高三数形结合法练习题

高三数形结合法练习题
1. 小杨在一次数学考试中遇到了以下几道数形结合法的练习题，请
你帮他解答。

题目一：
已知正方形ABCD的边长为3cm，线段EF与线段AD平行，且交
线段AB于点E，交线段CD于点F。

若线段EF的长度为2cm，求线
段AF的长度。

题目二：
已知矩形EFGH的长为5cm，宽为3cm，点I为线段EF与线段GH
的交点。

若线段AI的长度为4cm，求线段BI的长度。

题目三：
已知三角形ABC中，角A为直角，线段AD是边BC的垂线，且
线段AD的长度为5cm。

若边AB的长度为4cm，求边AC的长度。

题目四：
已知梯形ABCD，AB平行于CD，AB较长。

线段EF与线段CD平行，且交线段AB于点E，交线段BC于点F。

若边EF的长度为3cm，边ED的长度为5cm，边CD的长度为8cm，求边AB的长度。

解答一：
由题意可知，AE=BF=AD=3cm，EF=2cm。

根据正方形的性质，可得AF=AE+EF=3cm+2cm=5cm。

所以，线段AF的长度为5cm。

解答二：
由题意可知，BG=FI=5cm，BI=BG+GI。

根据矩形的性质，可得BI=BG+GI=5cm+3cm=8cm。

所以，线段BI的长度为8cm。

解答三：
由题意可知，AD=5cm，AB=4cm。

根据直角三角形的性质，可用勾股定理求解AC的长度。

AC的平方 = AD的平方 + CD的平方
= 5cm^2 + (AC - 4cm)^2
展开等式可得
AC^2 = 25cm^2 + (AC - 4cm)^2
根据二次方程的解法，解出AC = 3cm 或 AC = 8cm。

因为三角形ABC为直角三角形，所以AC的长度应为3cm。

所以，边AC的长度为3cm。

解答四：
由题意可知，EF=3cm，ED=5cm，CD=8cm。

根据梯形的性质，可用相似三角形的比例关系求解AB的长度。

EF / CD = ED / AB
3cm / 8cm = 5cm / AB
3AB = 40
AB = 40 / 3
所以，边AB的长度为40/3 cm。

2. 小杨在解答数形结合法的练习题时，有些题目思路不清晰，流程
错误。

请你根据以下几道题目，帮他找出错误的地方并进行纠正。

题目五：
已知矩形ABCD的长为6cm，宽为4cm，点E为线段DC的中点，
点F为线段AE的中点。

若线段BF的长度为5cm，求线段AF的长度。

题目六：
已知正方形ABCD的边长为8cm，点E为线段AD的中点，线段
AC与线段BE相交于点F。

求线段BF的长度。

题目七：
已知直角三角形ABC，其中角A为直角，点D为边AC的中点，
点E为边BC的中点。

若线段DE的长度为6cm，求线段AC的长度。

解答五：
题目中给出了矩形ABCD的长为6cm，宽为4cm，点E为线段DC
的中点，点F为线段AE的中点。

已知线段BF的长度为5cm，求线段AF的长度。

根据题意，确定各点的坐标：
A(0, 0), B(6, 0), C(6, 4), D(0, 4), E(3, 4), F(1.5, 4)。

由于点F是线段AE的中点，所以可以得出线段AF的长度为AF = AE / 2 = 3 / 2 = 1.5cm。

所以，线段AF的长度为1.5cm。

解答六：
题目中给出了正方形ABCD的边长为8cm，点E为线段AD的中点，线段AC与线段BE相交于点F。

求线段BF的长度。

根据题意，确定各点的坐标：
A(0, 0), B(8, 0), C(8, 8), D(0, 8), E(0, 4)。

由于点F是线段AC与线段BE的交点，所以可以得出点F的坐标
为F(8, 4)。

根据坐标计算可得BF = BFy - BEy = 4 - 0 = 4cm。

所以，线段BF的长度为4cm。

解答七：
题目中给出了直角三角形ABC，其中角A为直角，点D为边AC
的中点，点E为边BC的中点。

已知线段DE的长度为6cm，求线段
AC的长度。

根据题意，点D为边AC的中点，点E为边BC的中点，可推出点
D的坐标为D(0, y)，点E的坐标为E(x, 0)。

由于点D为边AC的中点，所以可以得出点D的坐标为D(x/2, y)。

用勾股定理求解AC的长度：
AC的平方 = AD的平方 + CD的平方
= (x/2)^2 + y^2
展开等式可得
AC^2 = (x/2)^2 + y^2
根据二次方程的解法，解出AC = √(x^2 + 4y^2)。

已知线段DE的长度为6cm，代入x = 2y，可得AC = √(4y^2 + 4y^2) = √(8y^2) = 2y√2。

所以，线段AC的长度为2y√2。