基本不等式的应用2

(2)当x＞4时，x－4＞0， ∴x－3 4＋x＝x－3 4＋(x－4)＋4≥2 x－3 4×（x－4）＋4＝2 3＋ 4， 当且仅当x－3 4＝x－4， 即x＝4＋ 3时，取等号； ∴当x＝4＋ 3时，y＝x－3 4＋x的最小值是2 3＋4.
[跟进训练]
1．求函数y＝x2＋x7＋x＋1 10(x>－1)的最小值.
基本不等式求函数最值
【例1】 (1)设0<x<2，求函数y＝ 3x8－3x的最大值；
(2)若x>4，求y＝x－3 4＋x的最小值．
[思路点拨]
(1)3x＋
8－3x＝8；(2)
3 x－4
＋x＝x－3 4
＋ x－4
＋4
.
可利用基本不等式求解．
[解] (1)∵0＜x＜2，∴0＜3x＜6，8－3x＞2＞0， ∴y＝ 3x（8－3x）≤3x＋（28－3x）＝82＝4， 当且仅当3x＝8－3x，即x＝43时，取等号． ∴当x＝34时，y＝ 3x（8－3x）的最大值是4.
[跟进训练]
3．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有
满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为( )
A．50
B．25 3
C．50 3
D．100
A [设矩形的长和宽分别为x、y，则x2＋y2＝100. 于是S＝xy≤x2＋2 y2＝50，当且仅当x＝y时等号成立．]
运用基本不等式a＋2 b≥ ab求最值时．要注意： (1)“拆”“拼”“凑”等变形技巧，使其满足基本不等式 “正”“定”“等”的条件； (2)连续使用基本不等式时，取等号的条件很严格，要求每次等 号成立的条件都要满足．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若a＞1，则a＋a－1 1的最小值是a2－a1. (2)若a<0，则a＋a1的最小值是－2. (3) xx2＋2＋32的最小值是2. [答案] (1)× (2)× (3)×
() () ()
பைடு நூலகம்
2．若x2＋y2＝1(x、y∈R)，则x 1＋y2的最大值为( )
[思路点拨]
注意x＋y＝1的使用，构造出
8y x
和
2x y
利用基本不等
式．
[解] ∵x＞0，y＞0，且x＋y＝1， ∴8x＋2y＝8x＋2y(x＋y)＝10＋8xy＋2yx≥10＋2 当且仅当8xy＝2yx，即x＝2y时等号成立， ∴当x＝32，y＝31时，8x＋2y有最小值18.
8xy·2yx＝18.
)
A．2
B．a
C．a2－a1
D．3
D
[∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋
1 a－1
＝a－1＋
1 a－1
＋1≥2
（a－1）·a－1 1
＋1＝3.当且仅当a－1＝
1 a－1
，即a＝2时，等号成
立．]
2．设x＞0，则y＝3－3x－1x的最大值是( ) A．3 B．－3 2 C．3－2 3 D．－1 C [∵x＞0， ∴y＝3－3x＋1x≤3－2 3x·1x＝3－2 3.当且仅当3x＝1x，且x＞ 0，即x＝ 33时，等号成立．]
利用基本不等式解决实际问题 【例3】 从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个 正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最 小值为________．
1 2
[设两个正方形边长分别为a，b，
则由题可得2a＋2b＝2，即a＋b＝1，S＝a2＋b2≥2×
a＋b
2
2
＝
12，当且仅当a＝b＝12时取等号．]
利用基本不等式解决实际问题要遵循以下几点： (1)在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量之间的关 系，初步确定用怎样的函数模型； (2)建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或 最小值问题； (3)在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函 数的最大值或最小值； (4)回到实际问题中，检验并写出正确答案．
[解] 令x＋1＝t>0，∴x＝t－1，
∴y＝
（t－1）2＋7（t－1）＋10 t
＝
t2＋5t＋4 t
＝t＋
4 t
＋5≥2
4 t·t
＋5＝9，
当且仅当t＝4t ，即t＝2，x＝1时等号成立． ∴当x＝1时，函数y＝x2＋x7＋x＋1 10(x>－1)取得最小值9.
利用基本不等式求条件最值
【例2】 已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求8x＋2y的最小值.
[跟进训练]
2．若x＞0，y＞0，且1x＋4y＝1，则x＋y的最小值是( )
A．3
B．6
C．9
D．12
C [x＋y＝(x＋y)·1x＋4y＝1＋yx＋4yx＋4＝5＋yx＋4yx≥5＋2
y 4x x·y
＝5＋4＝9.
当且仅当1x＋4y＝1 ， yx＝4yx
即xy＝＝36 时等号成立，故x＋y的最小值为9.]
A．1
B．
5 4
C． 2
D．以上都不对
A
[x
1＋y2
≤
x ＋ 2
1＋y22
2
＝
x2＋y2＋1 2
＝1，当且仅当x＝1，y
＝0时取等号．]
§3 不等式 3.2 基本不等式 第2课时 基本不等式的综合应用
已知x、y都是正数， (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值s42； (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，x＋y取得最小值2 p. 上述命题可归纳为：和定积最大，积定和最小．
1．若a＞1，则a＋a－1 1的最小值是(