最新江苏版高考数学一轮复习(讲+练+测)专题5.1平面向量的概念及线性运算(讲)及解析

专题5.1 平面向量的概念及线性运算
【考纲解读】
【直击考点】
题组一 常识题
1． 化简(()()AB BM BO CB OM -+-+的结果是________． 【
解
析
】原
式＝
()(
)A B
M
B
B
O
B
C
+
+
++=
+
2． 若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －1
2
(b ＋c －3x )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则x ＝
______________．
【解析】由2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(b ＋c －3x )＋b ＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32x －23a －1
2b －12c ＋b ＝0，
即72x ＝23a －12b ＋1
2
c ， 所以x ＝421a －17b ＋17
c .
3． a 表示向东走1 km ，b 表示向南走1 km ，则a ＋b 表示向________方向走________km.
【解析】易知a ＋b 表示向东南方向走 2 km.
4．已知M 是△ABC 的边BC 上的中点，AB ＝a ，AC ＝b ，则＝________． 【解析
11
,()()22
AB BM AM AC CM AM AM AB BM AC CM AB AC +=+=∴=
+++=+=1
2
(a ＋b )． 题组二 常错题
5．若四边形ABCD 满足1
2
AD BC =
，则四边形ABCD 的形状是________． 【解析】//,||||AD BC AD BC ≠，所以四边形ABCD 是梯形．
6．若a 与b 是共线向量，b 与c 是共线向量，且b 是非零向量，则a 与c 的关系是________．
【解析】由共线向量的概念知，向量a 与向量c 共线．注意：若b 是零向量，则向量a 与向量c 的关系不确定．
7．已知两向量a ，b ，若|a |＝1，|b |＝3，则|a ＋b |的取值范围是________．
题组三 常考题
8． 设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则
ED EF +=________BE .
【解析】因为D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中点，所以
111
,,()222
ED BA EF BC ED EF BA BC BE =-=-∴+=-+=-.
9． 设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________． 【解析】因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在唯一实数t ，使得λa ＋b ＝t (a ＋2b )，所以⎩
⎪⎨⎪⎧λ＝t ，
1＝2t ，解得λ＝t ＝12.
【知识清单】
考点1 向量的有关概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量． 考点2 平面向量的线性运算 一．向量的线性运算
1．定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝|λ||a |；
②当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.
2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：
①()
()a a λμλμ＝；②() a a a λμλμ＋＝＋；③()a b a b λλλ
＋＝＋.
考点3共线向量
共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa ..
【考点深度剖析】
本节内容是平面向量的基础，向量的加法和减法，实数与向量的积，两个向量共线的充要条件是本节的重点内容．但由于本章内容不会出现高难度的题目，所以复习时应以基本内容为主．
【重点难点突破】
考点1 向量的有关概念 【1-1】给出下列命题：
①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；
②若A B C D ，，，是不共线的四点，则AB ＝DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；
③若a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中假命题的个数为________. 【答案】3
【1-2】给出下列命题：
①a b ＝的充要条件是||a b |＝|且a b //； ②若向量a 与b 同向，且||a b |>|，则a b >；
③由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； ④若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； ⑤起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ⑥任一向量与它的相反向量不相等． 其中真命题的序号是________． 【答案】⑤
【解析】①当a 与b 是相反向量时，满足||a b |＝|且a b //，但a ≠b ，故①假； ②向量不能比较大小，故②假； ③0与任意向量平行，故③假；
④当a 与b 中有零向量时，由于零向量的方向是任意的，故④假；
⑤由相等向量定义知，⑤真；
⑥0的相反向量仍是0，故⑥假．
【思想方法】
(1)准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．
(2)几个重要结论
①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；
②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
【温馨提醒】忽略 0与0的区别，把零向量 0误写成0而致误．
考点2 平面向量的线性运算
在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝1
3
CA＋λCB，则λ等于________.
【答案】2
3
【2-2】平行四边形OADB的对角线交点为C，＝1
3，＝1
3
，＝a，＝b，用a、b
表示、、.
【答案】OM =16a ＋56b, ON =23a ＋23b ，MN ＝12a －16
b .
【解析】BA ＝a －b ，BM ＝16BA ＝16a －1
6
b ，
OM OB BM =+＝16a ＋5
6b ，OD ＝a ＋b ，
ON OC CN =+＝12OD ＋1
6
OD
＝23OD ＝23a ＋2
3
b ， MN ON OM =-＝12a －1
6
b .
【思想方法】
1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
2.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
【温馨提醒】注意向量运算的几何意义 考点3共线向量
【3-1】在ABC △中，E F 、分别为AC AB 、的中点，,BE CF 相交于G 点，设
，试用a b ，
表示.
【答案】11
33
a b +
【3-2】已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB PA PB λ=+，其中λ∈R ，则点P 一定在________. 【答案】AC 边所在直线上
【解析】由CB PA PB λ=+得CB PB PA λ-=，∴C P P A λ=.则,CP PA 为共线向量，
又,CP PA 有一个公共点P C P A ∴，
、、三点共线，即点P 在直线AC 上． 【思想方法】
1．应用共线向量定理，可以证明向量共线，也可以由向量共线确定参数的值；
2.若a b ,
不共线，则0a b λμ=+的充要条件是0λμ==；这一结论是解决求参数问题的重要依据；
3.若AB AC λ=，则,,A B C 三点共线.
【温馨提醒】向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”这一条件
【易错试题常警惕】
向量线性运算应注意的问题
(1)作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点。

(2)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个。

(3)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线。

(4)利用向量平行证明直线平行，必须说明这两条直线不重合。