七年级数学上册上册数学压轴题同步优质(Word版 含答案)

七年级数学上册上册数学压轴题同步优质（Word 版 含答案）
一、压轴题
1．如图，数轴上点A 、B 表示的点分别为-6和3
（1）若数轴上有一点P ，它到A 和点B 的距离相等，则点P 对应的数字是________（直接写出答案）
（2）在上问的情况下，动点Q 从点P 出发，以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左移动，是否存在某一个时刻，Q 点与B 点的距离等于 Q 点与A 点的距离的2倍？若存在，求出点Q 运动的时间，若不存在，说明理由．
2．某市两超市在元旦节期间分别推出如下促销方式：
甲超市：全场均按八八折优惠；
乙超市：购物不超过200元，不给于优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元优惠10%，超过500元的部分打八折；
已知两家超市相同商品的标价都一样．
（1）当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？
（2）当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实付款相同？
（3）某顾客在乙超市购物实际付款482元，试问该顾客的选择划算吗？试说明理由．
3．已知x ＝﹣3是关于x 的方程（k +3）x +2＝3x ﹣2k 的解．
（1）求k 的值；
（2）在（1）的条件下，已知线段AB ＝6cm ，点C 是线段AB 上一点，且BC ＝kAC ，若点D 是AC 的中点，求线段CD 的长．
（3）在（2）的条件下，已知点A 所表示的数为﹣2，有一动点P 从点A 开始以2个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q 从点B 开始以4个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，当时间为多少秒时，有PD ＝2QD ？
4．已知：点O 为直线AB 上一点，90COD ∠=︒ ，射线OE 平分AOD ∠，设
COE α∠=．
（1）如图①所示，若25α=︒，则BOD ∠= ．
（2）若将COD ∠绕点O 旋转至图②的位置，试用含α的代数式表示BOD ∠的大小，并说明理由；
（3）若将COD ∠绕点O 旋转至图③的位置，则用含α的代数式表示BOD ∠的大小，即BOD ∠= ．
（4）若将COD ∠绕点O 旋转至图④的位置，继续探究BOD ∠和COE ∠的数量关系，则用含α的代数式表示BOD ∠的大小，即BOD ∠= ．
5．已知线段AD ＝80，点B 、点C 都是线段AD 上的点．
（1）如图1，若点M 为AB 的中点，点N 为BD 的中点，求线段MN 的长；
（2）如图2，若BC ＝10，点E 是线段AC 的中点，点F 是线段BD 的中点，求EF 的长； （3）如图3，若AB ＝5，BC ＝10，点P 、Q 分别从B 、C 出发向点D 运动，运动速度分别为每秒移动1个单位和每秒移动4个单位，运动时间为t 秒，点E 为AQ 的中点，点F 为PD 的中点，若PE ＝QF ，求t 的值．
6．如图，A 、B 、C 三点在数轴上，点A 表示的数为10-，点B 表示的数为14，点C 为线段AB 的中点.动点P 在数轴上，且点P 表示的数为x .
（1）求点C 表示的数；
（2）点P 从点A 出发，向终点B 运动.设BP 中点为M .请用含x 的整式表示线段MC 的长.
（3）在（2）的条件下，当x 为何值时，2AP CM PC -=？
7．如图1，点A ，B ，C ，D 为直线l 上从左到右顺次的4个点．
(1) ①直线l 上以A ，B ，C ，D 为端点的线段共有 条；
②若AC =5cm ，BD =6cm ，BC =1cm ，点P 为直线l 上一点，则PA +PD 的最小值为 cm ；(2)若点A 在直线l 上向左运动，线段BD 在直线l 上向右运动，M ，N 分别为AC ，BD 的中点（如图2），请指出在此过程中线段AD ，BC ，MN 有何数量关系并说明理由；
(3)若C 是AD 的一个三等分点，DC ＞AC ，且AD=9cm ，E ，F 两点同时从C ，D 出发，分别以2cm/s ，1cm/s 的速度沿直线l 向左运动，Q 为EF 的中点，设运动时间为t ，当
AQ+AE+AF=32
AD 时，请直接写出t 的值． 8．点O 为直线AB 上一点，在直线AB 同侧任作射线OC 、OD ，使得∠COD=90°
（1）如图1，过点O 作射线OE ，当OE 恰好为∠AOC 的角平分线时，另作射线OF ，使得OF 平分∠BOD ，则∠EOF 的度数是__________度；
（2）如图2，过点O 作射线OE ，当OE 恰好为∠AOD 的角平分线时，求出∠BOD 与∠COE 的数量关系；
（3）过点O 作射线OE ，当OC 恰好为∠AOE 的角平分线时，另作射线OF ，使得OF 平分∠COD ，若∠EOC=3∠EOF ，直接写出∠AOE 的度数
9．综合与探究问题背景数学活动课上，老师将一副三角尺按图（1）所示位置摆放，分别
作出∠AOC ，∠BOD 的平分线OM 、ON ，然后提出如下问题：求出∠MON 的度数．
特例探究“兴趣小组”的同学决定从特例入手探究老师提出的问题，他们将三角尺分别按图2、图3所示的方式摆放，OM 和ON 仍然是∠AOC 和∠BOD 的角平分线．其中，按图2方式摆放时，可以看成是ON 、OD 、OB 在同一直线上．按图3方式摆放时，∠AOC 和∠BOD 相等．
（1）请你帮助“兴趣小组”进行计算：图2中∠MON 的度数为 °．图3中∠MON 的度数为 °．
发现感悟
解决完图2，图3所示问题后，“兴趣小组”又对图1所示问题进行了讨论：
小明：由于图1中∠AOC 和∠BOD 的和为90°，所以我们容易得到∠MOC 和∠NOD 的和，这样就能求出∠MON 的度数．
小华：设∠BOD 为x °，我们就能用含x 的式子分别表示出∠NOD 和∠MOC 度数，这样也能求出∠MON 的度数．
（2）请你根据他们的谈话内容，求出图1中∠MON 的度数．
类比拓展
受到“兴趣小组”的启发，“智慧小组”将三角尺按图4所示方式摆放，分别作出∠AOC 、∠BOD 的平分线OM 、ON ，他们认为也能求出∠MON 的度数．
（3）你同意“智慧小组”的看法吗？若同意，求出∠MON 的度数；若不同意，请说明理由．
10．已知120AOB ∠︒＝ (本题中的角均大于0︒且小于180︒)
(1)如图1，在AOB ∠内部作COD ∠，若160AOD BOC ∠∠︒＋＝，求COD 的度数；
(2)如图2，在AOB ∠内部作COD ∠，OE 在AOD ∠内，OF 在BOC ∠内，且
3DOE AOE ∠∠＝，3COF BOF ∠=∠，72
EOF COD ∠=∠，求EOF ∠的度数；
(3)射线OI 从OA 的位置出发绕点O 顺时针以每秒6︒的速度旋转，时间为t 秒(050t <<且30t ≠)．射线OM 平分AOI ∠，射线ON 平分BOI ∠，射线OP 平分MON ∠．若3MOI POI ∠=∠，则t = 秒．
11．如图1,射线OC 在∠AOB 的内部,图中共有3个角:∠AOB 、∠AOC 和∠BOC,若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍,则称射线OC 是∠AOB 的“奇分线”，如图2,∠MPN=42°:
(1)过点P 作射线PQ,若射线PQ 是∠MPN 的“奇分线”,求∠MPQ ；
(2)若射线PE 绕点P 从PN 位置开始,以每秒8°的速度顺时针旋转,当∠EPN 首次等于180°时停止旋转,设旋转的时间为t (秒).当t 为何值时,射线PN 是∠EPM 的“奇分线”?
12．如图，P 是定长线段AB 上一点，C 、D 两点分别从P 、B 出发以1cm /s 、2cm /s 的速度沿直线AB 向左运动（C 在线段AP 上，D 在线段BP 上）
（1）若C 、D 运动到任一时刻时，总有PD ＝2AC ，请说明P 点在线段AB 上的位置：
（2）在（1）的条件下，Q 是直线AB 上一点，且AQ ﹣BQ ＝PQ ，求PQ AB
的值．
（3）在（1）的条件下，若C 、D 运动5秒后，恰好有1CD AB 2
=，此时C 点停止运动，D 点继续运动（D 点在线段PB 上），M 、N 分别是CD 、PD 的中点，下列结论：①PM ﹣PN 的值不变；②
MN AB
的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、压轴题
1．（1）-1.5；（2）存在这样的时刻，点Q 运动的时间为0.5秒或4.5秒．
【解析】
【分析】
（1）根据同一数轴上两点的距离公式可得结论；
（2）分两种情况：当点Q 在A 的左侧或在A 的右侧时，根据Q 点与B 点的距离等于Q 点与A 点的距离的2倍可得结论；
【详解】
解：（1）数轴上点A 表示的数为-6；点B 表示的数为3；
∴AB=9；
∵P 到A 和点B 的距离相等，
∴点P 对应的数字为-1.5.
（2）由题意得：设Q 点运动得时间为t ，则QB=4.5+3t ，QA=4.53t -
分两种情况：
①点Q 在A 的左边时，4.5+3t=2()4.53t -，
t=0.5，
②点Q 在A 的右边时，4.5+3t=2()3 4.5t -，
t=4.5，
综上，存在这样的时刻，点Q 运动的时间为0.5秒或4.5秒．
【点睛】
本题考查了数轴、一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分情况进行讨论．
2．（1）甲超市实付款352元，乙超市实付款 360元；（2）购物总额是625元时，甲、乙两家超市实付款相同；（3）该顾客选择不划算.
【解析】
【分析】
（1）根据两超市的促销方案，即可分别求出：当一次性购物标价总额是400元时，甲、乙两超市实付款；
（2）设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样．根据两超市的促销方案结合两超市实付款相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）设购物总额是x元，根据题意列方程求出购物总额，然后计算若在甲超市购物应付款，比较即可得出结论．
【详解】
（1）甲超市实付款：400×0.88=352元，乙超市实付款：400×0.9=360元；
（2）设购物总额是x元，由题意知x>500，列方程：
0.88x=500×0.9+0.8(x-500)
∴x=625
∴购物总额是625元时，甲、乙两家超市实付款相同．
（3）设购物总额是x元，购物总额刚好500元时，在乙超市应付款为：
500×0.9=450(元)，482＞450，故购物总额超过500元．根据题意得：
500×0.9+0.8(x-500)=482
∴x=540
∴0.88x=475.2<482
∴该顾客选择不划算．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据两超市的促销方案，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）求出购物总额．
3．（1）2；（2）1cm；（3）
9
10
秒或
11
6
秒
【解析】
【分析】
（1）将x＝﹣3代入原方程即可求解；
（2）根据题意作出示意图，点C为线段AB上靠近A点的三等分点，根据线段的和与差关系即可求解；
（3）求出D和B表示的数，然后设经过x秒后有PD＝2QD，用x表示P和Q表示的数，然后分两种情况①当点D在PQ之间时，②当点Q在PD之间时讨论即可求解．
【详解】
（1）把x＝﹣3代入方程（k+3）x+2＝3x﹣2k得：﹣3（k+3）+2＝﹣9﹣2k，
解得：k＝2；
故k＝2；
（2）当C在线段AB上时，如图，
当k＝2时，BC＝2AC，AB＝6cm，
∴AC＝2cm，BC＝4cm，
∵D为AC的中点，
∴CD ＝12
AC ＝1cm ． 即线段CD 的长为1cm ；
（3）在（2）的条件下，∵点A 所表示的数为﹣2，AD ＝CD ＝1，AB ＝6，
∴D 点表示的数为﹣1，B 点表示的数为4．
设经过x 秒时，有PD ＝2QD ，则此时P 与Q 在数轴上表示的数分别是﹣2﹣2x ，4﹣4x ． 分两种情况：
①当点D 在PQ 之间时，
∵PD ＝2QD ，
∴()()1222441x x ⎡⎤---=---⎣⎦，解得x ＝
910 ②当点Q 在PD 之间时，
∵PD ＝2QD ，
∴()()1222144x x ⎡⎤----=---⎣⎦，解得x ＝
116． 答：当时间为
910或116
秒时，有PD ＝2QD ． 【点睛】
本题考查了方程的解，线段的和与差，数轴上的动点问题，一元一次方程与几何问题，分情况讨论是本题的关键．
4．（1）50；（2）2BOD α∠=；（3）2α；（4）3602α︒-
【解析】
【分析】
（1）根据“∠COD=90°，∠COE=25°”求出∠DOE 的度数，再结合角平分线求出∠AOD 的度数，即可得出答案；
（2）重复（1）中步骤，将∠COE 的度数代替成α计算即可得出答案； （3）根据图得出∠DOE=∠COD-∠COE=90°-
α，结合角平分线的性质以及平角的性质计算即可得出答案；
（4）根据图得出∠DOE=∠COE-∠COD=
α-90°，结合角平分线的性质以及平角的性质计算即可得出答案.
【详解】
解：（1）∵∠COD=90°，∠COE=25°
∴∠DOE=∠COD-∠COE=65°
又OE 平分∠AOD
∴∠AOD=2∠DOE=130°
∴∠BOD=180°-∠AOD=50°
（2）∵∠COD=90°，∠COE=α
∴∠DOE=∠COD-∠COE=90°-
α 又OE 平分∠AOD
∴∠AOD=2∠DOE=180°-2?α
∴∠BOD=180°-∠AOD=2α
（3）∵∠COD=90°，∠COE=α
∴∠DOE=∠COD-∠COE=90°-α
又OE平分∠AOD
∴∠AOD=2∠DOE=180°-2?α
∴∠BOD=180°-∠AOD=2α
（4）∵∠COD=90°，∠COE=α
∴∠DOE=∠COE-∠COD=α-90°
又OE平分∠AOD
∴∠AOD=2∠DOE=2?α-180°
∴∠BOD=180°-∠AOD=360°-2α
【点睛】
本题考查的是求角度，难度适中，涉及到了角平分线以及平角的性质需要熟练掌握.
5．（1）MN＝40；（2）EF=35；（3）
50
9
=
t或t＝12．
【解析】【分析】
（1）由MN＝BM+BN＝11
22
AB BD
+即可求出答案；
（2）根据EF＝AD﹣AE﹣DF，可求出答案；
（3）可得PE＝AE﹣AB﹣BP＝5
2
t+，DF＝
75
2
t-，则QF＝
557
22
t
-或
755
22
t-，由PE＝
QF可得方程，解方程即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵M为AB的中点，N为BD的中点，
∴
1
2
BM AB
=，
1
2
BN BD
=，
∴MN＝BM+BN＝11
22
AB BD
+＝
11
8040
22
AD=⨯=；
（2）∵E为AC的中点，F为BD的中点，
∴
1
2
AE AC
=，
1
2
DF BD
=，
()()
1111
35
2222
EF AD AE DF AD AC BD AD AD BC AD BC =--=-+=-+=-=
∴
（3）运动t秒后，AQ＝AC+CQ＝15+4t，∵E为AQ的中点，
∴
115
2
22
AE AQ t
==+，
∴1552522
PE AE AB BP t t t =--=
+--=+， ∵DP ＝DB ﹣BP ＝75﹣t ，F 为DP 的中点， ∴175222
t DF DP ==-， 又DQ ＝DC ﹣CQ ＝65﹣4t ， ∴755576542222t QF DQ DF t t =-=--+=-， 或75522QF DF DQ t =-=
-， 由PE ＝QF 得：
52t +=55722t -或52t +=55722t - 解得：509=
t 或t ＝12． 【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用以及线段的中点，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
6．（1）2；（2）52x MC =+
；（3）当25x =-或6x =时，有2AP CM PC -=成立. 【解析】
【分析】
（1）根据中点的定义，即可求出点C 的坐标；
（2）先表示出点M 的数，然后利用线段上两点之间的距离，即可表示出MC 的长度； （3）分别求出AP ，MC 和PC 的长度，结合题意，分为三种情况进行讨论，即可求出x 的值.
【详解】
解：（1）点A 表示的数为10-，点B 表示的数为14，
∴线段AB=14(10)24--=，
∴点C 表示的数为：142422-÷=；
（2）根据题意，
点M 表示的数为：142
x +， ∴线段MC 的长度为：
142522x x +-=+； （3）根据题意，
线段AP 的长度为：10x +，
线段MC 的长度为：52
x +， 线段PC 的长度为：2x -，
∵2AP CM PC -=， ∴10(5)222x x x +-+=-， 整理得：15242
x x -=+， ①当点P 在点C 的左边时，2x <，则20x ->， ∴15242
x x -=+， 解得：25
x =-； ②当点P 与点C 重合时，2x =， ∴15042
x +=， 解得：10x =-（不符合题意，舍去）；
③当点P 在点C 的右边时，2x >，则20x -<， ∴15242
x x -=+， 解得：6x =. ∴当25x =-
或6x =时，有2AP CM PC -=成立. 【点睛】
本题考查了数轴上的动点的问题，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，以及绝对值的意义，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离.
7．(1) ①6条；②10；(2)1122MN AD BC =
-，证明见解析；(3) 1t =. 【解析】
【分析】
（1）①根据线段的定义结合图形即可得出答案；②PA +PD 最小，即P 为AD 的中点，求出AD 的长即可；
(2) 根据M ，N 分别为AC ，BD 的中点，得到12MC AC =，12
BN BD =，利用MN MC BN BC =+-代入化简即可；
(3) 根据C 是AD 的一个三等分点，DC ＞AC ，且AD=9cm ，得到3AC =，6CD =，并可得到2EC t =，FD t =，62t EQ +=
，代入AQ+AE+AF=32
AD ，化简则可求出t . 【详解】
解：(1) ①线段有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6条；
②∵BD =6，BC =1，
∴CD=BD-BC=6-1=5，
当PA +PD 的值最小时，P 为AD 的中点，
∴5510PA PD AD AC CD +==+=+=；
(2)1122
MN AD BC =-. 如图2示：
∵M ，N 分别为AC ，BD 的中点，
∴12MC AC =
，12
BN BD = ∴MN MC BN BC =+- 1122AC BD BC =
+- ()12
AC BD BC =+- ()12AB BC BD BC =
++- 1122
AD BC =-； (3)如图示：
∵C 是AD 的一个三等分点，DC ＞AC ，且AD=9cm ，
∴3AC =，6CD =，
根据E ，F 两点同时从C ，D 出发，速度是2cm/s ，1cm/s ，Q 为EF 的中点，运动时间为t ， 则有：2EC t =，FD t =，6222EF AD AE FD t EQ --+=
== 当AQ+AE+AF=32
AD 时， 则有：32AE EQ AE AD FD AD +++-=
即是：()()6932329922
t t t t +-+
+-+-=⨯ 解之得：1t =.
【点睛】 本题主要考查了两点间的距离，解决问题的关键是依据线段的和差关系列方程．
8．（1）135°；（2）∠BOD=2∠COE；（3）67.5°.
【解析】
【分析】
（1）由∠COD=90°，则∠AOC+∠BOD=90°，由OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，得
∠COE+∠DOF=45°，即可求出∠EOF的度数；
（2）由题意得出∠BOD+∠AOC=90°，∠BOD=180°-∠AOD，再由角平分线的定义进行计算，即可得出结果；
（3）由角平分线定义得出∠AOC=∠COE，∠COF=∠DOF=45°，再由∠BOD+∠AOC=90°，设∠EOF=x，则∠EOC=3x，∠COF=4x，根据题意得出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）如图：
∵∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠COE+∠DOF=11
()9045
22
AOC BOD
∠+∠=⨯︒=︒，
∴∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF=45°+90°=135°；故答案为：135°；
（2）∠BOD=2∠COE；
理由如下：如图，
∵∠COD=90°．
∴∠BOD+∠AOC=90°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=∠DOE=1
2
∠AOD，
又∵∠BOD=180°-∠AOD，∴∠COE=∠AOE-∠AOC
=1
2
∠AOD-（90°-∠BOD）
=1
2
（180°-∠BOD）-90°+∠BOD
=1
2
∠BOD，
∴∠BOD=2∠COE；
（3）如图，
∵OC为∠AOE的角平分线，OF平分∠COD，
∴∠AOC=∠COE，∠COF=∠DOF=45°，
∵∠EOC=3∠EOF，
设∠EOF=x，则∠EOC=3x，
∴∠COF=4x，
∴∠AOE=2∠COE=6x，∠DOF=4x，
∵∠COD=90°，
∴4x+4x=90°，
解得：x=11.25°，
∴∠AOE=6×11.25°=67.5°．
【点睛】
本题考查了角平分线定义、角的互余关系、邻补角定义以及角的计算；熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键．
9．（1）135，135；（2）∠MON＝135°；（3）同意，∠MON＝（90°﹣1
2
x°）+x°+
（45°﹣1
2
x°）＝135°.
【解析】【分析】
（1）由题意可得，∠MON＝1
2
×90°+90°，∠MON＝
1
2
∠AOC+
1
2
∠BOD+∠COD，即可
得出答案；
（2）根据“OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分线”可求出∠MOC+∠NOD，又∠MON ＝（∠MOC+∠NOD）+∠COD，即可得出答案；
（3）设∠BOC＝x°，则∠AOC＝180°﹣x°，∠BOD＝90°﹣x°，进而求出∠MOC和
∠BON ，又∠MON ＝∠MOC +∠BOC +∠BON ，即可得出答案.
【详解】
解：（1）图2中∠MON ＝12
×90°+90°＝135°；图3中∠MON ＝12∠AOC +12∠BOD +∠COD ＝12
（∠AOC +∠BOD ）+90°＝12⨯90°+90°＝135°； 故答案为：135，135；
（2）∵∠COD ＝90°，
∴∠AOC +∠BOD ＝180°﹣∠COD ＝90°，
∵OM 和ON 是∠AOC 和∠BOD 的角平分线，
∴∠MOC +∠NOD ＝12∠AOC +12∠BOD ＝12
（∠AOC +∠BOD ）＝45°， ∴∠MON ＝（∠MOC +∠NOD ）+∠COD ＝45°+90°＝135°；
（3）同意，
设∠BOC ＝x °，则∠AOC ＝180°﹣x °，∠BOD ＝90°﹣x °，
∵OM 和ON 是∠AOC 和∠BOD 的角平分线，
∴∠MOC ＝12∠AOC ＝12（180°﹣x °）＝90°﹣12
x °， ∠BON ＝12∠BOD ＝12（90°﹣x °）＝45°﹣12
x °， ∴∠MON ＝∠MOC +∠BOC +∠BON ＝（90°﹣
12x °）+x °+（45°﹣12
x °）＝135°． 【点睛】
本题考查的是对角度关系及运算的灵活运用和掌握，此类问题的练习有利于学生更好的对角进行理解.
10．（1）40º；（2）84º；（3）7.5或15或45
【解析】
【分析】
（1）利用角的和差进行计算便可；
（2）设AOE x ∠=︒，则3EOD x ∠=︒，BOF y ∠=︒，通过角的和差列出方程解答便可；
（3）分情况讨论，确定∠MON 在不同情况下的定值，再根据角的和差确定t 的不同方程进行解答便可．
【详解】
解：（1））∵∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOD+∠COD=∠AOB+∠COD
又∵∠AOD+∠BOC=160°且∠AOB=120°
∴COD AOD BOC AOB ∠=∠+∠-∠ 160120=︒-︒
40=︒
（2）3DOE AOE ∠=∠，3COF BOF ∠=∠ ∴设AOE x ∠=︒，则3EOD x ∠=︒，BOF y ∠=︒
则3COF y ∠=︒，
44120COD AQD BOC AOB x y ∴∠=∠+∠-∠=︒+︒-︒
EOF EOD FOC COD ∠=∠+∠-∠
()()3344120120x y x y x y =︒+︒-︒+︒-︒=︒-︒+︒
72
EOF COD ∠=∠ 7120()(44120)2
x y x y ∴-+=+- 36x y ∴+=
120()84EOF x y ∴︒+︒︒∠=-=
（3）当OI 在直线OA 的上方时，
有∠MON=∠MOI+∠NOI=12（∠AOI+∠BOI ））=12∠AOB=12
×120°=60°， ∠PON=
12
×60°=30°， ∵∠MOI=3∠POI ， ∴3t=3（30-3t ）或3t=3（3t-30），
解得t=152
或15； 当OI 在直线AO 的下方时，
∠MON═1
2
（360°-∠AOB）═
1
2
×240°=120°，
∵∠MOI=3∠POI，
∴180°-3t=3（60°-6120
2
t-
）或180°-3t=3（
6120
2
t-
-60°），
解得t=30或45，
综上所述，满足条件的t的值为15
2
s或15s或30s或45s．
【点睛】
此是角的和差的综合题，考查了角平分线的性质，角的和差计算，一元一次方程（组）的应用，旋转的性质，有一定的难度，体现了用方程思想解决几何问题，分情况讨论是本题的难点，要充分考虑全面，不要漏掉解．
11．（1）10.5°或14°或28°或31.5°；（2）7
4
或
21
8
或
21
2
或
63
4
【解析】
【分析】
（1）分4种情况，根据奇分线定义即可求解；
（2）分4种情况，根据奇分线定义得到方程求解即可．【详解】
解：（1）如图1，∵∠MPN=42°，
∵当PQ是∠MPN的3等分线时，
∴∠MPQ=1
3
∠MPN=
1
3
×42°=14°
或∠MPQ=2
3
∠MPN=
2
3
×42°=28°
∵当PQ是∠MPN的4等分线时，
∴∠MPQ=1
4
∠MPN==
1
4
×42°=10.5°
或∠MPQ=3
4
∠MPN=
3
4
×42°=31.5°；
∠MPQ=10.5°或14°或28°或31.5°；
（2）依题意有①当3×8t=42时，解得t=7
4
；
②当2×8t=42时，解得t=21
8
；
③当8t=2×42时，解得t=21
2
．
④当8t=3×42时，解得：t=63
4
，
故当t为7
4
或
21
8
或
21
2
或
63
4
时，射线PN是∠EPM的“奇分线”．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，新定义奇分线，以及学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“奇分线”的定义是解题的关键．
12．（1）点P在线段AB上的1
3
处；（2）
1
3
；（3）②MN
AB
的值不变.
【解析】
【分析】
（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在
线段AB上的1
3
处；
（2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ 与AB的关系；
（3）当点C停止运动时，有CD＝1
2
AB，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB
表示的PM与PN的值，所以MN＝PN−PM＝
1
12
AB．
【详解】
解：（1）由题意：BD=2PC
∵PD=2AC，
∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP.
∴点P在线段AB上的1
3
处；
（2
）如图：
∵AQ-BQ=PQ，∴AQ=PQ+BQ，∵AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，
∴PQ=1
3 AB，
∴
1
3 PQ AB
=
（3）②MN
AB
的值不变.理由：如图，
当点C停止运动时，有CD=1
2 AB，
∴CM=1
4 AB，
∴PM=CM-CP=1
4
AB-5，
∵PD=2
3
AB-10，
∴PN=12
23
（AB-10）=
1
3
AB-5，
∴MN=PN-PM=
1
12
AB，
当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，
所以
1
1
12
12
AB
MN
AB AB
==.
【点睛】
本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．。