广东省深圳高级中学皇御苑学校2015-2016学年高二下学期期中考试数学(理科)试题 无答案

深圳市皇御苑学校2015～2016学年第二学期期中考试
高二年级理科数学
命题人：周田虎
黄元华
注意事项：
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分。

满分150分.考试时间120分钟。

第I 卷（选择题)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．i 是虚数单位，则复数
的虚部是（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．
D ．﹣
2．下图是根据变量x ，y 的观测数据
得到的散点图，由
这些散点图可以判断变量x,y 具有线性相关关系的图是（ )
A ．①②
B ．①④
C ．②③
D ．③④
3．点M 的直角坐标是(13)-,则点M 的极坐标为(
)
A ．(2,)3π
B ．(2,)3
π
-
C ．2(2,)3
π D ．(2,2),()3
k k Z π
π+∈ 4．已知复数z 满足i z i +=⋅+
1)2
3
21(（其中i 为虚数单位），则｜z ｜为（ )
A ．2 B.
C ．2（＋1）
D ．2（－1）
5．已知Rt △ABC 中，o
9054C AB BC ∠===，，，以BC
为直径
的圆交AB 于D ，则BD 的长为（ ） A ．4
B ．9
5
C ．125
D ．16
5
6．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据下表可
得回归方程ˆy bx a =+中的10.6b =，据此模型预报广告费用为10万元时销
售额为（ ）
A 。

112.1万元 B.113.1万元 C.113.9万元 D 。

111.9万元
7．如图，PA 是圆O 的切线,切点为,A PO 交圆O
于,B C 两
点，3,1PA PB ==，则ABC ∠=( ）
A ．
70︒
B ．
60︒
C ．45︒
D ．30︒
8．在极坐标系中，点)4
,2(π
到直线cos sin 10ρθρθ--=的距离等于( ）
A ．
2
2
B ．
2
C ．
322
D ．2
9．如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，
F ，延长AF 与圆O 交于另一点G. 给出下列三个结论：
①AD ＋AE ＝AB ＋BC ＋CA ；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB ∽△ADG 。

其中正确结论的序号是（ )
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③
10．用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ )
A ．假设三内角都不大于60度
B ．假设三内角都大于60度
C ．假设三内角至多有一个大于60度
D ．假设三内角至多有两个大于60度 11．在极坐标系中，圆C :22sin()4
π
ρθ=+
上到直线l :2cos =θρ距离为1的
点的个数为 ( ）
A 。

1
B 。

2
C 。

3 D. 4
12．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为梯形数,根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差即a 2 012－5＝（ ）
A ．2 018×2 012
B ．2 018×2 011
C ．1 009×2 012
D ．1 009×2 011
第II 卷(非选择题）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分,把正确答案
填在题中横线上）
13．若复数i 1i
a ++是实数(i 为虚数单位），则实数a 的值是 ．
14．在平面直角坐标系中,直线m 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
+==t y t x 232221 （t 为参数)，
则直线
m
的普通方程
为 ．
15．
如图所示，DB,DC 是⊙O 的两条切线，A 是圆上一点，已知∠
D=46°，则∠A= ．
16．
设P （x ，y ）是曲线C ：2cos sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=⎩（θ为参数，θ∈[0,2π））上任意一点,则y x 的取值范围是 .
三、解答题(本大题共6个小题，共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17．（本题12分）已知复数2(1)2(5)
3i i z i
++-=+．
(1）求z ;
（2）若()z z a b i +=+，求实数,a b 的值。

18．（本题12分)某品牌汽车4S 店，对该品牌旗下的A 型、B 型、C 型汽车进行维修保养调查，汽车4S
店记录了该品牌三种类型汽车的
A
维修情况，整理得下表：
车型 A 型 B 型 C 型 频数 20
40 40
假设该店采用分层抽样的方法从以上维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机抽取10辆进行问卷回访．
（1）求抽取的10辆汽车中A 型，B 型，C 型各车型汽车的数目； （2）从抽取的A 型和B 型汽车中随机再选出2辆汽车进行电话回访，求这2辆汽车来自同一类型的概率;
（3)维修结束后这100辆汽车的司机采用“100分制”“打分的方式表示4S 店的满意度，按照大于或等于80为优秀，小于80为合格，得到如下列联表
优秀 合格 不合
格
男司机 10 38 48 女司机 25 27
52
合计 35
65 100
问：能否在犯错误概率不超过0.01前提下认为司机对4S 店满意度调
查与性别有关？请说明原因． 附： P
（K 2
0.100 0。

050
0.010 0.001
≥k） k
2。

706
3.841 6。

635 10。

828
K 2=
．
19．（本题12分）关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元），有如下的统计资料：
x 2 3 4 5 6 y
2。

2 3。

8 5.5
6.5
7.0
(1)
如由资料可知y 对x 呈线形相关关系.试求该回归直线方程；
（参考公式:a y b x ∧
∧
=-，1
22
1
()n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
n x ∧
==-=
-∑∑）
（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
20．（本题12分）在数列{}n
a 中，11a
=，131
n
n n a a a +=
+,1,2,3,n =.
（1）计算2
a ，3
a ，4
a 的值；
（2）猜想数列{}n
a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
21．（本题12
分）已知直线3
52:132
x l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数）．以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为(5,3),直线l与曲线C的交点为A、B，求 的值．
||||
MA MB
22．（本题10分）如图所示,已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1,⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P．
（1）求证：AD∥EC；
（2)若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9,求AD的长.。