2018年秋人教B版数学选修4-4模块综合检测试题(含精品解析)

模块综合检测
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.1.方程表示的图形是()
A. 圆
B. 直线
C. 椭圆
D. 射线
【答案】A
【解析】
【分析】
将极坐标方程化为，再将代入可得直角坐标方程，最后可判断图形的形状．【详解】∵，
∴，
将代入上式可得，
即，
故曲线表示以(0，1)为圆心，以1为半径的圆．
故选A．
【点睛】本题考查极坐标和直角坐标间的转化，考查转化能力，记准转化公式是解题的关键．
2.2.将正弦曲线作如下变换:得到的曲线方程为()
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由条件可得，代入方程后可得所求．
【详解】由可得，
将上式代入后，得，
所以．
即变换后得到的曲线方程为．
故选A．
【点睛】解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，用方程思想求解．
3.3.设,则的最小值是()
A. B.
C. -3
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆的参数方程，结合三角代换可得的表达式，再根据三角函数的相关知识求解．
【详解】由题意（为参数），
则a+bα=3sin(α+φ)，其中φ为锐角，且tan φ，
∴当时，的最小值为．
∴a+b的最小值为．
故选C．
【点睛】本题考查圆的参数方程的应用，用参数表示圆上点的坐标是解题的关键，然后再将问题转化为三角函数求解．
4.4.设点的柱坐标为，则点的直角坐标是()
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据柱坐标中点的特征可得直角坐标．
【详解】设点的直角坐标为，
则x=2co，
∴点的直角坐标为．
故选B．
【点睛】本题考查柱坐标与直角坐标间的转化，考查学生的转化能力，属于容易题．
5.5.如图所示,在柱坐标系中,长方体的两个顶点坐标为，则此长方体外接球的体积为()
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据所给长方体顶点的柱坐标求出长方体的长宽高，然后由长方体的体对角线即为长方体外接球的直径可得求得半径，进而可得外接球的体积．
【详解】如图，
由长方体的两个顶点坐标为，
可得，
所以长方体的体对角线的长为．
设长方体外接球的半径为，则，
∴，
∴外接球的体积为．
故选B．
【点睛】解答本题的关键有两个，一是由给定的顶点的坐标求出长方体的长宽高；二是要明确长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，由此可得到外接球的半径，进而可得球的体积．
6.6.将点的直角坐标(化为极坐标是()
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意求出点P的极径和极角后可得点的极坐标．
【详解】∵
∴ρ
ta
又点P在第一象限，
∴θ，
∴点的极坐标为．
故选A．
【点睛】极径即为点到极点的距离，求极角时可根据tan θ求解，但要注意角θ的取值范围．考查学生的转化能力和运算能力．
7.7.已知曲线与曲线关于极轴对称，则曲线的方程为()
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将方程化为直角坐标方程，然后求出该方程关于极轴对称的方程，再转化为极坐标方程即可．
【详解】∵，
∴，
将代入上式，得，
∴
关于极轴对称的曲线C的直角坐标方程为，
化为极坐标方程为，
即θ+5sin θ=10co
故选B．
【点睛】（1）进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin
θ，ρ2＝x2＋y2，(x≠0)．
（2）进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧．
8.8.已知曲线的参数方程为()则它的普通方程是()
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由求出，代入后整理可得曲线的普通方程．
【详解】∵x=1
∴t．
代入得
∴曲线的普通方程是．
故选B．
【点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，一定要保持同解变形．
9.9.曲线的焦点坐标是()
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将参数方程化为普通方程后再求出曲线的焦点坐标即可．
【详解】将参数方程消去参数后可得，
即曲线的普通方程为，
该曲线为抛物线y2=4x向左、向上各平移一个单位长度得到的，
所以焦点坐标为(0，1)．
故选A．
【点睛】解决参数方程的有关问题时，可先将参数方程化为普通方程，然后根据普通方程表示的曲线的类型再进行求解即可．
10.10.已知过曲线上一点与原点的直线，倾斜角为，则点的极坐标为()
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先将参数方程化为普通方程，由题意得到直线的直角坐标方程，解方程组可得交点的直角坐标，最后再化成极坐标．
【详解】将消去参数可得，
即曲线的普通方程．
又直线的方程为，
由可得P点坐标，
化为极坐标得P点的极坐标
故选D．
【点睛】解题的关键是通过解方程组得到点的直角坐标，然后再化为极坐标，转化时注意公式
ρ2＝x2＋y2，(x≠0)的应用，同时还要注意极角的取值范围．
11.11.过点,且斜率为的直线的参数方程()
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由斜率可得倾斜角的正切值，进而可得的值，由此可得直线的参数方程．
【详解】设直线的倾斜角为α，则tan α
∴
∴直线的参数方程（为参数）．
故选A．
【点睛】求直线的参数方程时，首先要确定直线过的定点，求出参数的系数，然后根据直线参数方程的形式写出参数方程即可．
12.12.双曲线的渐近线方程为()
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
消去曲线参数方程中的参数后得到曲线的普通方程，然后再根据普通方程求出渐近线方程即可．
【详解】消去方程中的参数可得，
由可得，
所以双曲线的渐近线的方程为．
故选A．
【点睛】研究以参数方程的形式给出的曲线的性质时，可先将曲线方程化为普通方程，再结合所求的性质求解，考查转化方法的运用．
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)
13.13.在极坐标系中,曲线与的交点的极坐标为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意先得到，然后再求出，进而可得点的极坐标．
【详解】由ρ=2sin θ，，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴两曲线交点的极坐标为．
【点睛】求点的极坐标时，一是要确定点的极径，即点到极点的距离，二是要确定极角，解题时根据题中的条件求解即可．
14.14.在极坐标系中,点到直线的距离是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
将极坐标化为直角坐标，然后根据点到直线的距离公式求解．
【详解】由题意得，．
又，
将代入上式可得，
所以直线的普通方程为，
因此点到直线的距离为．
【点睛】解题的关键是将极坐标化为直角坐标，然后借助公式求解，考查转化思想方法的运用．
15.15.直线上任一点到的距离为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由直线的参数方程可得点的坐标，然后根据两点间的距离公式求解．
【详解】由题意设点的坐标为
则，
故|PP0|=2|t|．
即点到的距离为．
【点睛】在直线的参数方程中，只有当参数的系数的平方和为1时，参数的绝对值才表示直线上的任一点到定点的距离，即．
16.16.直线与圆交于两点，则的中点坐标为_____。

【答案】
【解析】
【分析】
把直线的参数方程代入圆的方程整理得到关于参数的二次方程，然后结合根与系数的关系求解可得的中点坐标．
【详解】把代入整理得．
设A，B对应的参数分别为，
则．
故AB的中点对应的参数为t0
将t0=4代入直线的参数方程，可得，
所以AB的中点的坐标为
【点睛】解题时要注意在直线的参数方程中，只有当参数系数的平方和等于1时，参数才具有几何意义．当系数的平方和不为1时，首先要化为系数的平方和等于1的形式，再利用几何意义求解．
三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.17.在极坐标系中,直线的方程为，求极点在直线上的射影的极坐标.
【答案】
【解析】
【分析】
把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再求出过极点且与直线垂直的直线的方程，解方程组可得两直线的交点坐标，化为极坐标后即为所求．
【详解】直线的极坐标方程为，
将代入上式得，即，
∴直线l的直角坐标方程为．
又过极点且与l垂直的直线方程为y
由解得，
∴极点在直线上的射影的直角坐标为，化成极坐标为，
∴极点在直线l上的射影的极坐标为．
【点睛】解答极坐标的有关问题时，可先将极坐标化为直角坐标求解，然后再将直角坐标化为极坐标即可，这是解决极坐标问题时常用的方法．
18.18.已知函数的图象经过坐标变换得到函数的图象,求该坐标变换.
【答案】
【解析】
【分析】
将函数的解析式化为的形式，与进行比较可得所求的坐标变换公式．
【详解】函数可化为，
将上式与y=2x比较可得，
即
故所求的坐标变换为．
【点睛】本题考查坐标变换公式的求法，解题时只需要将变换前后的曲线方程进行比较，便可得到所求的变换公式．
19.19.已知直线的参数方程为（为参数），它与曲线交于两点。

(1)求的长；
(2)求点到线段中点的距离。

【答案】(1)；(2)
【解析】
【分析】
（1）将直线的参数方程代入曲线方程得到关于参数的二次方程，然后根据根与系数的关系及参数的几何意义求解．（2）结合题意及（1）可得AB的中点C对应的参数，然后根据参数的几何意义求解．
【详解】(1)把代入整理得，
设点A,B对应的参数分别为，
则
∴
(2)根据中点坐标的性质可得AB的中点C对应的参数为
所以由t的几何意义,可得点到线段AB中点C的距离为
．
【点睛】在直线的参数方程中，只有当参数的系数的平方和等于1时，参数的绝对值才表示直线上的点到定点的距离．当参数的系数的平方和不等于1时，可将直线的参数方程转化为系数平方和为1的形式后，在运用参数的几何意义求解．
20.20.已知椭圆（为参数）及抛物线，当时，求的取值范围。

【答案】
【解析】
【分析】
将椭圆的参数方程代入抛物线方程，整理得到关于的方程，将分离后再根据三角函数的有界性求解可
得的取值范围．
【详解】将椭圆C1的参数方程代入2
整理得，
∴，
即，
∵，
∴，
解得．
∴当时,实数的取值范围为．
【点睛】本题考查两曲线的位置关系，考查运用知识解决问题的能力和转化能力，根据参数方程研究两曲线的位置关系问题时，可转化为普通方程后再根据要求解题．
21.21.已知为半圆上的点,点的坐标为为坐标原点,点在射线上，线段与圆的弧的长度均为
(1)以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点的极坐标；
(2)求直线的参数方程。

【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】
（1）由题意可得点的极径和极角，进而可得点的极坐标．（2）先在直角坐标系中求出点的坐标，再根据直角坐标系中直线的参数方程求得直线的参数方程即可．
【详解】(1)由已知点M的极角M的极径等
M
的极坐标为
(2)点M的直角坐标为,A(1,0)，
故直线AM的参数方程为（为参数）．
【点睛】解决参数方程的有关问题时，常用的方法是把参数方程转化为普通方程求解，当然在具体问题中还要结合问题的特征，确定选择何种方程求解．
22.22.已知某圆的极坐标方程为，求
(1)圆的普通方程和参数方程；
(2)圆上所有点中的最大值和最小值.
【答案】(1)，；(2)9,1
【解析】
【分析】
（1）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，然后再化为参数方程即可．（2）根据（1）中的参数方程，将用参数表示，然后再根据三角函数的相关知识并结合换元法求解可得所求．
【详解】（1）圆的极坐标方程可化为
即，
把代入上式，
得，
即，
故所求圆的普通方程为．
令，可得圆的参数方程为（为参数）．
（2）由（1）可知xy=(2+cos θ)·(2+sin θ)=4+2(cos θ+sin θ)+2cos θ·sin θ
=3+2(cos θ+sin θ)+(cos θ+sin θ)2．
设sin，
则
所以当t=-，xy有最小值为1；当t=，xy有最大值为9．
【点睛】本题考查极坐标方程、直角坐标方程和参数方程间的互化，解题时根据相关公式求解即可，但要注意转化的等价性．对于（2），利用参数方程进行三角代换，可达到减少变量的目的，使得问题的解决转化为二次函数的知识求解，同样在解题中要注意新变量的取值范围．。