB ＝DC
∴△EAB ≌△EDC
∴EB ＝EC ＝27
即△EBC 是等腰三角形
∵五边形ABCDE 是轴对称图形，其对称轴是直线EF ，
∴能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的圆心在线段EF 上，且此圆只要覆盖住△EBC 必能覆盖五边形ABCDE ．从而此圆的圆心到△BCE 的三个顶点距离相等．
设此圆圆心为O ，则OE ＝OB ＝OC ＝R ，
∵F 是BC 中点
∴BF ＝CF ＝3，EF ⊥BC
在Rt △BEF 中，由勾股定理可得：
EF ＝22EB BF -＝
()()22273-＝5 ∴OF ＝EF －OE ＝5－R
在Rt △OBF 中，22
2BF OF OB 即()()22
235R R +-= 解得：R ＝2.8
∴能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的半径为2.8．
故选C ．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用、全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、直角三角形的边角关系．解题的关键是理解圆内接五边形的特点，并且灵活运用所学知识．
二、填空题
13．或3【分析】如图△ABC ≌△ABP 当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时满足条件分别求解即可【详解】解：如图△ABC ≌△ABP ∴∴CAP 共线∴△BPC 是等边三角形当D′是PB 中点时AD′=BP=AC 解析：3或3
【分析】
如图，△ABC ≌△ABP ，当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时，满足条件，分别求解即可．
【详解】
解：如图，△ABC ≌△ABP ，3AC AP ==，30ABP ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，
∴60APB ∠=︒，90CAB PAB ∠=∠=︒，
∴C ，A ，P 共线，BC BP AC AP ===， ∴△BPC 是等边三角形， 当D′是PB 中点时，AD′=
123ABC 与D'AB 满足条件， ∴D'90C P ∠=︒，
∴CD′= PD′tan 60︒3PD′=3，
当点D″是BC 的中点时，此时ABC 与D AB "也满足条件，
∴3，
∴满足条件的CD 的长为33
故答案为：33
【点睛】
本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是画出符合题意的图形，用分类讨论的思想思考问题．
14．【分析】先根据矩形的性质勾股定理可得再利用正弦三角函数可得然后根据即可得【详解】四边形ABCD 是矩形在中则即图中阴影部分的面积是故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质正弦三角函数扇形的面积公式等知识
解析：7122
π- 【分析】
先根据矩形的性质、勾股定理可得1,2,90CD BD ADC BCD ==∠=∠=︒，再利用正弦三角函数可得30CBD ∠=︒，然后根据Rt
BCD DCN BDM S S S S =+-阴影扇形扇形即可得．
【详解】
四边形ABCD 是矩形，1AB =，BC =，
1,2,90CD AB BC ADC BCD ∴====∠=∠=︒，
在Rt BCD 中，1sin 2
CD CBD BD ∠==， 30CBD ∴∠=︒， 则Rt BCD
DCN BDM S S S S =+-阴影扇形扇形， 229013021
13603602
ππ⨯⨯=+-⨯
7122
π=-，
即图中阴影部分的面积是
7122π-
故答案为：
712π- 【点睛】 本题考查了矩形的性质、正弦三角函数、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．
15．8【分析】作AH ⊥BC 于H 则四边形AFCH 是矩形AF=CHAH=CF 在Rt △ABH 中解直角三角形即可解决问题【详解】解：作AH ⊥BC 于H 则四边形AFCH 是矩形AF=CH 在Rt △ABE 中∠BAE=90
解析：8
【分析】
作AH ⊥BC 于H ，则四边形AFCH 是矩形，AF=CH ，AH=CF. 在Rt △ABH 中，解直角三角形即可解决问题.
【详解】
解：作AH ⊥BC 于H ，则四边形AFCH 是矩形，AF=CH.
在Rt△ABE中，∠BAE=90°，∠BEA=60°
∴∠ABE=180°-∠A-∠BEA=180°-90°-60°=30°
由题意得∠ABH=90°-2∠ABE=90°-30°×2=30°
在Rt△ABH中，∠ABH=30°，AB=123，BC=26
∴BH=AB cos30°=123×3=18
∴CH=BC-BH=26-18=8.
即AF=8.
故答案为8.
【点睛】
本题考查了翻折变换，矩形的性质及解直角三角形等知识.解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形来解决问题.
16．20°＜∠A＜30°【详解】∵＜cosA＜sin70°sin70°=cos20°∴cos30°＜cosA＜cos20°∴20°＜∠A＜30°
解析：20°＜∠A＜30°．
【详解】
∵3＜cosA＜sin70°，sin70°=cos20°，
∴cos30°＜cosA＜cos20°，
∴20°＜∠A＜30°．
17．3【分析】先利用三角函数的值分别求出AB及BC然后利用三角形ADC面积的两种表示形式可求出DE的长【详解】如图过点D作DE⊥AC于点E在这里先推导出sin15°的值：如图设中D是AC上一点则设则由题
解析：3
【分析】
先利用三角函数的值分别求出AB及BC，然后利用三角形ADC面积的两种表示形式可求出DE的长．
【详解】
如图，过点D作DE⊥AC于点E，
在这里先推导出sin15°的值：
如图，设Rt ABC 中，A 15,C 90∠=︒∠=︒，D 是AC 上一点，BDC 30∠=︒，则ABD 15∠=︒，AD BD =，
设BC x =，则AD BD 2x ==，DC 3x =，AC (32)x =+
2222[(32)](62)AB AB BC x x ∴=+=+⨯+=+，
BC 62sin15sin A AB 4
(62)x x -∴︒====+
由题意得：AB ＝AC sin ∠ACB ＝36﹣32，BC ＝36+32，
S △ADC ＝12AD •DC ＝12
AC •DE ＝9， ∴DE ＝3．
故答案为：3．
【点睛】
此题考查的是矩形的性质，解答本题的关键是根据∠ACB 的度数求出AB 及AC 的长，这要求我们熟练掌握三角函数值的求解方法．
18．【分析】连接OP 先确定OD 的长和B 点坐标然后证明四边形OPME 是平行四边形可得OP=EM 因为PM 是定值推出PB+ME=OP+PB 的值最小时即当OPB 共线时BP+PM+ME 的长度最小最后根据两点间的距
解析：22123+
【分析】
连接OP ,先确定OD 的长和B 点坐标，然后证明四边形OPME'是平行四边形，可得OP=EM ，因为PM 是定值，推出PB+ME'=OP+PB 的值最小时，即当O 、P 、B 共线时BP+PM+M E 的长度最小，最后根据两点间的距离公式和线段的和差解答即可．
【详解】
解:如图：连接OP
在Rt△ADO中，∠A=60°，AD=4，
∴OD=4tan60°
∴A（-4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=OC=10，
∴DB=10-4=6
∴B（6，
∵线段EF垂直平分OD
∴OE=1
，∠PEO=∠EOM=∠PM0=90°，
2
∴四边形OMPE是矩形，
∴
，
∵OE=0E'
∴PM=OE'，PM//OE'，
∴四边形OPME'是平行四边形，
∴0P=EM，
∵是定值，
∴PB+ME'=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME的长度最小，
∴当0、P、B共线时，BP+PM+ME的长度最小
∴BP+PM+ME的最小值为
=
故答案为
【点睛】
本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质、垂直平分线的性质、最短路径问题、锐角三角函数等知识，掌握并灵活应用两点之间线段最短是解答本题的关键．19．【分析】过点F作FI⊥BC于点I延长线IF交AD于J根据含30°直角三角形的性质可求出FIFJ和JH的长度从而求出HD的长度【详解】解：过点F作
FI⊥BC于点BC延长线AD交AD于J由题意可知：CF
解析：
【分析】
过点F作FI⊥BC于点I，延长线IF交AD于J，根据含30°直角三角形的性质可求出FI、FJ 和JH的长度，从而求出HD的长度．
【详解】
解：过点F作FI⊥BC于点BC，延长线AD交AD于J，
由题意可知：CF=BC=6，∠FCB=30°，
∴FI=3，CI=33
∵JI=CD=6，
∴JF=JI-FI=6-3=3，
∵∠HFC=90°，
∴∠JFH+∠IFC=∠IFC+∠FCB=90°，
∴∠JFH=∠FCB=30°，
设JH=x，则HF=2x，
∴由勾股定理可知：（2x）2=x2+32，
∴3
∴DH=DJ-JH=33323
=
故答案为：3
【点睛】
本题考查正方形的性质，涉及正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，含30°的直角三角形的性质，本题属于中等题型．
20．40【分析】如下图利用∠BCA=∠E可得对应的正切值相等转化为线段比可得BD长【详解】如下图AB为乐乐身高BD是乐乐手臂超出头顶部分AC是乐乐站立在阳光下的影长AE是乐乐举起手臂后的影长根据题意AC
解析：40
【分析】
如下图，利用∠BCA=∠E，可得对应的正切值相等，转化为线段比可得BD长．
【详解】
如下图，AB为乐乐身高，BD是乐乐手臂超出头顶部分，AC是乐乐站立在阳光下的影长，AE是乐乐举起手臂后的影长
根据题意，AC=83cm ，AB=166cm ，AE=103cm
∵是阳光照射的影长，∴CB ∥ED
∴∠BCA=∠E
∴tan ∠BCA=tan ∠E ，即：
166********
BD += 解得：BD=40
故答案为：40
【点睛】
本题考查三角函数的运用，解题关键是将题干抽象成数学模型，然后再利用三角函数的特点求解． 三、解答题
21．（1）见解析；（2）
326
π- 【分析】
（1）连接OB ，根据等边对等角可求得∠OBA=90°，根据切线的判定即可求出答案． （2）分别求出△ABO 与扇形OBD 的面积后即可求出阴影部分面积．
【详解】
解：（1）连接OB ，
∵AB ＝BC ，
∴∠C ＝∠A ＝30°，∠CBA ＝120°，
∵OC ＝OB ，
∴∠OBC ＝∠C ＝30°，
∴∠OBA ＝∠CAB ﹣∠OBC =90°，
∵OB 是⊙O 的半径，
∴AB 是圆O 的切线；
（2）∵∠A ＝30°，OB ＝1，
∴AB ＝tan 30OB =33
=3， ∴S △ABO ＝12×1×3＝3， ∵∠AOB =2∠C=60°，
∴S 扇形OBD ＝601360
π︒︒⨯＝6π， ∴S 阴影＝S △ABO ﹣S 扇形OBD ＝36
π-．
【点睛】
本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、锐角的三角函数、三角形的面积公式、扇形的面积公式，熟练掌握相关知识的运用是解答的关键．
22．（1）90°；（2）证明见解析；（3）2．
【分析】
（1）根据圆周角定理即可得∠CDE 的度数；（2）连接DO ，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质易证∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，即可判定DF 是⊙O 的切线；（3）根据已知条件易证△CDE ∽△ADC ，利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD ，DC 的长，再利用圆周角定理得出tan ∠ABD 的值即可．
【详解】
解：（1）解：∵对角线AC 为⊙O 的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠EDC=90°；
（2）证明：连接DO ，
∵∠EDC=90°，F 是EC 的中点，
∴DF=FC ，
∴∠FDC=∠FCD ，
∵OD=OC ，
∴∠OCD=∠ODC ，
∵∠OCF=90°，
∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，
∴DF 是⊙O 的切线；
（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD ，
∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，
∴∠DCA=∠E ，
又∵∠ADC=∠CDE=90°，
∴△CDE ∽△ADC ， ∴DC DE AD DC =， ∴DC 2=AD•DE ∵AC=25DE ，
∴设DE=x ，则AC=25x ，
则AC 2﹣AD 2=AD•DE ，
期（25x ）2﹣AD 2=AD•x ，
整理得：AD 2+AD•x ﹣20x 2=0，
解得：AD=4x 或﹣4.5x （负数舍去），
则DC=22(25)(4)2x x x -=，
故tan ∠ABD=tan ∠ACD=422AD x DC x
==．
23．（1）13+2）10x =，24x =．
【分析】
（1）根据零指数幂的意义，算术平方根，以及特殊锐角的三角函数值代入计算即可； （2）先将原方程去括号、移项，整理后再运用因式分解法解方程．
【详解】
解：（1）20170(1)9(3)2cos30π-+-+︒
131322
=-+-+⨯
1313=-+-+
13=． （2）由原方程得：2433x x -+=，
240x x -=，
(4)0x x -=，
∴10x =，24x =．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．同时还考查了特殊角三角函数值．
24．【分析】
先代入特殊角三角函数值和进行二次根式的混合运算，再进行合并即可得到结果．
【详解】
4sin 45︒
=42
⨯
=
=
【点睛】
此题考查了二次根式的混合运算以及特殊角三角函数值，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式再运算．
25．（1）10m ；（2）19m ．
【分析】
（1）过点A 作AH PQ ⊥，垂足为H ，根据斜坡AP 的坡度为1:2.4，设5AH k =，则12PH k =，根据勾股定理构造方程，求出k 的值，即可求解；
（2）延长BC 交PQ 于点D ，求出PH=24，设BC x =，表示出AC=14x -, 在Rt ABC ∆中，根据tan tan 76BC BAC AC
∠=︒=
得到关于x 的方程，即可求解． 【详解】
解：（1）如图，过点A 作AH PQ ⊥，垂足为H ，
斜坡AP 的坡度为1:2.4， 152.412
AH PH ∴==． 设5AH k =，则12PH k =，
在Rt AHP ∆中，由勾股定理，得
13AP k ===． 1326k ∴=，解，得2k =．
1(0)AH m ∴=．
答：坡顶A 到地面PQ 的距离为10m ．
（2）如图，延长BC 交PQ 于点D ，
由题意可知四边形AHDC 是矩形，
10CD AH ∴==，AC DH =．
45BPD ∠=︒，90BDP ∠=︒，
PD BD ∴=．
12224PH =⨯=m ，
设BC x =，则1024x DH +=+．
()14AC DH x ∴==-m ．
在Rt ABC ∆中，tan tan 76BC BAC AC ∠=︒=
，即 4.0114
x x ≈-． 解，得19()x m ≈．
答：信号塔BC 的高度约为19m ．
【点睛】
本题为解直角三角形实际应用，根据题意作出直角三角形，解直角三角形是解题关键． 26．（1）4；（2）15°
【分析】
（1）直接根据零指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值、负整指数幂即可求解； （2）直接根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】 解：（1）()1013.1484sin 453π-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 122223=+
4=
（2）∵tan （α＋15°）＝
33
∴α＋15°=30° α=15°
【点睛】
此题主要考查实数的运算和特殊角的三角函数值，熟练掌握各概念是解题关键．。