2025年湘教版八年级下册数学期末复习专题6 平行四边形的性质和判定的应用
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，，求证：//， = .
【证明】如图,连接交于点.
∵ 四边形是平行四边形，
∴ = ， = .
又∵ = ，∴ = .
∴ 四边形是平行四边形.
∴ //， = .
返回
应用3 利用平行四边形的性质和判定证明线段的平分关系
第2章 四边形
专题6 平行四边形的性质和判定的
应用
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6
2
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3
8
4
5
应用1 利用平行四边形的性质和判定证明平行四边形
1.
[2024淄博一模] 如图，在平行四边形中，分
别以，为边向内作等边三角形和等边三角形，
连接，.求证：四边形是平行四边形.
秒1个单位长度的速度从点出发，沿
方向向点运动；同时点以每秒3个
单位长度的速度从点出发，沿方向向点运动，当其中
一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动.设运动的时间
为秒.
6−
3
（1） =______,
=___.（用含的式子表示）
（2）当为多少时，//?
【解】∵ //，∴ 当 = 时，
∴ = . ∴ = .
又∵ //，∴ 四边形是平
行四边形.
∴ //.
又∵ //，∴ 四边形是平
行四边形.
∴ 和互相平分.
返回
应用4 利用平行四边形的性质和判定证明线段的垂直关系
4.[2024郴州六中模拟] 如图，在▱中，是的中
1
2
= 5.
∴ = + = 5 + 10 = 15.
∵ 2 + 2 = 122 + 92 = 225 = 2 ,
∴ ∠ = 90∘ ，即 ⊥ .
又∵ //，∴ ⊥ .
72
（2）▱的面积=____.
返回
应用5 利用平行四边形的性质和判定证明线段间的平方
∴ ∠ = ∠. ∴ = = 8.
∴ = − = 12 − 8 = 4.
（2）连接，与相交于点，连接，与相交于点，
连接，，求证：和互相平分.
【证明】在▱中,//,
= ，∠ = ∠，
∴ = = ,∠ = ∠ = 60∘ .
∴ △为等边三角形.
∴ = = ,∠ = 60∘ .
又∵ ∠ = 60∘ ,∴ ∠ = ∠.
∴ //,即//.
∴ 四边形为平行四边形.
∴ ∠ = ∠.
（2）如图②，已知是等腰三
角形底边延长线上的
一点，//，交的延长
线于点. //，交的延
长线于点.请你探究，
，之间的关系，并说明理由.
【解】 − = .理由：
∵ //，//，
∴ 四边形是平行四边形.
∴ = .
又∵ //′,∴ 四边形′是平行四边
形.
（2）若平分∠，求证：2 = 2 + 2 .
【证明】 ∵ 平分∠,∴ ∠ = ∠.
∵ 四边形是平行四边形，
∴ //.
∴ ∠ + ∠ = 180∘ .
由折叠知∠ = ∠,
∴ 易得∠ + ∠ = 90∘ .
∴ ∠ = 90∘ .∴ 2 = 2 + 2 .
返回
应用6 利用平行四边形的性质和判定探究线段的和差关系
6.
（1）如图①，已知是等腰三角形底边上的一点，
//，交于点. //，交于点.请你探究，
∵ △为等腰三角形，
∴ = . ∴ ∠ = ∠.
∵ //,∴ ∠ = ∠. ∴ ∠ = ∠.
又∵ ∠ = ∠，
∴ ∠ = ∠. ∴ = .
∴ − = − = = .
返回
应用7 利用平行四边形的性质和判定探究条件问题
行四边形，此时 = .
又∵ = − = 8 − 3,
∴ 6 − = 8 − 3,解得 = 1,满足题意.
②当点在上时，四边形为平行四边形，
此时 = .
又∵ = − = 3 − 8,
7
2
∴ 6 − = 3 − 8，解得 = ,满足题意.
7.如图，△为等边三角形，,分
别为,上的点，且 = ,以
为边作等边三角形.
（1）求证：△≌△.
【证明】∵ △为等边三角形，
∴ = ,∠ = ∠ = 60∘ .
又∵ = ,∴ △≌△(SAS).
（2）当点在线段上何处时，四边形是平行四边形
∴ ∠ = ∠.
∵ 平分∠，平分∠，
∴ ∠ = ∠ =
1
∠,
2
∠ = ∠ =
∴ ∠ = ∠ = ∠ = ∠.
1
∠.
2
∴ ∠ = ∠. ∴ //.
又∵ //，
∴ 四边形是平行四边形.
四边形是平行四边形.此时
//. ∴ 6 − = 3,
3
2
解得 = ,满足题意.
∴ 当 =
3
时，//.
2
（3）当为多少时，以点,,,为顶点的四边形是平行四边形?
【解】 ∵ = 16，是的中点，∴ = 8.
分以下两种情况讨论：
①当点在上时，四边形为平
，之间的关系，并说明理由;
【解】 + = .理由：
∵ //，//，
∴ 四边形是平行四边形.
∴ = .
∵ △为等腰三角形，
∴ = . ∴ ∠ = ∠.
∵ //,∴ ∠ = ∠. ∴ ∠ = ∠.
∴ = . ∴ + = + = = .
关系
5.如图，将▱沿过点的直线折叠，使点落到边上
的′处，折痕交边于点，连接.
（1）求证：四边形′是平行四边形；
【证明】∵ 四边形是平行四边形，
∴ ∠ = ∠，//.
由折叠知∠ = ∠′.
∴ ∠′ = ∠. ∴ ′//.
7
综上所述,当为1或 时，以点,,,为顶点的四边形是平行
2
四边形.
返回
∠ = ∠ − ∠，
∴ ∠ = ∠.
∴ △≌△(SAS).
∴ = . 利用平行四边形的性质和判定证明线段相等
2.[2024岳阳君山区期末] 如图，将▱的对角线向两
个方向延长，分别至点和点，使 = .连接，，
点， = 9, = 12, = 10.
（1）求证： ⊥ ；
【证明】过点作//交的延长
线于点.
∵ 四边形是平行四边形，
∴ = = 10，//.
∴ 四边形为平行四边形.
∴ = = 10, = = 9.
∵ 是的中点，∴ =
【证明】∵ 四边形是平行四
边形，
∴ = ， = ，
∠ = ∠.
又∵ △和△都是等边三角形，
∴ = = ， = = ，∠ = ∠ = 60∘ .
∴ = ， = .
∵ ∠ = ∠ − ∠，
3.[2024常德期末] 如图，在▱中，平分∠交
于点，平分∠交于点.
（1）若 = 12， = 8，求的长；
【解】∵ 四边形是平行四边形，
∴ //， = = 12.
∴ ∠ = ∠.
∵ 平分∠，∴ ∠ = ∠.
且∠ = 30∘ ？并说明理由.
【解】当点是线段的中点时，四边形
为平行四边形且∠ = 30∘ .理由如下：
如图，连接，易知 = = ， = ，
∠ = ∠ = ∠ = ∠ = 60∘ .
∴ ∠ = ∠.
∴ △≌△(SAS).
∵ 是线段的中点,且 = , = ,
∴ 易知是线段的中点.
∴ ∠ =
1
×
2
60∘ = 30∘ .∴ ∠ = 30∘ .
返回
应用8 利用平行四边形的性质和判定探究动点问题
8.如图，在梯形中，//,
= 6, = 16,是的中点.点以每
【证明】如图,连接交于点.
∵ 四边形是平行四边形，
∴ = ， = .
又∵ = ，∴ = .
∴ 四边形是平行四边形.
∴ //， = .
返回
应用3 利用平行四边形的性质和判定证明线段的平分关系
第2章 四边形
专题6 平行四边形的性质和判定的
应用
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应用1 利用平行四边形的性质和判定证明平行四边形
1.
[2024淄博一模] 如图，在平行四边形中，分
别以，为边向内作等边三角形和等边三角形，
连接，.求证：四边形是平行四边形.
秒1个单位长度的速度从点出发，沿
方向向点运动；同时点以每秒3个
单位长度的速度从点出发，沿方向向点运动，当其中
一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动.设运动的时间
为秒.
6−
3
（1） =______,
=___.（用含的式子表示）
（2）当为多少时，//?
【解】∵ //，∴ 当 = 时，
∴ = . ∴ = .
又∵ //，∴ 四边形是平
行四边形.
∴ //.
又∵ //，∴ 四边形是平
行四边形.
∴ 和互相平分.
返回
应用4 利用平行四边形的性质和判定证明线段的垂直关系
4.[2024郴州六中模拟] 如图，在▱中，是的中
1
2
= 5.
∴ = + = 5 + 10 = 15.
∵ 2 + 2 = 122 + 92 = 225 = 2 ,
∴ ∠ = 90∘ ，即 ⊥ .
又∵ //，∴ ⊥ .
72
（2）▱的面积=____.
返回
应用5 利用平行四边形的性质和判定证明线段间的平方
∴ ∠ = ∠. ∴ = = 8.
∴ = − = 12 − 8 = 4.
（2）连接，与相交于点，连接，与相交于点，
连接，，求证：和互相平分.
【证明】在▱中,//,
= ，∠ = ∠，
∴ = = ,∠ = ∠ = 60∘ .
∴ △为等边三角形.
∴ = = ,∠ = 60∘ .
又∵ ∠ = 60∘ ,∴ ∠ = ∠.
∴ //,即//.
∴ 四边形为平行四边形.
∴ ∠ = ∠.
（2）如图②，已知是等腰三
角形底边延长线上的
一点，//，交的延长
线于点. //，交的延
长线于点.请你探究，
，之间的关系，并说明理由.
【解】 − = .理由：
∵ //，//，
∴ 四边形是平行四边形.
∴ = .
又∵ //′,∴ 四边形′是平行四边
形.
（2）若平分∠，求证：2 = 2 + 2 .
【证明】 ∵ 平分∠,∴ ∠ = ∠.
∵ 四边形是平行四边形，
∴ //.
∴ ∠ + ∠ = 180∘ .
由折叠知∠ = ∠,
∴ 易得∠ + ∠ = 90∘ .
∴ ∠ = 90∘ .∴ 2 = 2 + 2 .
返回
应用6 利用平行四边形的性质和判定探究线段的和差关系
6.
（1）如图①，已知是等腰三角形底边上的一点，
//，交于点. //，交于点.请你探究，
∵ △为等腰三角形，
∴ = . ∴ ∠ = ∠.
∵ //,∴ ∠ = ∠. ∴ ∠ = ∠.
又∵ ∠ = ∠，
∴ ∠ = ∠. ∴ = .
∴ − = − = = .
返回
应用7 利用平行四边形的性质和判定探究条件问题
行四边形，此时 = .
又∵ = − = 8 − 3,
∴ 6 − = 8 − 3,解得 = 1,满足题意.
②当点在上时，四边形为平行四边形，
此时 = .
又∵ = − = 3 − 8,
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2
∴ 6 − = 3 − 8，解得 = ,满足题意.
7.如图，△为等边三角形，,分
别为,上的点，且 = ,以
为边作等边三角形.
（1）求证：△≌△.
【证明】∵ △为等边三角形，
∴ = ,∠ = ∠ = 60∘ .
又∵ = ,∴ △≌△(SAS).
（2）当点在线段上何处时，四边形是平行四边形
∴ ∠ = ∠.
∵ 平分∠，平分∠，
∴ ∠ = ∠ =
1
∠,
2
∠ = ∠ =
∴ ∠ = ∠ = ∠ = ∠.
1
∠.
2
∴ ∠ = ∠. ∴ //.
又∵ //，
∴ 四边形是平行四边形.
四边形是平行四边形.此时
//. ∴ 6 − = 3,
3
2
解得 = ,满足题意.
∴ 当 =
3
时，//.
2
（3）当为多少时，以点,,,为顶点的四边形是平行四边形?
【解】 ∵ = 16，是的中点，∴ = 8.
分以下两种情况讨论：
①当点在上时，四边形为平
，之间的关系，并说明理由;
【解】 + = .理由：
∵ //，//，
∴ 四边形是平行四边形.
∴ = .
∵ △为等腰三角形，
∴ = . ∴ ∠ = ∠.
∵ //,∴ ∠ = ∠. ∴ ∠ = ∠.
∴ = . ∴ + = + = = .
关系
5.如图，将▱沿过点的直线折叠，使点落到边上
的′处，折痕交边于点，连接.
（1）求证：四边形′是平行四边形；
【证明】∵ 四边形是平行四边形，
∴ ∠ = ∠，//.
由折叠知∠ = ∠′.
∴ ∠′ = ∠. ∴ ′//.
7
综上所述,当为1或 时，以点,,,为顶点的四边形是平行
2
四边形.
返回
∠ = ∠ − ∠，
∴ ∠ = ∠.
∴ △≌△(SAS).
∴ = . 利用平行四边形的性质和判定证明线段相等
2.[2024岳阳君山区期末] 如图，将▱的对角线向两
个方向延长，分别至点和点，使 = .连接，，
点， = 9, = 12, = 10.
（1）求证： ⊥ ；
【证明】过点作//交的延长
线于点.
∵ 四边形是平行四边形，
∴ = = 10，//.
∴ 四边形为平行四边形.
∴ = = 10, = = 9.
∵ 是的中点，∴ =
【证明】∵ 四边形是平行四
边形，
∴ = ， = ，
∠ = ∠.
又∵ △和△都是等边三角形，
∴ = = ， = = ，∠ = ∠ = 60∘ .
∴ = ， = .
∵ ∠ = ∠ − ∠，
3.[2024常德期末] 如图，在▱中，平分∠交
于点，平分∠交于点.
（1）若 = 12， = 8，求的长；
【解】∵ 四边形是平行四边形，
∴ //， = = 12.
∴ ∠ = ∠.
∵ 平分∠，∴ ∠ = ∠.
且∠ = 30∘ ？并说明理由.
【解】当点是线段的中点时，四边形
为平行四边形且∠ = 30∘ .理由如下：
如图，连接，易知 = = ， = ，
∠ = ∠ = ∠ = ∠ = 60∘ .
∴ ∠ = ∠.
∴ △≌△(SAS).
∵ 是线段的中点,且 = , = ,
∴ 易知是线段的中点.
∴ ∠ =
1
×
2
60∘ = 30∘ .∴ ∠ = 30∘ .
返回
应用8 利用平行四边形的性质和判定探究动点问题
8.如图，在梯形中，//,
= 6, = 16,是的中点.点以每