2020年浙江省台州市临海西岑中学高一数学理月考试卷含解析

2020年浙江省台州市临海西岑中学高一数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列说法正确的是（）
A．若|，B．若，
C．若，则D．若，则与不是共线向量
参考答案：
C
【考点】96：平行向量与共线向量；93：向量的模．
【分析】利用平面向量的性质，决定向量的有大小和方向，结合共线向量的定义进行选择．
【解答】解：对于A，若|，；错误；因为向量没有大小之分；
对于B，，错误；因为两个向量方程可能不同；
对于C，相等的向量大小和方向都相同；故正确；
对于D，，则与可能是共线向量；故错误；
故选：C．
2. 把函数的图象向右平移m（其中m＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则m的最小值是（）
A．B．C．
D．
参考答案：
B
3. 如果偶函数在区间上是增函数且最小值是，则在上是
（A）增函数，最大值为（B）增函数，最小值是
（C）减函数，最大值为（D）减函数，最小值是
参考答案：
D
4. （3分）已知f（x）=x3+2x，则f（5）+f（﹣5）的值是（）
A．﹣1 B．0 C． 1 D．2
参考答案：
B
考点：函数的值．
专题：函数的性质及应用．
分析：首先根据函数关系式，得到函数是奇函数，进一步利用奇函数的性质求出结果．解答：解：函数f（x）=x3+2x
由于f（﹣x）=﹣f（x）
则函数为奇函数．
所以f（﹣5）+f（5）=0
故选：B
点评：本题考查的知识要点：函数奇偶性的应用．属于基础题型．
5. 幂函数的图象过点，那么的值为（）
A. B. 64 C.
D.
参考答案：
A
6. 函数y=f（x）的图象在[a，b]内是连续的曲线，若f（a）?f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内（）
A. 只有一个零点
B. 无零点
C. 至少有一个零点
D. 无法确定
参考答案：
C
略
7. 直角梯形OABC中AB∥OC、AB=1、OC=BC=2，直线l：x=t截该梯形所得位于l左边图形面积为S，则函数S=f（t）的图象大致为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】函数的图象与图象变化；函数模型的选择与应用．
【分析】本题考查的是函数的图象和分段函数的综合类问题．在解答的过程当中，首先应该直线l的
运动位置分析面积的表达形式，进而得到分段函数：然后分情况即可获得问题的解答．
【解答】解：由题意可知：当0＜t≤1时，，
当1＜t≤2 时，；
所以．
结合不同段上函数的性质，可知选项C符合．
故选C．
8. 在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于（）
A．30° B．45°C．60° D．120° 参考答案：
C
9. 满足条件 {1，2}∪B={1，2，3，4，5}的所有集合B的个数为( )
A．8
B．4
C．3
D．2
参考答案：
B
考点：并集及其运算．
专题：集合．
分析：根据并集关系进行求解即可．
解答：解：若 {1，2}∪B={1，2，3，4，5}，
则B={3，4，5}，{1，3，4，5}，{2，3，4，5}，{1，2，3，4，5}，
共有4个，
故选：B．
点评：本题主要考查集合关系的应用，比较基础．
10. （5分）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程是（）
A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x﹣y+4=0 D．x+y﹣4=0参考答案：
D
考点：圆的切线方程．
专题：直线与圆．
分析：根据直线和圆相切得到切线斜率即可得到结论．
解答：∵直线和圆相切于点P（1，），
∴OP的斜率k=，
则切线斜率k=，
故切线方程为y﹣=（x﹣1），
即x+y﹣4=0，
故选：D
点评：本题主要考查切线方程的求解，根据直线和圆相切得到切线斜率是解决本题的关键．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若方程的一根在区间上，另一根在区间上，则实数的范
围
.
参考答案：
（-4，-2）
12. 若[x]表示不超过x 的最大整数，则
[lg2]+[lg3]+…+lg[2017]+[lg ]+[lg ]+…+[lg ]= ．
参考答案：
﹣2013
【考点】数列的求和．
【分析】分类讨论，当2≤n≤9时，[lgn]=0；当10≤n≤99时，[lgn]=1；当100≤n≤999时，[lgn]=2；当1000≤n≤9999时，[lgn]=3；当≤≤，[lg]=﹣1；当≤≤时，[lg]=﹣2；当≤≤时，[lg]=﹣3；
当≤≤时，[lg]=﹣4．从而分别求和即可．
【解答】解：当2≤n≤9时，[lgn]=0，
当10≤n≤99时，[lgn]=1，
当100≤n≤999时，[lgn]=2，
当1000≤n≤9999时，[lgn]=3，
故[lg2]+[lg3]+…+[lg2016]+[2017]
=0×8+1×90+2×900+3×1018
=90+1800+3054
=4944；
当≤≤，[lg]=﹣1；
当≤≤时，[lg]=﹣2；
当≤≤时，[lg]=﹣3；
当≤≤时，[lg]=﹣4．
则[lg]+[lg]+…+[lg]
=（﹣1）×9+（﹣2）×90+（﹣3）×900+（﹣4）×1017
=﹣6957，
故原式=4944﹣6957=﹣2013．
故答案为：﹣2013．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了对数函数值的基本运算，解题的关键：是对对数值准确取整的计算与理解．
13. 等差数列中，是它的前项之和，且，，则：①数列的公差
；②一定小于；③是各项中最大的一项；④一定是中的最大值．其中正确的是（填入你认为正确的所有序号）．
参考答案：
①②④略
14. 已知函数，则
．
参考答案：
15. 与直线2x+y+1=0的距离为的直线方程为．
参考答案：
2x+y=0或2x+y+2=0
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】设与直线2x+y+1=0的距离为的直线方程为2x+y+k=0，利用两条平行线间的距离公式求出
k，由此能求出直线方程．
【解答】解：设与直线2x+y+1=0的距离为的直线方程为2x+y+k=0，
则=，解得k=0或k=2，
∴与直线2x+y+1=0的距离为的直线方程为2x+y=0或2x+y+2=0．
故答案为：2x+y=0或2x+y+2=0．
【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平行线间距离公式的合理运
用．
16. 已知sinθ=，θ∈（﹣，），则sin（π﹣θ）sin（π﹣θ）的值为．
参考答案：
【考点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由sinθ的值及θ的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosθ的值，原式利用诱
导公式化简后，将sinθ与cosθ的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵sinθ=，θ∈（﹣，），
∴cosθ==，
则原式=﹣sinθcosθ=﹣．
故答案为：﹣
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
17. 数列{a n}的通项公式a n＝2n－49，则S n达到最小时，n等于________．
参考答案：
24
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．
（1）求C；
（2）若，且，求△ABC的面积.
参考答案：
（1）；（2）或.
试题分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数、三角形面积公式等基础知
识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、运算求解能力.第一问，先由正弦定理将边转化为角，
利用求出角C；第二问，利用三角形内角和将C角转化为，再利用诱导公式和
两角和与差的正弦公式展开表达式，由于有可能为0，所以分情况讨论，当时可直接
利用直角三角形面积公式求解，当时，需先利用余弦定理求出a，b边长，再利用三角形面
积公式求解.
试题解析：（1）由正弦定理，得，
因为，解得，又，∴．（4分）
（2）由，得，
整理，得．（6分）
若，则，，，；（7分）
若，则，．
由余弦定理，得，解得．（9分）
．（11分）
综上，△ABC的面积为或．（12分）
19. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM﹣DCP与刍童的组合体中
AB=AD，A1B1=A1D1．棱台体积公式：V=（S′++S）h，其中S′，S分别为棱台上、下底面面积，h为棱台高．
（Ⅰ）证明：直线BD⊥平面MAC；
（Ⅱ）若AB=1，A1D1=2，MA=，三棱锥A﹣A1B1D1的体积V=，求该组合体的体积．
参考答案：
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）证明AD⊥MA，推出MA⊥平面ABCD，得到MA⊥BD．结合BD⊥AC，证明BD⊥平面MAC．（Ⅱ）设刍童ABCD﹣A1B1C1D1的高为h，利用几何体的体积公式，转化求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）证明：由题可知ABM﹣DCP是底面为直角三角形的直棱柱，∴AD⊥平面MAB，
又MA?平面MAB，∴AD⊥MA，
又MA⊥AB，AD∩AB=A，AD，AB?平面ABCD，
∴MA⊥平面ABCD，
又BD?平面ABCD，
∴MA⊥BD．
又AB=AD，∴四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，
又MA∩AC=A，MA，AC?平面MAC，
∴BD⊥平面MAC．…
（Ⅱ）设刍童ABCD﹣A1B1C1D1的高为h，
则三棱锥A﹣A1B1D1体积V==，
∴h=，
故该组合体的体积为V==．20. 已知，且
（1）求的值
（2）判断函数的奇偶性
（3）判断函数在上的单调性，并加以证明
参考答案：
（1）
（2）
为奇函数
（3）设任意的，且
则
因为
所以当时，，即，
此时，为减函数
当时，，即
此时，为增函数
所以函数在上为减函数，在上是增函数
21. 设向量，，函数.求函数的最小正周期与最大值.
参考答案：
，最大值为试题分析：由题意和向量的数量积坐标运算，求出解析式并利用倍角公式以及平方关系进行化简，由正弦函数的性质和，求出最大值、最小正周期
试题解析：由题意可得：，则
所以，函数的最小正周期为；
函数的最大值为.
考点：三角函数化简及性质
22. 如图，在三棱锥P-ABC中，，，，，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（2）当PA∥平面BDE时，求三棱锥P-BDE的体积．
参考答案：
（1）见证明；（2）
【分析】
（1）利用线面垂直判定定理得平面，可得；根据等腰三角形三线合一得，利用线面垂直判定定理和面面垂直判定定理可证得结论；（2）利用线面平行的性质定理
可得，可知为中点，利用体积桥可知，利用三棱锥体积公式可求得结果.
【详解】（1）证明：，平面
又平面
，为线段的中点
平面平面
平面平面
（2）平面，平面平面
为中点为中点
三棱锥的体积为
【点睛】本题考查面面垂直的证明、三棱锥体积的求解，涉及到线面垂直的判定和性质定理、面面垂直的判定定理、线面平行的性质定理、棱锥体积公式、体积桥方法的应用，属于常考题型.。