结构的数学建模分析方法

指示矩阵的生成及指示矩阵本身都有一定的算法它包括对结构结点进行最优编号自动生成单元信息将结构在整型名义坐标系中定义的抽象结构变换到卡迪辛坐标系中定义的真实结构的变换关系和算法以及生成荷载向量边界条件信息等借助于这些指示矩阵算法来完成空间结构汁算机分析方法中的数据前处理
第２ （ ， 卷第 ５ 期 ２ ０ ０ ４年 １ ０ 月
提 要 提出结构拓朴和几何的一般规律及其抽象的方法， 引入整型名义坐标 系， 并在该坐标 系下， 利
用指示矩阵对抽 象结构进行描述。 关键词 拓扑 ， 整型名义坐标 系． 指 示矩 阵
Ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ｏ ｆ Ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ Ｍｏ ｄ ｅ ｌ
的结构就可以采用三维的整型名义斜交坐标系描
述。
（ ３ ） 整型名义柱面坐标系 在整型名义柱面坐标系 中， 一个坐标轴 Ｉ １ 方向沿柱表面的径向， 另一个坐标轴 １ ２ 沿表面 的环向， 如图 ５ 所示。
５
６
图５ 整型名义柱面坐标系
（ ｂ ）
图２ 正交网络和斜交网络
万方数据
Ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｓ Ｖ ｏ ｌ ． ２ ０ ， Ｎ ｏ ． ５
Ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ
现在， 已经对各种结构进行网络化了。为了 表示经抽象后的结构模型， 必须建立一个与描述 真实结构几何的卡迪辛坐标系相应的抽象坐标系 — 整型名义坐标系。这样， 经抽象化后的结构 几何便可以在整型名义坐标系中定义。
换结构拓扑， 进行方案的比较和结构的重分析， 为 实现结构的拓扑优化和逐步实现结构的鉴别提供 了 一个有效的算法。
２ 结构拓扑和几何的一般规律及其抽象
任何一类结构看起来似乎具有极为复杂的几
万方数据
・ 结构分析 ・
结构工程师第 ２ ０ 卷第 ５ 期 先可以沿结构的自然结点按一定规律进行网络 化， 经网络化后， 结构的自 然结点必定位于网络的 交点上， 但每个网络点并不一定都是杆系结构的 自 然结点； 杆系结构的杆件两端必然位于网络点 上， 但网络点之间并不一定都存在着杆系结构的 杆件。现以正放四角锥网架和类 四角锥网架为 例， 说明网络化的抽象方法（ 图１ ） ０ 从这些例子可以看出， 根据结构的单元 、 结点 建立的网络可以有平面网络和空间网络。平面网 络一般是对单层结构或结构的某一层网络化后得 到的， 如网架结构的上弦平面、 多层杆系结构的某 层平面。空间网络是对多层结构网络化后得到 的， 如双层网架、 多层网架、 多层杆系结构等。另 外， 网络还可以分为如图 １ （ ａ ） 所示的直线网络， 如图 １ （ ｂ ） 所示的曲线网络。网络还可以分为如 图２ （ ａ ） 所示的正交网络， 如图 ２ （ ｂ ） 所示的斜交网 络。总之， 网络化可对结构的几何外形有初始的
１引
言
空间结构看上去变化多端， 但是它们的结构 关系或者是几何外形仍具有一定的规律， 如网架 结构， 它是由许多杆件按一定规律组合而成的空
间结构体系。结构节点之间的构造关系构成拓
扑， 几何外形则表现外部的形状， 当拓扑一样时， 几何外形可以不一样， 比如平板形的四角锥网架 就可以按这种拓扑关系做成别的形状。结构的这 种抽象可以通过一种数学模式来描写， 并找到一 定的法则对模式进行操作， 通过一定的数学表达 式对结构进行变换就可构成不同的结构。指示矩 阵算法是一种将结构的形体用矩阵来表示的数学 体系， 其成形技术方法简单， 能够迅速地完成空间
１ ２ １ ３ 表示。现举一个球面坐标系的例子， 见图
６ ．
现将图 ６ （ ａ ） 所示的球面坐标系展开， 径向坐
标以ｘ向的Ｉ １ 坐标表示， 环向坐标以‘ ｖ 向的１ ２
万方数据
・ 结构分析 ・
结构工程师第 ２ ０卷第 ５ 期
坐标表示， 如图６ （ ｂ ） 。将相应的点映射在正交坐 标系中， 如球面坐标系中的 Ａ（ ４ ， ２ ） 表示位于环
Ｙ Ｕ Ｅ Ｃ ｈ ａ ｎ ｇ ｚ ｈ ｉ ｌ １ ． Ｕ Ｏ Ｔ ａ ｏ ｚ Ｑ Ｉ Ａ Ｎ Ｒ ｕ ｏ ｊ ｕ ｎ ｔ Ｌ Ｉ Ｎ ｚ ｈ ｉ ｂ ｉ ｎ ｔ Ｗ Ａ Ｎ Ｇ Ｊ ｉ ａ ｎ ｇ ３
（ Ｉ ． Ｔ ｏ ｎ ｇ ｊ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｉ ， ２ ０ ０ ０ ９ ２ ； ２ ． Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｉ Ａ ｒ ｃ ｈ ｉ ｔ ｅ ｃ ｔ ｕ ａ ｌ Ｄ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ ａ ｎ ｄ Ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ， Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｉ ， ２ ０ ０ ０ ４ １ ； ３ ． Ｅ ａ ｓ ｔ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ｏ ｆ Ａ ｒ ｃ ｈ ｉ ｔ ｅ ｃ ｔ ｕ ａ ｌ Ｄ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ＆ Ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ， Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｉ ， ２ ０ ０ ０ ０ ２ ）
结 构 工 程 师
Ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｓ
Ｖ ｏ ｌ ． ２ ０ ， Ｎ 、 ） ， ５
Ｏｃ ｔ ． ２ ０ ０ ４
结构 的数学建模分析方法
岳昌智’
罗 涛“
钱若军’
林智斌，
王 建“
（ Ｉ同济大学， 上海 ２ ０ ０ ０ ９ ２ ； ２ 上海建筑设计研究院有限公司， 上海 ２ ０ ０ ０ ４ １ ； ３ ． 华东建筑设计研究院， 上海 ２ ０ ０ ０ ０ ０ ）
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图 １ 直线网络和曲线网络
刀
向坐标 ４ ， 径向坐标 ２的点， 映射到正交坐标系 中， 则为 １ １ 坐标为 ４ ， １ ２ 坐标为２的点 Ａ（ ４ ， ２ ） ０
２ ３ 一 ４ ５言 一 ７ 一 ８ 一 ９ 爪兮六一 ￣／ １
描述 。
真实的结构一般都是在卡迪辛坐标系下定义 的， 即在卡迪辛坐标系中描述结构的几何结点坐 标。由于结构一般都很复杂 ， 计算机分析时首先 要对结构的几何外形进行描述， 早期的计算机分 析过程中结构的几何外形是直接以卡迪辛坐标描 述的。把经过离散的结构单元、 结点坐标 、 荷载及 反映结构边界条件的信息以最直观的方法依次输 人。可以想象， 这样做数据的准备工作量是相当 大的， 而且是非常困难的。 为了能自动生成必要的数据以及把数据组织 成便于计算机分析的数据结构， 关键是如何对结 构进行抽象描述。把看上去形式各异而实际上具 有相同特性的结构， 抽象成同一类构造型式， 这样 就可以 对经抽象化后的同一种结构形式加以数学 表示。为此， 首先应对结构进行网络化抽象。原 则上讲， 任何结构都可以进行网络化的抽象， 其网 络化的抽象方法与采用有限单元法分析时对结构 离散化方法相似。对于杆系结构可以离散为各种 杆元或梁元， 相关的杆元或梁元在结点处汇交。
－寸 一士 ，护一 舒 洲扮一１ １
图３ 标准的整型名义坐标系
整型名义正交坐标可以是二维的， 如图 ３ （ ａ ） 所示， 也可以是三维的， 如图 ３ （ ｂ ） 所示。它们分 别对应于平面和空间结构， 我们约定坐标 １ １ 的 方向相当于沿结构的 ｘ的方向； 坐标 １ ２的方向 相当于沿结构 Ｙ 方向； 坐标 １ ３ 方向向下相当于 ｚ 方向， 表示结构的层数。这样， 结构的某一层平面 可以在二维整型名义坐标系中描述， 而整个结构 则要在三维整型名义坐标系中描述。
３ 整型名义坐标系
类似于对真实结构描述需要建立卡迪辛坐标 系一样， 为了表示经抽象后的结构模型， 现在网络 线上定义一个新的坐标系— 整型名义坐标系。 它是与卡迪辛坐标系不同的一种坐标系， 在这个 坐标系中规定坐标值都取整数。很 自然， Ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ， ｔ ｈ ｅ ａ ｕ ｔ ｈ ｏ ｒ ｓ ｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｍ ｍ ｏ ｎ ｌ ａ ｗ ｏ ｆ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ ｔ ｏ ｐ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ａ ｎ ｄ ｇ ｅ ｏ ｍｅ ｔ ｒ ｙ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｏ ｆ ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ， ａ ｎ ｄ ｇ ｉ ｖ ｅ ｔ ｈ ｅ ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｅ ｒ ｎ ｏ ｍｉ ｎ ａ ｌ ｃ ｏ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ａ ｔ ｅ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ． Ａ ｃ ｃ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ｇ ｔ ｏ ｔ ｈ ｉ ｓ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ， ｔ ｈ ｅ ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ
图 ４ 整型名义斜交坐标系
上面给出了三种常见的整型名义坐标系。实
际上无论是整型名义正交坐标系 、 斜交坐标 系还 是柱面坐标系， 都可以把它变换成标准的整形名 义正交坐标 系。即可 以用正交的坐标 系 １ － － １ １
（ ２ ） 整型名义斜交坐标系 整型名义斜交坐标系与整型名义正交坐标系 相比唯一的区别是两坐标 １ １ 与１ ２ 斜交。同样， 即使是变距离的斜交网络， 在整型名义斜交坐标 系中也是等距离的（ 图４ ） 。整型名义斜交坐标系 可以是二维的， 也可以是三维的。对于斜交斜放
ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ｅ ｃ ａ ｎ ｂ ｅ ｄ ｅ ｐ ｉ ｃ ｔ ｅ ｄ ｔ ｈ ｒ ｏ ｕ ｇ ｈ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｉ ｅ ｎ ｔ ａ ｌ ｍ ａ ｔ ｒ ｉ ｘ ．
Ｋ ｅ ｙ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ｔ ｏ ｐ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ， ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｅ ｒ ｎ ｏ ｍｉ ｎ ａ ｌ ｃ ｏ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ａ ｔ ｅ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ． ｏ ｒ ｉ ｅ ｎ ｔ ａ ｌ ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ
正四角锥体沿结构 ｘ轴和Ｙ 轴方向的连续重复。
（ ３ ） 辐射性 有些结构的外形和拓扑被布置成辐射状。 了解常见的杆系结构的组成规律是很有意义 的， 因为当采用计算机分析结构时， 其计算模型或 单元的选取与结构的几何及构成是有紧密关系 的， 对数据的前处理方法也有着重要的影响。
结构计算机分析方法中的数据前处理， 并可以变
何外形及构成， 但是从几何构成上分析， 它们都具 有一定的组成规律。建筑结构一般具有如下一些 规律。 （ Ｉ ） 对称性 对称性是结构中的一个普遍存在的规律， 可 以是整个结构对称 ， 也可以是结构的一部分对称。 一般常用的结构多是对称结构， 或者其中某些部 分具有对称性。 （ ２ ） 重复性 结构构件中另一个普遍存在的规律是重复 Ｊ 胜。结构中的构件可能以相同的方式和形状重复 构成。构件的重复可以是简单的重复 ， 也可能同 时伴随着图形的放大或缩小的重复。如网架结构 中最常见的正方四角锥网架可以认为是一个标准
结构的网络轴线号作为整型名义坐标系的整型坐 标， 也就是说， 整型坐标系的标架反映了网络的轴 线。 整型名义坐标系在网络结构中有下面三种常 见形式 ： （ １ ） 整型名义正交坐标系 图３ 为标准的整型名义坐标系。它的坐标轴 是正交的， 坐标的标架是等间距离的。由图可见， 坐标值反映了网络的轴线号。所以只要有一条网 络线， 在整型名义坐标系中就有一个坐标。坐标 值反映了网络线的轴线号， 并不反映结构真实的 几何位置。故即使是变距离网络 ， 若用整型名义 坐标系来描述， 还是采用上述整型标架。