山东师范大学附属中学数学高二下期末经典题(含答案解析)

一、选择题
1．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ）
A ．菱形
B ．矩形
C ．直角梯形
D ．等腰梯形
2．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(A 、ω、ϕ均为正的常数)的最小正周期为π，当
2
3
x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
A ．()()()220f f f -<<
B ．()()()220f f f <-<
C ．()()()202f f f -<<
D ．()()()022f f f <-<
3．已知tan 2α=，则2cos α=（ ） A ．
14
B ．
34
C ．
45
D ．
15
4．已知3
sin 34
x π⎛⎫-= ⎪
⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1
8
-
B ．12
-
C ．
18
D ．
12
5．非零向量a b ，满足：a b a -=，()
0a a b ⋅-=，则a b -与b 夹角的大小为 A ．135° B ．120° C ．60°
D ．45° 6．已知,αβ为锐角，且，5
sin 13
α=
，则cos β的值为（ ） A ．
5665
B ．
3365
C ．
1665 D ．
6365
7．将函数()()()()sin 23cos 20f x x x ϕϕϕπ=++<<的图象向左平移4
π
个单位后，得到函数的图象关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，则ϕ等于（ ） A ．6
π-
B ．
6
π C ．
4
π D ．
3
π 8．若将函数1()cos 22
f x x =的图像向左平移6π
个单位长度，则平移后图像的一个对称中
心可以为（ ） A ．(
,0)12
π
B ．(
,0)6
π
C ．(
,0)3
π
D ．(
,0)2
π
9．已知角x 的终边上一点的坐标为(sin
56π，cos
56
π
)，则角x 的最小正值为( )
A ．56
π B ．53
π C ．
116
π
D ．
23
π 10．在三角形ABC 中,,CA a CB b ==，点P 在直线AB 上,且2AP PB =，则CP 可用
,a b 表示为（ ）
A ．2CP a b =+
B ．CP a b =-
C ．1
2
CP a b =
- D ．1233
CP a b =
+
11．已知复数1cos 2()z x f x i =+，)
2cos z x x i =
++，x ∈R .在复平面上，设复
数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最大值为（）
A ．1
4
-
B ．
14 C ．12
- D ．1
2
12．已知非零向量a ⃑ =(t,0),b ⃑ =(−1,√3)，若a ⃑ ⋅b ⃑ =−4，则a ⃑ +2b ⃑ 与b
⃑ 的夹角（ ） A ．π
3
B ．π
2
C ．π
6
D ．2π
3
13．已知单位向量,OA OB 的夹角为60，若2OC OA OB =+，则ABC ∆为（ ） A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
14．已知tan 3a =，则2
1
cos sin 22
a a +=（） A ．25
-
B ．3
C ．3-
D ．
25
15．已知函数()sin(2)3
f x x π
=+，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数
()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ）
A ．
12
π
B ．
512
π C ．
6
π D ．
56
π 二、填空题
16．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ︒∠=，
AB=AD 1=.若点E 为DC 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为______.
17．设向量(,1),(1,2)a x x b =+=，且a b ⊥，则x = __________．
18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别边,,a b c ，若224a b ab ++=，2c =，则
2a b +的取值范围是_____．
19．向量,a b 的夹角为60︒，且2,1a b ==则(2)a a b ⋅+=__________.
20．已知向量(1,2)a =，(2,)b λ=，(2,1)c =．若//(2)c a b +，则λ=________． 21．在△ABC 中，120A ∠=︒，2133AM AB AC =+，1
2
AB AC ⋅=-，则线段AM 长的最小值为____________．
22．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图象分别交于M ，N 两点，则
||MN 的最大值为__________．
23．将函数e x y =的图像上所有点的横坐标变为原来的一半，再向右平移2个单位，所得函数的解析式为__________． 24．函数1ππ
()sin ()cos ()536
f x x x =
++-的最大值为___________. 25．在平行四边形ABCD 中，2 ，AB=2，若BF FC = ，则AF DF ⋅ =_____．
三、解答题
26．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
2cos (cos cos )C a B b A c +=.
（1）求C ；
（2）若13c =，ABC 的面积为33ABC 的周长.
27．
已知函数f(x)=sin(ωx +φ)（其中ω>0,0<φ<2π3
）的最小正周期为π
（1）求当f(x)为偶函数时φ的值； （2）若f(x)的图像过点(π6,√3
2
)，求f(x)的单调递增区间 28．已知26
sin θ=32ππθ<<.
（Ⅰ）求cos θ，tan θ的值；
（Ⅱ）求()()3sin sin cos cos 522ππθπθθθπ⎡⎤⎡
⎤⎛⎫⎛⎫
+++
⋅-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣
⎦⎣⎦
的值. 29．已知圆C 经过1(1,0)M -，2(3,0)M ，3(0,1)M 三点． (1)求圆C 的标准方程；
(2)若过点N 1)的直线l 被圆C 截得的弦AB 的长为4，求直线l 的倾斜角．
30．已知函数()cos 22f x x x ππ⎛
⎫
⎛
⎫=+
-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调区间.
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．A 7．B 8．A 9．B 10．D 11．B 12．A
14．D
15．B
二、填空题
16．【解析】【分析】建立直角坐标系得出利用向量的数量积公式即可得出结合得出的最小值【详解】因为所以以点为原点为轴正方向为轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系因为所以又因为所以直线的斜率为易得因为所以直线
17．【解析】因为所以故答案为
18．【解析】【分析】先根据余弦定理求C再根据正弦定理化为角的函数关系式最后根据正弦函数性质求结果【详解】又因此故答案为【点睛】本题考查余弦定理正弦定理以及正弦函数性质考查综合分析求解能力属中档题
19．6【解析】【分析】由题意利用向量的数量积的运算可得即可求解【详解】由题意可知向量的夹角为且则【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式准确计算是解答的关键着
20．【解析】【分析】首先由的坐标利用向量的坐标运算可得接下来由向量平行的坐标运算可得求解即可得结果【详解】因为所以因为所以解得即答案为【点睛】该题是一道关于向量平行的题目关键是掌握向量平行的条件
21．【解析】【分析】由可以求出由即可求出答案【详解】由题意知可得则（当且仅当即2时取=）故即线段长的最小值为【点睛】本题考查向量的数量积向量的模向量在几何中的应用及基本不等式求最值属于中档题
22．【解析】所以的最大值为方法点睛：本题考查数形结合思想的应用根据两点间距离公式再根据辅助角公式转化为当时取得最大值
23．【解析】分析：根据图像平移规律确定函数解析式详解：点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟练掌握无论是哪种变形切记每一个变换总是对字母而言
24．【解析】分析：利用诱导公式化简函数的解析式通过正弦函数的最值求解即可详解：函数故答案为点睛：本题考查诱导公式的应用三角函数的最值正弦函数的有界性考查计算能力
25．【解析】由知点F为BC中点
三、解答题
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
由AB DC
=可得四边形为平行四边形，由AC·BD＝0得四边形的对角线垂直，故可得四边形为菱形．
【详解】
∵AB DC
=，
∴AB与DC平行且相等，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又0
⋅=，
AC BD
⊥，
∴AC BD
即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴平行四边形ABCD为菱形．
故选A．
【点睛】
本题考查向量相等和向量数量积的的应用，解题的关键是正确理解有关的概念，属于基础
2．B
解析：B 【解析】
依题意得，函数f （x ）的周期为π， ∵ω＞0，∴ω=2π
π
=2．
又∵当x=
2
3
π 时，函数f （x ）取得最小值， ∴2×2
3
π +φ=2kπ+
32π ，k ∈Z ，可解得：φ=2kπ+6
π
，k ∈Z ， ∴f （x ）=Asin （2x+2kπ+6π）=Asin （2x+6
π
）． ∴f （﹣2）=Asin （﹣4+6π）=Asin （6
π
﹣4+2π）＞0． f （2）=Asin （4+6
π
）＜0， f （0）=Asin 6π
=Asin 56
π＞0， 又∵
32π＞6π
﹣4+2π＞56π＞2π，而f （x ）=Asinx 在区间（2
π，32π）是单调递减的，∴f （2）＜f （﹣2）＜f （0）． 故选：B ．
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据同角三角函数的基本关系，由22
22
cos cos cos sin αααα
=+，化为正切即可求解. 【详解】
22
222
cos 1
cos cos sin 1tan ααααα
==++, 且tan 2α=，
∴211cos 145
α=
=+， 故选：D 【点睛】
本题主要考查了同角三角函数的基本关系，弦化切的思想，属于中档题.
4．C
解析：C
【解析】 【分析】
分析题目，2222333x x x ππππ⎛⎫⎛⎫-=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，得到角的关系，利用诱导公式和二倍
角公式计算即可 【详解】
3sin 34x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2cos 2cos 2cos 2333x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
2
2231cos 2cos 212sin 1233348
x x x πππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴--=--=---=--⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦
选C 【点睛】
本题考查利用二倍角公式和诱导公式求三角函数值，发现角的关系是解题关键
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
先化简()
0a a b ⋅-=得2
=a a b ⋅，再化简a b a -=得2b a =
，最后求a b -与b 的夹
角. 【详解】
因为()
0a a b ⋅-=，所以22
0=a a b a a b -⋅=∴⋅，，
因为a b a -=，所以2222a a a b b =-⋅+， 整理可得22b a b =⋅， 所以有2b a =
，
设a b -与b 的夹角为θ，
则()2
cos a b b a b b a b b
a b
θ-⋅⋅-=
==-22
2
22
2||
a a =-， 又0180θ︒≤≤︒，所以135θ=︒， 故选A ． 【点睛】
本题主要考查数量积的运算和向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6．A
解析：A 【解析】
解：
根据题意，α，β为锐角，若sinα=513，则cosα=1213
， 若cos （α+β）=3
5，则（α+β）也为锐角， 则sin （α+β）=
45
， 则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos （α+β）cosα+sin （α+β）sinα=35×1213+45×513=5665
， 点睛：
由cos （α+β）与sinα的值，结合同角三角函数基本关系式计算可得sin （α+β）与cosα的值，进而利用β=[（α+β）﹣α]可得cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos （α+β）cosα+sin （α+β）sinα.
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
先利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简，并求出平移变换后的函数解析式，由变换后的函数图象关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，可得出ϕ的表达式，结合ϕ的范围可求出ϕ的值. 【详解】
()()()
sin 222sin 23f x x x x πϕϕϕ⎛⎫
=+++=++ ⎪⎝⎭
,
将函数()y f x =的图象向左平移
4
π
个单位后， 所得图象的函数解析式为()52sin 22sin 2436g x x x ππ
πϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
， 由于函数()y g x =的图象关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，则()5226k k Z ππϕπ⨯++=∈，
得()116k k Z ϕπ⎛
⎫=-∈ ⎪⎝⎭，0ϕπ<<，2k ∴=，6
π
=ϕ. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用三角函数的对称性求参数值，同时也考查了三角函数图象的平移变换，根据对称性得出参数的表达式是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
通过平移得到1cos(2)23
y x π
=+，即可求得函数的对称中心的坐标，得到答案. 【详解】 向左平移
6π个单位长度后得到1cos 223y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像，则其对称中心为
(),0122k k Z ππ⎛⎫
+
∈ ⎪⎝⎭
,或将选项进行逐个验证,选A. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
先根据角x 终边上点的坐标判断出角x 的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角x 的最小正值． 【详解】 因为5sin
06π>，5cos 06
π
<，所以角x 的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知
5sin cos
6x π==x 的最小正值为5233x πππ=-=． 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查利用角的终边上一点求角，意在考查学生对三角函数定义的理解以及终边相同的角的表示，属于基础题．
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用向量三角形法则得到：1212
++3333
CP CA CB a b ==得到答案. 【详解】
利用向量三角形法则得到：
221212
++()++333333
CP CA AP CA AB CA CB CA CA CB a b =+==-==
故选：D 【点睛】
本题考查了向量的表示，也可以利用平行四边形法则得到答案.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解. 【详解】
据条件，()1cos ,2()Z x f x ，)
2cos ,1Z x x +，且12OZ OZ ⊥，
所以，)
cos cos 2()0x x x f x ⋅++=，化简得，11()sin 2264
f x x π⎛
⎫=-+- ⎪⎝⎭，
当sin 216x π⎛
⎫
+=- ⎪⎝
⎭时，11()sin 2264f x x π⎛
⎫=-+- ⎪⎝⎭取得最大值为14
.
【点睛】
本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题.
12．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据条件容易求出t=4，从而得出a ⃑ =(4,0)，从而得出a ⃑ +2b ⃑ =(2,2√3)可设a ⃑ +2b
⃑ 与b ⃑ 的夹角为θ，这样根据cosθ=(a ⃑ +2b ⃑ )·b ⃑ |a
⃑ +2b ⃑ ||b ⃑ | 即可求出cosθ，进而得出θ的值．
【详解】
因a ⃑ ⋅b
⃑ =−4=−t ∴t=4；
∴a ⃑ =(4,0)，b ⃑ =(−1,√3)，a ⃑ +2b
⃑ =(2,2√3) 设a ⃑ +2b ⃑ 与b ⃑ 的夹角为θ，则：cosθ=(a ⃑ +2b
⃑ )·b ⃑ |a ⃑ +2b ⃑ ||b ⃑ |
=-2+6
4×2=1
2， ∴θ=π
3 故答案为A ． 【点睛】
本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、余弦定理的应用，属于中档题.平面向量数
量积公式有两种形式，一是a ⃑ ⋅b ⃑ =|a ⃑ ||b ⃑ |cosθ，二是a ⃑ ⋅b ⃑ =x 1x 2+y 1y 2，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cosθ=a
⃑ ·b ⃑ |a
⃑ |·|b ⃑ | （此时a
⃑ ·b ⃑ 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a ⃑ 在b ⃑ 上的投影是a ⃑
⋅b ⃑ |b ⃑ |
；（3）a ⃑ ,b ⃑ 向量垂直则a ⃑ ⋅b ⃑ =0;(4)求向量ma ⃑ +nb ⃑ 的模（平方后需求a ⃑ ⋅b ⃑ ）. 13．C
解析：C 【解析】
2,2,OC OA OB BC OC OB OA AC OC OA OA OB =+∴=-==-=+，
22222,23BC OA AC OA OB OA OB ∴===++⋅=，3,AC OA ∴=与OB 夹角为60，且1,1OA OB AB ==∴=，2
2
2
,AB AC BC ABC +=∴∆为直角三角形，故选
C.
14．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，可得22
2
22
1cos sin cos cos sin 2cos sin cos 2cos sin a a a a a a a a a a
++=+=+ 22
1tan 132
1tan 135a a ++=
==++，故选D ． 【点睛】 本题主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
15．B
解析：B 【解析】 【分析】
由平移变换得到()sin(22)3g x x πϕ=-+，由偶函数的性质得到sin(22)13x π
ϕ-+=±，
从而求min 512
πϕ=. 【详解】
由题意得：()sin[2())]sin(22)33g x x x π
π
ϕϕ=-+=-+， 因为()g x 为偶函数，所以函数()g x 的图象关于0x =对称，
所以当0x =时，函数()g x 取得最大值或最小值，所以sin(2)13π
ϕ-+=±，
所以2,3
2
k k Z π
π
ϕπ-+
=+
∈，解得：1,22
k k Z ππ
ϕ=-
-∈， 因为0ϕ>，所以当1k =-时，min 512
π
ϕ=，故选B. 【点睛】
平移变换、伸缩变换都是针对自变量x 而言的，所以函数()f x 向右平移(0)ϕϕ>个单位长
度后得到函数()g x ，不能错误地得到()sin (2)3
g x x x π
ϕ=+-.
二、填空题
16．【解析】【分析】建立直角坐标系得出利用向量的数量积公式即可得出结合得出的最小值【详解】因为所以以点为原点为轴正方向为轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系因为所以又因为所以直线的斜率为易得因为所以直线
解析：
2116
【解析】 【分析】
建立直角坐标系，得出(1,)AE t =-，33,22BE t ⎛⎫
=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，利用向量的数量积公式即可
得出233
22
AE BE t t ⋅=-+，结合[0,3]t ∈，得出AE BE ⋅的最小值. 【详解】
因为AD CD ⊥，所以以点D 为原点，DA 为x 轴正方向，DC 为y 轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为1AD AB ==，所以(1,0)A ，
又因为120DAB ︒∠=，所以直线AB 33
32B ⎛ ⎝⎭， 因为AB BC ⊥，所以直线BC 的斜率为33
-， 所以直线BC 的方程为3332y x ⎫=-⎪⎝⎭
， 令0x =，解得3y =
3)C ，
设点E 坐标为(0,)E t ，则3]t ∈，
则(1,)AE t =-，33,2BE t ⎛=- ⎝⎭
，
所以233122AE BE t t t ⎛⎛⎫⋅=-⨯-
+⋅=+ ⎪ ⎝⎭⎝
⎭
又因为t ∈，所以当t =时，AE BE ⋅取得最小值为2116．
【点睛】
本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及直线与方程．
17．【解析】因为所以故答案为
解析：2
3
- 【解析】
因为a b ⊥，所以()20,210,3a b x x x ⋅=++=∴=-
，故答案为23
-. 18．【解析】【分析】先根据余弦定理求C 再根据正弦定理化为角的函数关系式最后根据正弦函数性质求结果【详解】又因此故答案为【点睛】本题考查余弦定理正弦定理以及正弦函数性质考查综合分析求解能力属中档题 解析：(2,4)
【解析】 【分析】
先根据余弦定理求C,再根据正弦定理化2a b +为角的函数关系式，最后根据正弦函数性质求结果. 【详解】
224a b ab ++=，2c =， 222a b ab c ∴++=，
∴ 2221
22a b c ab +-=-，1cos 2C ∴=-，又0C π<<，
23
C π
∴=
，
因此)sin sin 222sin sin sin sin 3
c A c B a b A B C C +=⨯
+=+
2sin sin ?4sin 336A A A ππ⎫⎛⎫⎛
⎫=
+-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 03
A π
<<
，∴
6
6
2
A π
π
π
<+
<
，
∴
1sin 126A π⎛
⎫<+< ⎪⎝⎭
， 224a b <+< 故答案为()2,4． 【点睛】
本题考查余弦定理、正弦定理以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.
19．6【解析】【分析】由题意利用向量的数量积的运算可得即可求解【详解】由题意可知向量的夹角为且则【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式准确计算是解答的关键着
解析：6 【解析】 【分析】
由题意，利用向量的数量积的运算，可得2(2)2a a b a a b ⋅+=+⋅，即可求解. 【详解】
由题意，可知向量,a b 的夹角为060，且2,1a b ==
则2
2
1
(2)22cos60422162
a a
b a a b a a b ⋅+=+⋅=+⋅=+⨯⨯⨯=. 【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
20．【解析】【分析】首先由的坐标利用向量的坐标运算可得接下来由向量平行的坐标运算可得求解即可得结果【详解】因为所以因为所以解得即答案为【点睛】该题是一道关于向量平行的题目关键是掌握向量平行的条件 解析：2-
【解析】 【分析】
首先由,a b 的坐标，利用向量的坐标运算可得2(4,4)a b λ+=+，接下来由向量平行的坐标运算可得412(4)λ⨯=+，求解即可得结果. 【详解】
因为(1,2),(2,)a b λ==，所以2(4,4)a b λ+=+， 因为(2)c a b +，(2,1)c =， 所以412(4)λ⨯=+，解得2λ=-， 即答案为2-. 【点睛】
该题是一道关于向量平行的题目，关键是掌握向量平行的条件.
21．【解析】【分析】由可以求出由即可求出答案【详解】由题意知可得则（当且仅当即2时取=）故即线段长的最小值为【点睛】本题考查向量的数量积向量的模向量在几何中的应用及基本不等式求最值属于中档题
【解析】
【分析】
由cos120AB AC AB AC ⋅=︒，可以求出1AB AC =，由
2
2
2222214144142339
99999AM AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC
⎛⎫
=+=++⋅≥⨯+⋅ ⎪⎝⎭，即可求出答案． 【详解】
由题意知1
cos1202
AB AC AB AC ⋅=-=︒，可得1AB AC =， 则
2
2
2222214
14414444222339
9999999999AM AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=++⋅≥⨯+⋅=+⋅=-=
⎪⎝⎭，（当且仅当2241
99
AB AC =，即2AB AC =时取“=”.）
故23AM ≥，即线段AM 长的最小值为3
. 【点睛】
本题考查向量的数量积，向量的模，向量在几何中的应用，及基本不等式求最值，属于中档题．
22．【解析】所以的最大值为方法点睛：本题考查数形结合思想的应用根据两点间距离公式再根据辅助角公式转化为当时取得最大值
【解析】
sin cos )
4
MN a a a π
=-=
-≤MN .
方法点睛：本题考查数形结合思想的应用，(),sin M a a ，(),cos N a a ，根据两点间距离
公式sin cos MN a a =
=-，再根据辅助角公式转化为
sin cos )4a a a π
-=-，当()42
k k Z ππ
απ-=+∈时，MN 取得最大值.
23．【解析】分析：根据图像平移规律确定函数解析式详解：点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟练掌握无论是哪种变形切记每一个变换总是对字母而言 解析：24e x y -=
【解析】
分析：根据图像平移规律确定函数解析式. 详解：222(2)24e e
e e x
x
x x y y y --=→=→
==横坐标变为一半
右移个单位
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现
在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.
24．【解析】分析：利用诱导公式化简函数的解析式通过正弦函数的最值求解即可详解：函数故答案为点睛：本题考查诱导公式的应用三角函数的最值正弦函数的有界性考查计算能力 解析：
65
【解析】
分析：利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可． 详解：函数()1ππ1πsin cos 353
656f
x x x sin x cos x π⎛⎫⎛
⎫=
++-=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（）（） 1ππ6π6
533535
sin x sin x sin x =+++=+≤（）（）（）． 故答案为
6
5
． 点睛：本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，正弦函数的有界性，考查计算能力．
25．【解析】由知点F 为BC 中点
解析：7
2
【解析】
由BF FC =知点F 为BC 中点
()()AF DF AB BF
DC CF AB DC AB CF BF DC BF CF ⋅=++=⋅+⋅+⋅+⋅
17422
AB DC AB FC BF DC BF FC =⋅-⋅+⋅-⋅=-
=
三、解答题 26．
（1）3
C π
=（2）7+
【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理，将2cos (cos cos )C a B b A c +=，转化为
2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，再利用两角和与差的三角的三角函数得到
sin (2cos 1)0C C -=求解.
（2）根据ABC 的面积为1
sin 2
ab C =12ab =，再利用余弦定理
得()2
3a b ab =+-，求得+a b 即可. 【详解】
（1）因为2cos (cos cos )C a B b A c +=， 所以2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=， 所以()2cos sin sin C A B C +=， 所以sin (2cos 1)0C C -=， 所以1cos 2
C =
， 又因为()0,C π∈， 所以3
C π
=
.
（2）因为ABC 的面积为
所以
1
sin 2
ab C = 所以12ab =.
由余弦定理得：
若2222cos c a b ab C =+-，
()2
3a b ab =+- 所以7a b +=
所以ABC 的周长7【点睛】
本题主要考查正弦定理、余弦定理和两角和与差的三角函数的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
27．
（1）φ=π
2；（2）单调递增区间为[kπ−
5π12
,kπ+
π12
],k ∈Z .
【解析】
试题分析：（1）由最小正周期为π，可求出ω=2，由于函数为偶函数，结合三角函数的知识，得φ=π
2.（2）将点(π6,
√3
2)代入f(x)=sin(2x +φ)，得sin(π
3+φ)=
√3
2
，故φ=π
3，
f(x)=sin(2x +π
3)，将2x +π
3代入区间[2kπ−π
2,2kπ+π
2](k ∈Z)，可求得函数的增区间为[kπ−
5π12
,kπ+
π12
](k ∈Z).
试题解析：∵f(x)的最小正周期为π，∴T =2πω
=π,∴ω=2.
∴f(x)=sin(2x +φ).
（1）当f(x)为偶函数时，f(−x)=f(x)，∴sin(2x +φ)=sin(−2x +φ)，
将上式展开整理得sin2xcosφ=0，由已知上式对∀x ∈R 都成立，∴cosφ=0,∵0<φ<
2π3
,∴φ=π
2.
（2）由f(x)的图像过点(π6,√32)，得sin(2×π
6
+φ)=
√3
2，即sin(π3+φ)=
√32. 又∵0<φ<
2π3
,∴
π3
<π3+φ<π,∴π3+φ=
2π
3
,φ=π
3，∴f(x)=sin(2x +π
3).
令2kπ−π2
≤2x +π3
≤2kπ+π2
,k ∈Z ，得kπ−
5π12
≤x ≤kπ+
π12
,k ∈Z ，
∴f(x)的单调递增区间为[kπ−
5π12
,kπ+
π12
],k ∈Z .
28．
(Ⅰ)1cos 5
θ=-，sin tan cos θθθ=
=23
25. 【解析】 试题分析：
(Ⅰ)结合角的范围和同角三角函数基本关系可得15cos θ=-，sin tan cos θ
θθ
=
= (Ⅱ)将原式整理变形，结合(Ⅰ)的结论可得其值为2325
. 试题解析： （Ⅰ）因为32
π
πθ<<
，所以0cos θ<， 由于2
2
1125cos sin θθ=-=，所以15
cos θ=-，
所以sin tan cos θ
θθ
=
= （Ⅱ）原式()()sin cos sin cos θθθθ=-+⋅--.
()2
22224123
252525
sin cos sin cos θθθθ=--=-=
-=
. 29．
(1) 22
(1)(1)5x y -++= (2) 30°或90°．
【解析】 【分析】
（1）解法一：将圆的方程设为一般式，将题干三个点代入圆的方程，解出相应的参数值，即可得出圆C 的一般方程，再化为标准方程；
解法二：求出线段12M M 和13M M 的中垂线方程，将两中垂线方程联立求出交点坐标，即为圆心坐标，然后计算3CM 为圆的半径，即可写出圆C 的标准方程；
（2）先利用勾股定理计算出圆心到直线l 的距离为1，并对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论：一是直线l 的斜率不存在，得出直线l 的方程为2x =，验算圆心到该直线的距离为
1；
二是当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为)
()12y k x -
=-，并表示为一般
式，利用圆心到直线的距离为1得出关于k 的方程，求出k 的值．结合前面两种情况求出直线l 的倾斜角． 【详解】
（1）解法一：设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，
则10,930,10,D F D F E F -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ ∴2,2,3,D E F =-⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
即圆C 为22
2230x y x y +-+-=， ∴圆C 的标准方程为22
(1)(1)5x y -++=；
解法二：则12M M 中垂线为1x =,13M M 中垂线为y x =-， ∴圆心(,)C x y 满足
∴(1,1)C -，
半径3145r CM ==+=，
∴圆C 的标准方程为22
(1)(1)5x y -++=．
（2）①当斜率不存在时，即直线:2l x =到圆心的距离为1，也满足题意， 此时直线l 的倾斜角为90°，
②当斜率存在时，设直线l 的方程为(2)31y k x =-+， 由弦长为4，可得圆心(1,1)C - 到直线l 541-=，
2
|(12)131|
11k k
-++-=+，
∴3
3
k =
l 的倾斜角为30°， 综上所述，直线l 的倾斜角为30°或90°． 【点睛】
本题考查圆的方程以及直线截圆所得弦长的计算，在求直线与圆所得弦长的计算中，问题的核心要转化为弦心距的计算，弦心距的计算主要有以下两种方式：一是利用勾股定理计算，二是利用点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离．
30．
(1) ()f x 的最小正周期为2π (2) ()f x 的单调增区间为()72,266k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦
【解析】
试题分析：（1）化简函数的解析式得()2sin 3f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，根据周期公式求得函数的周期；（2）由()222
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-+≤+
≤
+∈，求得x 的取值范围即为函数的单调增
区间，由
()3222
3
2
k x k k Z ，π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈求得x 取值范围即为函数的单调减区间。

试题解析： （Ⅰ）()3sin cos 22f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=
+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
sin x x =+
2sin 3x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭ ∴()f x 的最小正周期为2π. （Ⅱ）由()22232k x k k Z πππππ-
+≤+≤+∈，， 得()52266k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ∴()f x 的单调增区间为()52,266k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ 由
()322232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，， 得()72266
k x k k Z π
πππ+≤≤+∈ ∴()f x 的单调减区间为()72,266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦。