桂平市第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

桂平市第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 某几何体的三视图如图所示（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（ ）
A ．20+2π
B ．20+3π
C ．24+3π
D ．24+3π
2． 已知定义域为R 的偶函数)(x f 满足对任意的R x ∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当
]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f .若函数)1(log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则
实数的取值范围是（ ）111] A ．)2
2,
0( B ．)33,0( C ．)55,0( D ．)66,0(
3． 已知命题p ：存在x 0＞0，使2＜1，则￢p 是（ ）
A ．对任意x ＞0，都有2x ≥1
B ．对任意x ≤0，都有2x ＜1
C ．存在x 0＞0，使2
≥1 D ．存在x 0≤0，使2
＜1
4． 已知i z 311-=，i z +=32，其中i 是虚数单位，则2
1
z z 的虚部为（ ） A ．1- B ．
54 C ．i - D ．i 5
4 【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念，复数除法的运算法则，主要突出对知识的基础性考查，属于容易题.
5． 已知函数f （x ）的定义域为[a ，b]，函数y=f （x ）的图象如下图所示，则函数f （|x|）的图象是（ ）
A．B．C．
D．
6．已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．9
7．设a，b为正实数，11
22
a b
+≤，23
()4()
a b ab
-=，则log
a
b=（）
A.0
B.1-
C.1
D.1-或0
【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力. 8．sin3sin1.5cos8.5
，，的大小关系为（）
A．sin1.5sin3cos8.5
<<B．cos8.5sin3sin1.5
<<
C.sin1.5cos8.5sin3
<<D．cos8.5sin1.5sin3
<<
9．已知某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1：N1（90，86）和ξ2：N2（93，79），则以下结论正确的是（）
A．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定
B．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定
C．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定
D．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定
10．如图，AB是半圆O的直径，AB＝2，点P从A点沿半圆弧运动至B点，设∠AOP＝x，将动点P到A，B 两点的距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（）
11．设x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值
为12，则+的最小值为（）
A．B．C．6 D．5
12．已知函数f（x）=1+x﹣+﹣+…+，则下列结论正确的是（）
A．f（x）在（0，1）上恰有一个零点B．f（x）在（﹣1，0）上恰有一个零点
C．f（x）在（0，1）上恰有两个零点D．f（x）在（﹣1，0）上恰有两个零点
二、填空题
13．定义：[x]（x∈R）表示不超过x的最大整数．例如[1.5]=1，[﹣0.5]=﹣1．给出下列结论：
①函数y=[sinx]是奇函数；
②函数y=[sinx]是周期为2π的周期函数；
③函数y=[sinx]﹣cosx不存在零点；
④函数y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2，﹣1，0，1}．
其中正确的是．（填上所有正确命题的编号）
14．设函数，若用表示不超过实数m的最大整数，则函数
的值域为．
15．若函数63e ()()32e
x x b
f x x a =-∈R 为奇函数，则ab =___________． 【命题意图】本题考查函数的奇偶性，意在考查方程思想与计算能力．
16．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是 ．
17()23k x =-+有两个不等实根，则的取值范围是 ．
18．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】函数()2
1ln 2
f x x x =
-的单调递减区间为__________. 三、解答题
19．（本题满分12分）已知向量(sin ,
(sin cos ))2
a x x x =+，)cos sin ,(cos x x x
b -=，R x ∈，记函数 x f ⋅=)(.
（1）求函数)(x f 的单调递增区间；
（2）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,且满足C a c b cos 22=-，求)(B f 的取值范围.
【命题意图】本题考查了向量的内积运算，三角函数的化简及性质的探讨，并与解三角形知识相互交汇，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，但突出了基础知识的考查，仍属于容易题.
20．中国高铁的某个通讯器材中配置有9个相同的元件，各自独立工作，每个元件正常工作的概率为p （0＜p ＜1），若通讯器械中有超过一半的元件正常工作，则通讯器械正常工作，通讯器械正常工作的概率为通讯器械的有效率
（Ⅰ）设通讯器械上正常工作的元件个数为X ，求X 的数学期望，并求该通讯器械正常工作的概率P ′（列代数式表示）
（Ⅱ）现为改善通讯器械的性能，拟增加2个元件，试分析这样操作能否提高通讯器械的有效率．
21．（1）计算：（﹣
）0+lne ﹣
+8
+log 62+log 63；
（2）已知向量=（sin θ，cos θ），=（﹣2，1），满足∥，其中θ∈（，π），求cos θ的值．
22．设函数f （x ）=kx 2+2x （k 为实常数）为奇函数，函数g （x ）=a f （x ）﹣1（a ＞0且a ≠1）．
（Ⅰ）求k 的值； （Ⅱ）求g （x ）在[﹣1，2]上的最大值；
（Ⅲ）当时，g （x ）≤t 2
﹣2mt+1对所有的x ∈[﹣1，1]及m ∈[﹣1，1]恒成立，求实数t 的取值范围．
23．（本小题满分12分）已知函数2
()(21)ln f x x a x a x =-++（a R ∈）.
（I ）若1
2
a >，求)(x f y =的单调区间； （II ）函数()(1)g x a x =-，若0[1,]x e ∃∈使得00()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围.
24．（本小题满分12分）
已知圆M 与圆N ：2
2
2
)35()35(r y x =++-关于直线x y =对称，且点)3
5,31(-D 在圆M 上.
（1）判断圆M 与圆N 的位置关系；
（2）设P 为圆M 上任意一点，)35,1(-A ，)3
5,1(B ，B A P 、、三点不共线，PG 为APB ∠的平分线，且交
AB 于G . 求证：PBG ∆与APG ∆的面积之比为定值.
桂平市第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B
【解析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以侧视图为底面的柱体（一个半圆柱与正方体的组合体）， 其底面面积S=2×
2+
=4+
，
底面周长C=2×3+
=6+π，高为2，
故柱体的侧面积为：（6+π）×2=12+2π， 故柱体的全面积为：12+2π+2（
4+）=20+3π，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．
2． 【答案】B 【解析】
试题分析：()()1)2(f x f x f -=+ ，令1-=x ，则()()()111f f f --=，()x f 是定义在R 上的偶函数,()01=∴f ()()2+=∴x f x f ．则函数()x f 是定义在R 上的，周期为的偶函数，又∵当[]3,2∈x 时，
()181222-+-=x x x f ，令()()1log +=x x g a ，则()x f 与()x g 在[)+∞,0的部分图象如下图，
()()1log +-=x x f y a 在()+∞,0上至少有三个零点可化为()x f 与()x g 的图象在()+∞,0上至少有三个交点，
()x g 在()+∞,0上单调递减，则⎩⎨⎧-><<23log 10a
a ，解得：33
0<<a 故选A ．
考点：根的存在性及根的个数判断.
【方法点晴】本题是一道关于函数零点的题目，关键是结合数形结合的思想进行解答.根据已知条件推导可得
()x f 是周期函数,其周期为,要使函数()()1log +-=x x f y a 在()+∞,0上至少有三个零点,等价于函数()x f 的
图象与函数()1log +=x y a 的图象在()+∞,0上至少有三个交点,接下来在同一坐标系内作出图象,进而可得的范围.
3． 【答案】A
【解析】解：∵命题p ：存在x 0＞0，使2＜1为特称命题，
∴￢p 为全称命题，即对任意x ＞0，都有2x
≥1．
故选：A
4． 【答案】B
【解析】由复数的除法运算法则得，
i i i i i i i i z z 54
531086)3)(3()3)(31(33121+=+=-+-+=++=，所以2
1z z 的虚部为54.
5． 【答案】B
【解析】解：∵y=f （|x|）是偶函数， ∴y=f （|x|）的图象是由y=f （x ）把x ＞0的图象保留，
x ＜0部分的图象关于y 轴对称而得到的．
故选B ．
【点评】考查函数图象的对称变换和识图能力，注意区别函数y=f （x ）的图象和函数f （|x|）的图象之间的关系，函数y=f （x ）的图象和函数|f （x ）|的图象之间的关系；体现了数形结合和运动变化的思想，属基础题．
6． 【答案】C
【解析】解：∵A={0，1，2}，B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}， ∴当x=0，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为0，﹣1，﹣2； 当x=1，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为1，0，﹣1； 当x=2，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为2，1，0； ∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是5个． 故选C ．
7． 【答案】B.
【解析】2
3
2
3
()4()()44()a b ab a b ab ab -=⇒+=+，故
11a b a b ab
++≤⇒≤
2322()44()1184()82()()a b ab ab ab ab ab ab ab ab ++⇒≤⇒=+≤⇒+≤，而事实上12ab ab +≥=，
∴1ab =，∴log 1a b =-，故选B. 8． 【答案】B 【解析】
试题分析：由于()cos8.5cos 8.52π=-，因为8.522
π
ππ<-<，所以cos8.50<，又()sin3sin 3sin1.5π=-<，
∴cos8.5sin3sin1.5<<． 考点：实数的大小比较. 9． 【答案】C
【解析】解：∵某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1：N 1（90，86）和ξ2：N 2（93，79）， ∴μ1=90，▱1=86，μ2=93，▱2=79，
∴第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定， 故选：C ．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
10．【答案】
【解析】选B.取AP 的中点M ， 则P A ＝2AM ＝2OA sin ∠AOM
＝2sin x
2，
PB ＝2OM ＝2OA ·cos ∠AOM ＝2cos x
2
，
∴y ＝f （x ）＝P A ＋PB ＝2sin x 2＋2cos x 2＝22sin （x 2＋π
4），x ∈[0，π]，根据解析式可知，只有B 选项符合要求，
故选B. 11．【答案】 B
【解析】解：不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分， 当直线ax+by=z （a ＞0，b ＞0）
过直线x ﹣y+2=0与直线3x ﹣y ﹣6=0的交点（4，6）时， 目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）取得最大12，
即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=（
）
=
+（
）≥
=
，当且仅当a=b=，取最小值
．
故选B ．
12．【答案】B
【解析】解：∵f′（x）=1﹣x+x2﹣x3+…+x2014
=（1﹣x）（1+x2+…+x2012）+x2014；
∴f′（x）＞0在（﹣1，0）上恒成立；
故f（x）在（﹣1，0）上是增函数；
又∵f（0）=1，
f（﹣1）=1﹣1﹣﹣﹣…﹣＜0；
故f（x）在（﹣1，0）上恰有一个零点；
故选B．
【点评】本题考查了导数的综合应用及函数零点的个数的判断，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】②③④
【解析】解：①函数y=[sinx]是非奇非偶函数；
②函数y=[sinx]的周期与y=sinx的周期相同，故是周期为2π的周期函数；
③函数y=[sinx]的取值是﹣1，0，1，故y=[sinx]﹣cosx不存在零点；
④函数数y=[sinx]、y=[cosx]的取值是﹣1，0，1，故y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2，﹣1，0，1}．故答案为：②③④．
【点评】本题考查命题的真假判断，考查新定义，正确理解新定义是关键．
14．【答案】{0，1}．
【解析】解：
=[﹣]+[
+]
=[﹣]+[+]，
∵0＜
＜1，
∴﹣＜﹣＜，＜+＜，
①当0＜＜时，
0＜﹣＜，＜
+＜1，
故y=0；
②当=时，
﹣=0，
+=1，
故y=1；
③＜＜1时，
﹣＜﹣
＜0，1＜
+＜，
故y=﹣1+1=0；
故函数
的值域为{0，1}．
故答案为：{0，1}．
【点评】本题考查了学生的化简运算能力及分类讨论的思想应用．
15．【答案】2016
【解析】因为函数()f x 为奇函数且x ∈R ，则由(0)0f =，得00
63e 032e b
a -=，整理，得2016a
b =．
16．【答案】 [
] ．
【解析】解：由题设知C 41p （1﹣p ）3≤C 42p 2（1﹣p ）2
，
解得
p ，
∵0≤p ≤1，
∴
，
故答案为：
[]．
17．【答案】53,124⎛⎤
⎥⎝⎦
【解析】
试题分析：
作出函数y =
()23y k x =-+的图象，
如图所示，
函数y =的图象是一个半圆，直线()23y k x =-+的图象恒过定点()2,3，结合图象，可知，当过点()2,0-时，303
224
k -==+，当直线
()23y k x =-+
2=，解得512k =，所以实数的取值范围是53,124⎛⎤
⎥⎝⎦
.111]
考点：直线与圆的位置关系的应用．
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的斜率公式，以及函数的图像的应用等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生的分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中把方程的根转化为直线与半圆的交点是解答的关键. 18．【答案】()0,1
【解析】
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）由题意知，)cos )(sin cos (sin 2
3
cos sin )(x x x x x x b a x f +-+
=⋅= )3
2sin(2cos 232sin 21π-=-=
x x x ……………………………………3分 令2
23
22
2π
ππ
π
π+
≤-
≤-
k x k ，Z k ∈，则可得12
512
π
ππ
π+
≤≤-
k x k ，Z k ∈. ∴)(x f 的单调递增区间为]12
5,12
[π
ππ
π+
-
k k （Z k ∈）.…………………………5分
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意可知：X～B（9，p），故EX=9p．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有5个元件正常工作的概率为：．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有6个元件正常工作的概率为：．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有7个元件正常工作的概率为：．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有8个元件正常工作的概率为：．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有9个元件正常工作的概率为：．
通讯器械正常工作的概率P′=；
（Ⅱ）当电路板上有11个元件时，考虑前9个元件，
为使通讯器械正常工作，前9个元件中至少有4个元件正常工作．
①若前9个元素有4个正常工作，则它的概率为：．
此时后两个元件都必须正常工作，它的概率为：p2；
②若前9个元素有5个正常工作，则它的概率为：．
此时后两个元件至少有一个正常工作，它的概率为：；
③若前9个元素至少有6个正常工作，则它的概率为：；
此时通讯器械正常工作，故它的概率为：
P″=p2++，
可得P″﹣P′=p2+﹣
，
==．
故当p=时，P″=P′，即增加2个元件，不改变通讯器械的有效率；
当0＜p时，P″＜P′，即增加2个元件，通讯器械的有效率降低；
当p时，P″＞P′，即增加2个元件，通讯器械的有效率提高．
【点评】本题考查二项分布，考查了相互独立事件及其概率，关键是对题意的理解，属概率统计部分难度较大的题目．
21．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
解析：（1）原式=1+1﹣5+2+1=0；…（6分）
（2）∵向量=（sinθ，cosθ），=（﹣2，1），满足∥，
∴sinθ=﹣2cosθ，①…（9分）
又sin2θ+cos2θ+=1，②
由①②解得cos2θ=，…（11分）
∵θ∈（，π），∴cosθ=﹣．…（12分）
【点评】本题考查对数运算法则以及三角函数的化简求值，向量共线的应用，考查计算能力．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由f（﹣x）=﹣f（x）得kx2﹣2x=﹣kx2﹣2x，
∴k=0．
（Ⅱ）∵g（x）=a f（x）﹣1=a2x﹣1=（a2）x﹣1
①当a2＞1，即a＞1时，g（x）=（a2）x﹣1在[﹣1，2]上为增函数，∴g（x）最大值为g（2）=a4﹣1．
②当a2＜1，即0＜a＜1时，∴g（x）=（a2）x在[﹣1，2]上为减函数，
∴g（x）最大值为．
∴
（Ⅲ）由（Ⅱ）得g（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值为，
∴1≤t2﹣2mt+1即t2﹣2mt≥0在[﹣1，1]上恒成立
令h（m）=﹣2mt+t2，∴
即
所以t∈（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）．
【点评】本题考查函数的奇偶性，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
23．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识，意在考查转化与化归思想的运用和综合分析问题解决问题的能力．
请
24．【答案】（1）圆与圆相离；（2）定值为2. 【解析】
试题分析：（1）若两圆关于直线对称，则圆心关于直线对称，并且两圆的半径相等，可先求得圆M 的圆心，
DM r =,然后根据圆心距MN 与半径和比较大小，从而判断圆与圆的位置关系；（2）因为点G 到AP 和BP 的距离相等，所以两个三角形的面积比值PA
PB S S APG PBG
=
∆∆,根据点P 在圆M 上，代入两点间距离公式求PB 和PA ,最后得到其比值.
试题解析：（1） ∵圆N 的圆心)35,35
(-N 关于直线x y =的对称点为)3
5,35(-M ， ∴9
16)3
4(||2
2
2
=
-==MD r ， ∴圆M 的方程为9
16
)35()35(22=
-++y x .
∵3
8
23210)310()310(||22=>=
+=r MN ，∴圆M 与圆N 相离.
考点：1.圆与圆的位置关系；2.点与圆的位置关系.1。