复变函数可导的充要条件

复变函数可导的充要条件
复变函数可导的充要条件
复变函数在数学上是指具有复数值的函数。

对于实变函数，我们常常通过定义导数来研究函数的性质，那么对于复变函数，我们该如何定义导数并研究它的性质呢？本文将介绍复变函数可导的充要条件，并给出证明。

一、复数的导数
类比实数的导数，我们可以定义复数的导数。

设$f(z)$是定义在$U$中的复数函数，$z_0 \in U$，如果存在$A$，使得$\Delta f(z) = f(z+z_0)-f(z_0)-A\cdot z$中$\Delta z$的模趋于$0$时，$\Delta f(z)$除以$\Delta z$的极限存在，则称$f(z)$在点$z_0$处可导，且$f'(z_0)=A$。

二、复变函数可导的充要条件
引理：复变函数$u(x,y)$和$v(x,y)$在$(x_0,y_0)$处可导，当且仅当$u$和$v$的偏
导数在$(x_0,y_0)$处存在。

证明：
必要性：假设$f(z)$在$z_0=x_0+iy_0$处可导，即$\Delta f(z) =
f(z+z_0)-f(z_0)-A\cdot z$中$\Delta z$的模趋于$0$时，$\Delta f(z)$除以$\Delta
z$的极限存在，则存在$A\in \mathbb{C}$，使得
$$\frac{\Delta f(z)}{\Delta z}\to A$$
当$\Delta z\to0$，其中$\Delta z = \Delta x + i\Delta y$。

设$\Delta
u=u(x,y)-u(x_0,y_0)$，$\Delta v=v(x,y)-v(x_0,y_0)$，则有
$$\Delta f(z)=\Delta u+i\Delta v$$
$$\Delta z=\Delta x+i\Delta y$$
所以
\begin{aligned}
A & = \lim_{\Delta z\to0} \frac{\Delta f(z)}{\Delta z}\\
& = \lim_{\Delta z\to0} \frac{\Delta u+i\Delta v}{\Delta x+i\Delta y}\\
& = \lim_{\Delta x\to0} \frac{\Delta u}{\Delta x} + i\lim_{\Delta x\to0}
\frac{\Delta v}{\Delta x}
\end{aligned}
$\lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{\Delta u}{\Delta x}$和$\lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{\Delta v}{\Delta x}$存在。

充分性：假设$u$和$v$在$(x_0,y_0)$处的偏导数都存在，则有
$$
\begin{aligned}
f(z)-f(z_0) &= u(x,y)-u(x_0,y_0) +iv(x,y)-iv(x_0,y_0)\\
&\simeq \frac{\partial u}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial u}{\partial y}\Delta y+i\frac{\partial v}{\partial x}\Delta x+i\frac{\partial v}{\partial y}\Delta y\\
&=(\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x})\Delta
z+(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y})i\Delta z\\
&=\frac{\partial f(z)}{\partial x}\Delta z+i\frac{\partial f(z)}{\partial y}\Delta z
\end{aligned}
$$
令$A = \frac{\partial u}{\partial z}+i\frac{\partial v}{\partial z}$，则上式可以改写为
$$\Delta f(z) = f(z+z_0)-f(z_0)-A\cdot z$$
当$\Delta z$趋于$0$时，$\Delta f(z)$趋于$0$，$A$为常数，因此$f(z)$在$z_0$处可导，且$f'(z_0)=A$。

证毕。

我们可以将复变函数可导的充要条件表示为：
设$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，$A=a+ib\in\mathbb{C}$，则$f(z)$在$z_0=x_0+iy_0$处可导，当且仅当下列条件成立：
（1）$u$和$v$在$(x_0,y_0)$处的偏导数存在；
（2）$a=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}$，$b=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}$。

三、结论
本文介绍了复变函数可导的充要条件，即当且仅当$u$和$v$在$(x_0,y_0)$处的偏导数存在，并且满足一定的条件时，函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在$z_0=x_0+iy_0$处可导。

这个结论可以直接推广到复变函数的高阶导数，从而进一步研究复变函数的性质。